【正文】 2020 年福建省寧德市高考數(shù)學(xué)二模試卷（理科） 一、選擇題（共 10小題，每小題 5分，滿分 50分） 1．若向量 =（ 3， m）， =（ 2，﹣ 1）， ∥ ，則實(shí)數(shù) m的值為（ ） A．﹣ B． C． 2 D． 6 2．若集合 A={x|2x＞ 1}，集合 B={x|lgx＞ 0}，則 “x ∈ A” 是 “x ∈ B” 的（ ） A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 3．已知等比數(shù)列 {an}的第 5項是二項式（ x+ ） 4展開式的常數(shù)項，則 a3?a7（ ） A． 5 B． 18 C． 24 D． 36 4．若函數(shù) f（ x） =ax2+bx+1是定義在 [﹣ 1﹣ a， 2a]上的偶函數(shù)，則該函數(shù)的最大值為（ ） A． 5 B． 4 C． 3 D． 2 5．閱讀如圖所示的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序．若該程序運(yùn)行后輸出的結(jié)果不大于 20，則輸入的整數(shù) i的最大值為（ ） A． 3 B． 4 C． 5 D． 6 6．已知某市兩次數(shù)學(xué)測試的成績 ξ 1和 ξ 2分別服從正態(tài)分布 ξ 1： N1（ 90， 86）和 ξ 2： N2（ 93， 79），則以下結(jié)論正確的是（ ） A．第一次測試的平均分比第二次測試的平均分要高，也比第二次成績穩(wěn)定 B．第一次測試的平均分比第二次測試的平均分要高，但不如第二次成績穩(wěn)定 C．第二次 測試的平均分比第一次測試的平均分要高，也比第一次成績穩(wěn)定 D．第二次測試的平均分比第一次測試的平均分要高，但不如第一次成績穩(wěn)定 7．已知雙曲線 C： ﹣ =1（ a＞ 0， b＞ 0）的左、右焦點(diǎn)分別為 F1， F2，過點(diǎn) F1作直線 l⊥x軸交雙曲線 C的漸近線于點(diǎn) A， B若以 AB為直徑的圓恰過點(diǎn) F2，則該雙曲線的離心率為（ ） A． B． C． 2 D． 8．某單位安排甲、乙、丙三人在某月 1日至 12日值班，每人 4天． 甲說：我在 1日和 3日都有值班； 乙說：我在 8日和 9日都有值班； 丙說：我們?nèi)烁髯灾蛋嗟娜掌谥拖嗟龋畵?jù)此可判斷丙必定值班的日期是（ ） A． 2日和 5日 B． 5日和 6日 C． 6日和 11日 D． 2日和 11日 9．若關(guān)于 x的方程 x3﹣ x2﹣ x+a=0（ a∈ R）有三個實(shí)根 x1， x2， x3，且滿足 x1＜ x2＜ x3，則 a的取值范圍為（ ） A． a＞ B．﹣ ＜ a＜ 1 C． a＜﹣ 1 D． a＞﹣ 1 10．如圖所示為某幾何體的正視圖和側(cè)視圖，則該幾何體體積的所有可能取值的集合是（ ） A． { ， } B． { ， ， } C． {V| ≤V≤ } D． {V|0＜ V≤ } 二、填空題（共 5小題，每小題 5分，滿分 25分） 11．復(fù)數(shù) z= （ i虛數(shù)單位）在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為 ． 12．設(shè) a拋擲一枚骰子得到的點(diǎn)數(shù)，則方程 x2+ax+a=0有兩個不等實(shí)數(shù)根的概率為 ． 13．若關(guān)于 x， y的不等式組 （ k是常數(shù)）所表示的平面區(qū)域的邊界是一個直角三角形，則 k= ． 14．若在圓 C： x2+（ y﹣ a） 2=4 上有且僅有兩個點(diǎn)到原點(diǎn) O距離為 1，則實(shí)數(shù) a的取值范圍是 ． 15．已知面積為 的 △ABC 中， ∠A= 若點(diǎn) D為 BC邊上的一點(diǎn)，且滿足 = ，則當(dāng)AD取最小時， BD的長為 ． 三、解答題（共 5小題，滿分 66分） 16．將射線 y= x（ x≥0 ）繞著原點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn) 后所得的射線經(jīng)過點(diǎn) A=（ cosθ ， sinθ ）． （ Ⅰ ）求點(diǎn) A的坐標(biāo)； （ Ⅱ ）若向量 =（ sin2x， 2cosθ ）， =（ 3sinθ ， 2cos2x），求函數(shù) f（ x） = ? ， x∈ [0，]的值域． 17．某校為選拔參加 “ 央視猜燈謎大賽 ” 的隊員，在校內(nèi)組織猜燈謎競賽．規(guī)定：第一階段知識測試成績不小于 160分的學(xué)生進(jìn)入第二階段比賽．現(xiàn)有 200名學(xué)生參加知識測試，并將所有測試成績繪制成如下所示的頻率分布直方圖． （ Ⅰ ）估算這 200名學(xué)生測試成績的中位數(shù)，并求進(jìn)入第二階段比賽的學(xué)生人數(shù)； （ Ⅱ ）將進(jìn)入第二階段的學(xué)生分成若干隊進(jìn)行比賽．現(xiàn)甲、乙兩隊在比賽中均已獲得 120分，進(jìn)入最后搶答階段．搶答規(guī)則：搶到的隊每次需猜 3條謎語，猜對 1條得 20分，猜錯1條扣 20分．根據(jù)經(jīng)驗，甲隊猜對每條謎語的概率均為 ，乙隊猜對前兩條的概率均為 ，猜對第 3條的概率 為 ．若這兩隊搶到答題的機(jī)會均等，您做為場外觀眾想支持這兩隊中的優(yōu)勝隊，會把支持票投給哪隊？ 18．如圖，在四棱柱 ABCD﹣ A1B1C1D1中，底面 ABCD是矩形，且 AD=2CD=2， AA1=2， ∠A 1AD= ．若O為 AD的中點(diǎn)，且 CD⊥A 1O （ Ⅰ ）求證： A1O⊥ 平面 ABCD； （ Ⅱ ）線段 BC上是否存在一點(diǎn) P，使得二面角 D﹣ A1A﹣ P為 ？若存在，求出 BP的長；不存在，說明理由． 19．已知點(diǎn) F（ 0， 1），直線 l1： y=﹣ 1，直線 l1⊥l 2于 P，連結(jié) PF，作線段 PF的垂直平分線交直線 l2于點(diǎn) H．設(shè)點(diǎn) H的軌跡為曲線 r． （ Ⅰ ）求曲線 r的方程； （ Ⅱ ）過點(diǎn) P作曲線 r的兩條切線，切點(diǎn)分別為 C， D， （ ⅰ ）求證：直線 CD過定點(diǎn)； （ ⅱ ）若 P（ 1，﹣ 1），過點(diǎn) O作動直線 L交曲線 R于點(diǎn) A， B，直線 CD交 L于點(diǎn) Q，試探究 + 是否為定值？若是，求出該定值；不是，說明理由． 阿啊阿 20．（ 14分）已知函數(shù) f（ x） =e﹣ x（ x2+ax）在點(diǎn)（ 0， f（ 0））處的切線斜率為 2． （ Ⅰ ）求實(shí)數(shù) a的值； （ Ⅱ ）設(shè) g（ x） =﹣ x（ x﹣ t﹣ ）（ t∈ R），若 g（ x） ≥f （ x）對 x∈ [0， 1]恒成立，求 t的取值范圍； （ Ⅲ ）已知數(shù)列 {an}滿足 a1=1， an+1=（ 1+ ） an， 求證：當(dāng) n≥ 2， n∈ N時 f（ ） +f（ ） +L+f（ ）＜ n?（ ）（ e為自然對數(shù)的底數(shù)， e≈ ）． 選修 4— 2:矩陣與變換 21．在平面直角坐標(biāo)系中，矩陣 M對應(yīng)的變換將平面上任意一點(diǎn) P（ x， y）變換為點(diǎn) P（ 2x+y，3x）． （ Ⅰ ）求矩陣 M的逆矩陣 M﹣ 1； （ Ⅱ ）求曲線 4x+y﹣ 1=0在矩陣 M的變換作用后得到的曲線 C′ 的方程． 選修 44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程 22． 啊啊 已知極坐標(biāo)系的極點(diǎn)在直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，極軸與 x軸的正半軸重合，直線 l的參數(shù)方程為 （ t為參數(shù)），圓 C的極坐標(biāo)方程為 p2+2psin（ θ+ ） +1=r2（ r＞ 0）． （ Ⅰ ）求直線 l的普通方程和圓 C的直角坐標(biāo)方程； （ Ⅱ ）若圓 C上的點(diǎn)到直線 l的最大距離為 3，求 r值． 選修 4— 5：不等式選講 23．已知函數(shù) f（ x） =|x﹣ 5|+|x﹣ 3|． （ Ⅰ ）求函數(shù) f（ x）的最小值 m； （ Ⅱ ）若正實(shí)數(shù) a， b足 + = ，求證： + ≥m ． 2020年福建省寧德市高考數(shù)學(xué)二模試卷（理科） 參考答案與試題解析 一、選擇題（共 10小題，每小題 5分，滿分 50分） 1．若向量 =（ 3， m）， =（ 2，﹣ 1）， ∥ ，則實(shí)數(shù) m的值為（ ） A．﹣ B． C． 2 D． 6 【考點(diǎn)】 平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算；平行向量與共線向量． 【專題】 平 面向量及應(yīng)用． 【分析】 利用向量共線，向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解即可． 【解答】 解：因為向量 =（ 3， m）， =（