第一講--數(shù)系的擴(kuò)充-免費(fèi)閱讀
【正文】 高斯 19歲時，通過復(fù)數(shù)原理，成功解決了正十七邊形的尺規(guī)作圖問題，同時將 直角坐標(biāo)平面上的點(diǎn)和復(fù)數(shù)建立了一一對應(yīng)的關(guān)系 ，是復(fù)數(shù)領(lǐng)域的集大成者。使用負(fù)數(shù)平方根，就有可能解決四次方程的求解問題。 定義 3（戴德金分割說）有理數(shù)的戴德金分割稱為實(shí)數(shù) ,有端點(diǎn)分割稱為有理數(shù) ,無端點(diǎn)分割稱為無理數(shù)。 不可公度長期得不到正確的解釋，兩個不可通約的比值一直被認(rèn)為是不可理喻的。 中國古代 以 數(shù)字 來表達(dá)哲學(xué)觀點(diǎn) ： 老子在 《 道德經(jīng) 》 有云：“ 道生一，一生二，二生三，三生萬物”。 三、平靜地接受一些無理數(shù) （一）無理數(shù)的起源和發(fā)展 公元前 6世紀(jì)，古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派開始研究整數(shù)的性質(zhì)，他們提出了奇數(shù)、偶數(shù)、素數(shù)、合數(shù)的概念，并逐漸形成了宇宙哲學(xué)觀： “萬物皆數(shù)”。 數(shù)學(xué)歸納法是建立在“ 潛無限” 的觀念基礎(chǔ)上，推導(dǎo)過程看似一個有限的過程，但是在邏輯上保證命題對“一切自然數(shù)”都正確。 伽利略的困惑 直觀上看 ：自然數(shù)多，完全平方數(shù)在自然數(shù)中，有如滄海一粟，占的比例極少。 （ 4） 引入負(fù)數(shù)，是數(shù)的概念的第三次擴(kuò)展 。初等代數(shù)研究 第一講 數(shù)系的擴(kuò)展 內(nèi)容結(jié)構(gòu)： 一、數(shù)系擴(kuò)展的順序、方法、原則 二、自然數(shù)理論與數(shù)學(xué)歸納法 三、“ 平靜 ”地接受一些無理數(shù) 四、 復(fù)數(shù)的研究和應(yīng)用 一、數(shù)系的擴(kuò)展順序、方法、原則 （一） 數(shù)系的擴(kuò)展順序、方法、原則 從代數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史來看，人們對數(shù)的認(rèn)識大體按照以下的邏輯順序進(jìn)行的： 自然數(shù) 正有理數(shù) 非負(fù)有理數(shù) 有理數(shù) 實(shí)數(shù) 復(fù)數(shù) 添正分?jǐn)?shù) 添零 添負(fù)有理數(shù) 添無理數(shù) 添虛數(shù) （ 1）自然數(shù)的產(chǎn)生起源于人類在生產(chǎn)和生活中記數(shù)的需要（三個階段： 結(jié)繩記數(shù) ； 出現(xiàn)”三頭牛，五只羊”； 把數(shù)從具體事物的集合分離出來，形成抽象的正整數(shù)概念，并有了代表它的符號） 結(jié)繩法最早出現(xiàn)在印加帝國，是利用一種十進(jìn)的位置值系統(tǒng)在繩上打結(jié)的記事方式。 （ 5）引入無理數(shù)，是數(shù)的概念的第四次擴(kuò)展。 理論上得 ：自然數(shù)與完全平方數(shù)一樣多。用 “有限”體現(xiàn)“無限”
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