高二數(shù)學(xué)數(shù)列的綜合應(yīng)用-免費(fèi)閱讀
【正文】 qn－ 1， 兩邊同乘以 q，可得 qSn＝ 232n－ 2， 3,nanbn ?設(shè) {bn}的前 n項(xiàng)和為 Tn，則 Tn＝ 1 30＋ 2 32＋ 3 34＋ … ＋ n 32n－ 2， ① 變式 2－ 1 已知函數(shù) f(x)＝ x2－ ax＋ b(a， b∈ R)的圖象經(jīng)過坐標(biāo)原 點(diǎn)，且 f′(1) ＝ 1，數(shù)列 {an}的前 n項(xiàng)和 Sn＝ f(n)(n∈ N*)． (1)求數(shù)列 {an}的通項(xiàng)公式； (2)若數(shù)列 {bn}滿足 an＋ log3n＝ log3bn，求數(shù)列 {bn}的 前 n項(xiàng)和． 解析： (1)∵ f(x)的圖象過原點(diǎn)， ∴ b＝ 0. ∵ f′(1) ＝ 1， ∴ 2 1－ a＝ 1，即 a＝ 1， ∴ f(x)＝ x2－ x， ∴ Sn＝ n2－ n， 當(dāng) n＞ 1時(shí)， an＝ Sn－ Sn－ 1＝ n2－ n－ (n－ 1)2＋ (n－ 1)＝ 2n－ 2， 當(dāng) n＝ 1時(shí)， a1＝ 0滿足上式， ∴ an＝ 2n－ 2. (2)∵ an＋ log3n＝ log3bn， ∴ 3,nanbn ? ∴ bn＝ nan－ 1－ b＝ 第六節(jié) 數(shù)列的綜合應(yīng)用 基礎(chǔ)梳理 1. 解答數(shù)列應(yīng)用題的基本步驟 (1)審題 ——仔細(xì)閱讀材料，認(rèn)真理解題意； (2)建模 ——將已知條件翻譯成數(shù)學(xué) (數(shù)列 )語言，將實(shí)際問 題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，弄清該數(shù)列的特征、要求是什么； (3)求解 ——求出該問題的數(shù)學(xué)解； (4)還原 ——將所求結(jié)果還原到原實(shí)際問題中． 2. 數(shù)列應(yīng)用題常見模型 (1)等差模型：如果增加 (或減少 )的量是一個(gè)固定值，則 該模型是等差模型，增加 (或減少 )的量就是公差．其一般 形式是： an＋ 1－ an＝ d(常數(shù) )． 這個(gè)固定的數(shù)就是公比．其一般 (2)等比模型：如果后一個(gè)量與前一個(gè)量的比是一個(gè)固定的數(shù)，則該模型是等比模型， 形式為 1nna qa? ? (常數(shù) )． (3)混合模型：在一個(gè)問題中同時(shí)涉及等比數(shù)列和等差數(shù) 列的模型． (4)生長模型：如果某一個(gè)量，每一期以一個(gè)固定的百分 數(shù)增加 (或減少 )，同時(shí)又以一個(gè)固定的具體量增加 (或減 少 )，稱該模型為生長模型，如分期付款問題，樹木的生 長與砍伐問題等． (5)遞推模型：如果容易推導(dǎo)該數(shù)列任意一項(xiàng) an與它的前 一項(xiàng) an－ 1(或前 n項(xiàng) )間的遞推關(guān)系式，那么我們可以用遞 推數(shù)列的知識(shí)求解問題． 基礎(chǔ)達(dá)標(biāo) 1. 等差數(shù)列 {an}是遞增數(shù)列，前 n項(xiàng)和為 Sn，且 a1， a3， a9成等比數(shù)列， S5＝ a52，則數(shù)列 {an}的通項(xiàng)公式為 ________． 解析：設(shè)數(shù)列 {an}的公差為 d(d0)， ∵ a1， a3， a9成等比數(shù)列， ∴ ＝ a1a9，即 (a1＋ 2d)2＝ a1(a1＋ 8d)?d2＝ a1d， ∵ d≠0 ， ∴ a1＝ d.① 23a又 ∵ S5＝ ， ∴ 5a1＋ (32n－ 2， 設(shè) {bn}的前 n項(xiàng)和為 Tn，則 設(shè) {bn}的前 n項(xiàng)和為 Tn，則 Tn＝ 1 30＋ 2 32＋ 3 34＋ … ＋ n 32n－ 2， ① 9Tn＝ 1 32＋ 2 34＋ 3 36＋ … ＋ n 32n，② ①－②得 － 8Tn＝ 1＋ 32＋ 34＋ … ＋ 32n－ 2－ n 32n 219 319n nn?? ? ??21 9 3 .64 8nnn? ?∴ Tn＝
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