高一數學平面向量的概念及線性運算-免費閱讀
【正文】 b|≤|a|＋ |b|， 用這個不等式可以解決模的最值問題 ． ③ 三角形中線公式：若 A為 △ OBC中 BC邊的中點 ， 如圖所示 ， 質疑探究 1： 你能給出 |a＋ b|2＋ |a－ b|2＝ 2(|a|2＋ |b|2)(a， b不共線 )的幾何解釋嗎 ？ 提示： 幾何意義是 “ 平行四邊形兩條對角線的平方和等于它的四條邊的平方和 ” ． 4． 向量數乘運算及其幾何意義 (1)定義：實數 λ與向量 a的積是一個向量 ， 記作 λa， 它的長度與方向規(guī)定如下： ① |λa|＝ |λ||a|； ② 當 λ＞ 0時 ， λa的方向與 a的方向 相同 ；當 λ＜ 0時 ， λa的方向與 a的方向 相反 ；當 λ＝ 0時 ， λa＝ 0. (2)運算律 設 λ， μ是兩個實數 ， 則 ① λ(μa)＝ (λμ)a； ② (λ＋ μ)a＝ λa＋ μa； ③ λ(a＋ b)＝ λa＋ λb. (3)兩個向量共線定理： 向量 a(a≠0)與 b共線的充要條件是存在唯一一個實數 λ， 使 b＝ λa. (1)λa的幾何意義就是把 a沿著與 a相同 (λ0)或相反 (λ0)的方向伸長(|λ|1)或縮短 (|λ|1)到原來的 |λ|倍 ． (2)當兩個向量 a、 b不共線時 ， k1a＋ k2b＝ 0的充要條件是 k1＝ k2＝ 0. 1． 給出下列命題： ① 向量 AB―→ 的長度與向量 BA―→ 的長度相等； ② 兩個非零向量 a與 b平行 ， 則 a與 b的方向相同或相反； ③ 兩個有共同起點而且相等的向量 ， 其終點必相同； ④ 兩個有公共終點的向量一定是共線向量 ． 其中不正確命題的個數為 ( A ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 解析： 對于 ④ ， 在 △ ABC中 ， BA―→ 與 CA―→ 有公共終點 A， 但不是共線向量 ， 故④ 錯 ． ①②③ 正確 ， 故選 A. 2． (2020年高考山東卷 )設 P是 △ ABC所在平面內的一點 ， BC―→ ＋ BA―→ ＝ 2BP―→ ，則 ( B ) (A)PA―→ ＋ PB―→ ＝ 0 (B)PC―→ ＋ PA―→ ＝ 0 (C)PB―→ ＋ PC―→ ＝ 0 (D)PA―→ ＋ PB―→ ＋ PC―→ ＝ 0 解析： 因為 BC―→ ＋ BA―→ ＝ 2BP―→ ， 所以點 P為線段 AC的中點 ， 如圖 ，∴ PC―→ ＋ PA―→ ＝ 0， 故選 B. 3． 已知非零向量 a、 b不共線 ， 且 AB―→ ＝ a＋ 2b， BC―→ ＝－ 5a＋ 6b， CD―→ ＝ 7a－ 2b， 則一定共線的三點是 ( A ) (A)A、 B、 D (B)A、 B、 C (C)B、 C、 D (D)A、 C、 D 解析： ∵ BC―→ ＋ CD―→ ＝ 2a＋ 4b＝ 2AB―→ ＝ BD―→ ， ∴ AB―→ 與 BD―→ 共線 ， 又有公共點 B， ∴ A、 B、 D三點共線 ， 故選 A. 4． 已知 △ ABC中， AB―→ ＝ a， AC―→ ＝ b，點 D在 BC上，且 BD―→ ＝ 3DC―→ ，若用 a、 b表示 AD―→ ，則 AD―→ ＝ ________. 解析： AD ― → ＝ AB ― → ＋ BD ― → ＝ AB ― → ＋34BC ― → ＝ a ＋34( b － a ) ＝14a ＋34b . 答案：14a ＋34b (對應學生用書第 60～ 61頁 ) 向量的有關概念 【 例 1】 給出下列各命題： ① 零向量沒有方向； ② 若 |a|＝ |b|， 則 a＝ b； ③ 單位向量都相等； ④ 向量就是有向線段； ⑤ 若 a＝ b， b＝ c， 則 a＝ c； ⑥ 若四邊形 ABCD是平行四邊形 ， 則 AB―→ ＝ DC―→ ， BC―→ ＝ DA―→ . 其中真命題是 ________． 思路點撥： 正確理解向量的有關概念是解決本題的關鍵 ， 注意到特殊情況 ， 否定某個命題只要舉出一個反例即可 ． 解析： ① 該命題不正確 ． 零向量不是沒有方向 ， 而是方向任意； ② 該命題不正確 ． |a|＝ |b|只是說明這兩個向量的模相等 ， 但其方向未必相同； ③ 該命題不正確 ． 單位向量只是模均為單位長度 1， 而對方向沒有要求； ④ 該命題不正確 ． 有向線段只是向量的一種表示形式 ， 不能把兩者等同起來； ⑤ 該命題正確 ． 由向量相等的定義知 ， a與 b的模相等 ， b與 c的模相等 ， 從而 a與 c的模相等；又 a與 b的方向相同 ， b與 c的方向相同 ， 從而 a與 c的方向也必相同 ， 故 a＝ c； ⑥ 該命題不正確 ． 如圖所示 ， 顯然有 AB―→ ＝ DC―→ ， 但 BC―→ ≠DA―→ . 綜上可知 ， 真命題只有 ⑤ . 答案： ⑤ 大小與方向是向
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