【正文】 (若總體 X的分布函數(shù)為 F(x)，我們稱滿足 (0＜ p＜ 1）的 ap為的分位數(shù)。 , )2n nn niiL x x ex???????????????? ?這樣 21211( ( ) , ( ) ) l n , ( l n ) ,nniiiiT T x x????? ??????xx12 221( ( ) , ( ) ) , ( 0 , ) ( , 0) ,2dd?????? ? ? ? ? ? ? ? ? ?????θθ 12( ( ) , ( ) )TT? XX由于二維區(qū)域 有包含開(kāi)集，所以211l n , ( l n )nniiXX??????????? 是完備充分統(tǒng)計(jì)量。 59 例 12, , , nX X X設(shè) 是來(lái)自正態(tài)總體的樣本22( , ) ( , )N ? ? ? ??θ，令參數(shù) ，試證明211( 1 ) ( ) ,nniiiiT X X???????????X 及 21111( 2) ( ) , ( )nniiiiT X X Xnn????????????Xθ都是 的充分統(tǒng)計(jì)量。如果在給定 的條件下， 的條件分布與參數(shù) 無(wú)關(guān)，則稱統(tǒng)計(jì)量 是參數(shù) 的充分統(tǒng)計(jì)量 （ Sufficient Statistics） 一般情況下，利用條件分布證明統(tǒng)計(jì)量的充分性是比較困難的。所謂大樣本指樣本容量 n30,最好大于 50或 100. 統(tǒng)計(jì)量的漸近分布 非正態(tài)總體大樣本的抽樣分布 48 定義 1 對(duì)于統(tǒng)計(jì)量 Tn,若存在常數(shù)序列 { },n? 2{ } ( 0)nn?? ?使得 ( 0 , 1 ) ( )LnnnTn N n??? ??? ? ? 則稱 Tn的漸近分布為 22( ) 。 12//XnFYn?2?40 定理 1 設(shè) F~F(n1,n2), 則 F 的概率密度為 ? ? ? ? ? ?1 1 2121 1 12 2 21212 2222()1 , 0() ( ) ( )0 , 0n n nnnn n nn n nnn y y yfyy????? ????? ???? ??41 定理 2 若 X/ ? 2~ , Y/ ? 2~ ，且相互獨(dú) 立，則 定理 3 若 X～ F(n1,n2), 則 1/X~F(n2,n1). 定理 4 若 X～ t(n), 則 X2~F(1,n). 定理 5 設(shè) X1,X2,…, Xm 和 Y1,Y2,…, Yn是分別來(lái)自總體 和 的樣本，且假定兩總體相互獨(dú)立，則有 1122/ ~ ( , ) ./XnF F n nYn?2212122221. ~ ( 1 , 1 ) ..SF F n nS??? ? ?2 1()n? 2 2()n?211( , )N ?? 222( , )N ??42 定理 7 設(shè) 隨機(jī)變量 X1,X2,…,Xn相互獨(dú)立且服從 ，又設(shè) Q1+Q2+…+Qk= 其中 Qj是秩為 nj的 X1,X2,…, Xn 的非負(fù)定二次型。當(dāng)總體分布的三階中心矩為零時(shí)，可以推出兩者是不相關(guān)的。 ()()nFx?12, , , nX X X ? ?0 1 / , ..., 1 / , 1n n n?()n kFx n????????12, , , nX X X? ?Xx? ? ? ? ?( ) ( ) 1 ( )k n kknnkP F x C F x F xn???? ? ? ?????( ) { }F x P X x??21 定理 （ 格列汶科定理 ） 設(shè)總體的分布函數(shù)為 F(x),經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)為 Fn*(x)，則對(duì)任何實(shí)數(shù) x 有 *l im sup ( ) ( ) 0 1nnxP F x F x??? ? ? ? ? ? ??? ? ? ?????22 ? 從上面定理知道，經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù) Fn*(x)依概率 1收斂于（理論）分布函數(shù) F(x)。 13 例如， X~N(?,?2), 其中 ? 已知， ?2未知。10 分布族與參數(shù)空間 定義 ：若一個(gè)分布族中只含有有限個(gè)未知參數(shù)，或參數(shù)空間為歐氏空間的一部分，則稱此分布族為 參數(shù)分布族 。 7 樣本空間 定義 ： 樣本 X1,X2,…, Xn 所有可能取值的全體稱為 樣本空間（ Sample Space ），或稱為 子樣空間 。 1. 基本概念 ? 總體與個(gè)體 ? 抽樣、簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣 ? 樣本、簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本與樣本空間 ? 分布族、參數(shù)空間 ? 統(tǒng)計(jì)量與樣本矩 2 總體與個(gè)體 在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，把研究對(duì)象的全體稱為 總體(Population) ，把組成總體的每一個(gè)單元稱為 個(gè)體 在實(shí)際中， 總體通常是某個(gè)隨機(jī)變量取值的全體 ，其中每一個(gè)個(gè)體都是一個(gè)實(shí)數(shù) 以后我們把總體和數(shù)量指標(biāo) X 可能取值的全體組成的集合等同起來(lái)。這樣獲得簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本的方法稱為簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣。 9 分布族與參數(shù)空間 ? 如果對(duì) 總體了解甚少 ，那么總體所在的分布族可設(shè)為 {F(x):F(x)為分布函數(shù)，其它條件 } ? 如果知道 總體的分布形式 ，只是不知道具體參數(shù)，那么總體所在的分布族可設(shè)為 ，這里 為總體的分布函數(shù)中的未知參數(shù) (可以是向量 )，未知參數(shù)的全部可容許值組成的集合稱為 參數(shù)空間 ，記為 ? 稱為 統(tǒng)計(jì)模型 ( Statistical Model )。為了使統(tǒng)計(jì)推斷成為可能，首先必須把分散在樣本中的信息集中起來(lái)，用樣本的某種函數(shù)表示，這種函數(shù)稱為 統(tǒng)計(jì)量 (Statistic) 。經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)的圖象是一個(gè)非減右連續(xù)的階梯函數(shù)。記Y=(Y1 ,Y2 ,…, Yp)’ =A(X1 ,X2 ,…, Xn)’ , 則 Y1 ,Y2 ,…, Yp也是正態(tài)隨機(jī)變量，其均值、方差、協(xié)方差分別為 E(Yi)= ? , D(Yi)= ?2 Cov(Yi, Yj)= ?2 當(dāng) ? =0,且 A是－ n?n 階正交矩陣時(shí)， Y1 ,Y2 ,…, Yp也相互獨(dú)立，且服從于 N(0,?2 ) 正態(tài)變換下的不變性 1nijia?? 21nijia??1ik jkkaa?27 分布 定義 設(shè)隨機(jī)變量 X1,X2,…, Xn相互獨(dú)立且服從 N(0,1)分布，則稱隨機(jī)變量 服從自由度為 n的 分布，記為 22~ ( )n??2? 221niiX??? ?2?28 定理 1 設(shè)隨機(jī)變量 ，則 的密度函 數(shù)為 : 122/21,0() 2 ( )20 , 0nyny e ynfyy??????? ??????22~ ( )n??2?29 定理 2 設(shè) ，則 E(X)=n, D(X)=2n 定理 3 設(shè) ， 且 X1與 X2相互獨(dú)立，則 定理 4 (Cochra) 設(shè) 隨機(jī)變量 X1,X2,…, Xn相互獨(dú)立且服從 N(0,1)分 布，又設(shè)