【正文】 設(shè)回歸結(jié)果如下 （ 括號內(nèi)數(shù)字為標(biāo)準(zhǔn)誤差 ） ： = + + R2 = () () () （ 1） 請對回歸結(jié)果作必要說明； （ 2） 分別檢驗 α和 β的顯著性； （ 3） 檢驗原假設(shè)： α=β= 0； R?ln92 我們有某地 19701987年間人均儲蓄和收入的數(shù)據(jù) ， 用以研究文革期間和文革后儲蓄和收入之間的關(guān)系是否發(fā)生顯著變化 。 )?(?jjVart???j?? 1?39。?39?？紤]到可能是季節(jié)性變異的問題 ， 我們建立下面的模型： 其中 ， Q1={ Q2={ Q3={ 請注意我們僅用了 3個虛擬變量就可表示 4個季度的情況 。 77 二 ． 虛擬變量的使用方法 1． 截距變動 設(shè) Y表示消費 ， X表示收入 ， 我們有： }假定 β 不變 。 虛擬變量使得我們可以將那些無法定量化的變量引入回歸模型中 。 )...1( 02023 kXXXC ?? ????? ??...????020230100??????? CXXXYkk0Y 00020230100 ... uCuXXXY kk ????????? ?????71 預(yù)測誤差可定義為： 兩邊取期望值 ， 得 因此 ， OLS預(yù)測量 是一個無偏預(yù)測量 。 若拒絕原假設(shè) ， 則表明所選擇模型對因變量的行為能夠提供某種程度的解釋 。 若 H0為真 ， 則正確的模型是： 據(jù)此進行回歸 （ 有約束回歸 ） ， 得到殘差平方和 SR是 H0為真時的殘差平方和 。 而 )?(?)?(?jjjj????VarSet ??)?( j?Var 21 ?)( ??? XX 1?1?22????????? ? kn XYYYkn e t ??56 例：柯布 道格拉斯生產(chǎn)函數(shù) 用柯布和道格拉斯最初使用的數(shù)據(jù)（美國 18991922年制造業(yè)數(shù)據(jù)）估計經(jīng)過線性變換的模型 得到如下結(jié)果 （括號內(nèi)數(shù)字為標(biāo)準(zhǔn)誤差） ： )()()( 2 ????? RLKY請檢驗“斜率”系數(shù) ?和 ?的顯著性。該方法的原則仍然是殘差平方和最小 。 根據(jù)理論假設(shè) ， 在某一利率水平上 ， 貨幣需求量在理論上是無窮大 。 YXXY ?????47 三 ． 例子 例 1 需求函數(shù) 本章 167。例如 ， 對于 此方程的變量和參數(shù)都是線性的 。 但在實際問題中 ， 變量間的關(guān)系并非總是線性關(guān)系 ， 經(jīng)濟變量間的非線性關(guān)系比比皆是 。即 （ 3）當(dāng) K增大時，二者的差異也隨之增大。 這就證明了 OLS估計量 是 的所有線性無偏估計量中方差最小的 。 4． 高斯 馬爾科夫定理 對于 以及標(biāo)準(zhǔn)假設(shè)條件 （ 1） （ 4） ， 普通最小二乘估計量是最佳線性無偏估計量 （ BLUE） )1(?22??? ?Kne t?kβ,...β,β 10 uβ ?? XY25 我們已在上一段中證明了無偏性 ， 下面證明線性和最小方差性 。 殘差為： k??? ?,....,?,? 10 KtKtttttXXYYYeβ?....β???110 ???????? tktkttt XXXY uβ...βββ 22110 ??????12 要使殘差平方和 為最小 ， 則應(yīng)有： 我們得到如下 K+1個方程 （ 即正規(guī)方程 ） ： ? ? 21102 β?...β??? ? ?????? KtKttt XXYeS ? 0?...,0?,0?10?????????KSSS???13 按矩陣形式，上述方程組可表示為： ???????????????????????????????????????????????tktKtKtktktttKttKtttttKttKtttKtKtYXXXXXYXXXXXXYXXXXXYXXn211022121201121110110β..... .ββ..... ...... ...... ...... .β..... .βββ..... .βββ..... .ββ14 = )39。理論推導(dǎo)需借助矩陣代數(shù) 。 tktkttt XXXY uβ...βββ 22110 ??????2 例 1： 其中 ， Y=在食品上的總支出 X=個人可支配收入 P=食品價格指數(shù) 用美國 19591983年的數(shù)據(jù) ， 得到如下回歸結(jié)果 （ 括號中數(shù)字為標(biāo)準(zhǔn)誤差 ） ： Y和 X的計量單位為 10億美元 (按 1972不變價格計算 ). uβββ 210 ???? PXY )()()( 2 ???? RPXY），（數(shù)總消費支出價格平減指 食品價格平減指數(shù) 100197 2100 ???P3 多元線性回歸模型中斜率系數(shù)的含義 上例中斜率系數(shù)的含義說明如下： 價格不變的情況下 ， 個人可支配收入每上升 10億美元 （ 1個 billion） ， 食品消費支出增加 元 （ billion） 。 收入不變的情況下 ， 價格指數(shù)每上升一個點 ， 食品消費支出減少 （ billion） 4 例 2： 其中 ， Ct=消費 ， Dt=居民可支配收入 Lt=居民擁有的流動資產(chǎn)水平 β 2的含義是 ， 在流動資產(chǎn)不變的情況下 ， 可支配收入變動一個單位對消費額的影響 。 下面給出最小二乘法應(yīng)用于多元線性回歸模型的假設(shè)條件 、 估計結(jié)果及所得到的估計量的性質(zhì) 。( XX?β 39。 證明的路子與雙變量模型中類似 ， 只不過這里我們采用矩陣和向量的形式 。 至此 ， 我們證明了高斯 馬爾科夫定理 。 （ 4） 可能出現(xiàn)負(fù)值。 如大家所熟悉的柯布 道格拉斯生產(chǎn)函數(shù) : 就是一例 。 如果原方程的擾動項滿足高斯 — 馬爾可夫定理條件 ， 重寫的方程的擾動項也將滿足 。 1中 ， 我們曾給出一個食品支出為因變量 ， 個人可支配收入和食品價格指數(shù)為解釋變量的線性回歸模型例子 。 我們假定這個利率水平為 2%。 計量經(jīng)濟軟件包通常提供這類方法 ， 這里給出有關(guān)非線性回歸方法的大致步驟如下： 53 非線性回歸方法的步驟 1． 首先給出各參數(shù)的初始估計值 （ 合理猜測值 ） 。 解： (1)檢驗 ?的顯著性 原假設(shè)： H0： ? = 0 備擇假設(shè)： H1： ? ≠0 ??? logloglogloglog ???? LKAY57 由回歸結(jié)果，我們有： t＝ 用 ?=24－ 3＝ 21查 t表， 5%顯著性水平下， tc ＝ . ∵ t＝ ? tc ＝ ， 故拒絕 原假設(shè) H0 。 若 H1為真 ， 正確的模型即原模型： tKtKtt XXY uβ...ββ 110 ?????tKtKtggt XXY uβ...ββ 110 ????? ??? ? 2110 β?...β?β?? ????? ?? KtRktgRgRtR XXYS60 據(jù)此進行無約束回歸 （ 全回歸 ） ， 得到殘差平方和 S是 H1為真時的殘差平方和 。 ? ? 2)( YY? ?1)()(12222??????????????????KnYYeKYYeF)1()1( 22????KnRKR66 二 ． 檢驗其他形式的系數(shù)約束條件 上面所介紹的檢驗若干個系數(shù)顯著性的方法 ， 也可以應(yīng)用于檢驗施加于系數(shù)的其他形式的約束條件 ， 如 檢驗的方法仍是分別進行有約束回歸和無約束回歸 ， 求出各自的殘差平方和 SR 和 S， 然后用 F 統(tǒng)計量進行檢驗 。 000 ?YYe ?? )?(0 ?? ???? Cu 0)?()()( 00????? ??ECuEeE???0 ?? CY 72 預(yù)測誤差的方差為： 從 的定義可看出 ， 為正態(tài)變量的線性函數(shù) ， 因此 ， 它本身也服從正態(tài)分布 。 下面給出幾個可以引入虛擬變量的例子 。 對于 5年戰(zhàn)爭和 5年和平時期的數(shù)據(jù) ， 我們可分別估計上述兩個模型 ， 一般將給出 的不同值 。 uXQY ?????? 43322110 ?????其它季度季度011其它季度季度021其它季度季度03各季度的截距分別為： 1季度： ?0 + ? 1 2季度： ?0 + ?2 3季度： ?0 + ? 3 4季度： ?0 83 估計結(jié)果如下： 結(jié)果仍不理想 ， 但好多了 。)(1YnYYYnXYYYe??????? ?2R 11)1(1)1/()()1/(1 2222???????????? ??knnRnYYkneR86 三 、 非線性關(guān)系的處理 線性模型的含義包括變量的線性和參數(shù)的線性 。39。 引入虛擬變量后 ， 估計結(jié)果如下 （ 括號內(nèi)數(shù)據(jù)為標(biāo)準(zhǔn)差 ） ： = + + 他收集了 Y和 5個可能的解釋變量 X1～ X5的觀測值 （ 共 10組 ） ， 然后分別作三個回歸 ， 結(jié)果如下 （ 括號中為 t統(tǒng)計量 ） ： （ 1） = + R2 = () () （ 2） = + + + R2 = () () () () （ 3） = + + + + + () () () () () () R2 = 你認(rèn)為應(yīng)采用哪一個結(jié)果 ？ 為什么 ？ tY?t?tY?91 為研究旅館的投資問題 ， 我們收集了某地的 19871995年的數(shù)據(jù)來估計收益生產(chǎn)函數(shù) R=ALα Kβ eu 其中 R=旅館年凈收益 （ 萬元 ） ， L=土地投入 ， K=資金投入 ， e為自然對數(shù)的底 。 檢驗單個系數(shù) βj是否為 0的檢驗統(tǒng)計量 ～ t(nk1） 其中 Var（ ） 為矩陣