【正文】 k)。ik。 scanf(“%d”,amp。i++) {f1=32*pow(e,x)。k)。ik。 scanf(%d,amp。 for(i=0。 printf(\n input k(k0):)。 int i。 int i,k。 for(i=0。 printf(\n input k(k0):)。 int i。 int i,k。 }附錄5（反函數(shù)處理法）：%main()為主函數(shù)%用途：用反函數(shù)法求解非線性方程在非收斂不動(dòng)點(diǎn)迭代格式情況下的解%格式：solut (double x,int k),solut為被調(diào)用函數(shù)，x為返回輸出的值，即為迭代函數(shù)產(chǎn)生的迭代序列， k為在一定精度下的迭代次數(shù) include include double solut (double x,int k){ double f。}main( ){ double x0=。i++) { printf(“\n x=%\n”,solut(x0,i)。 } return(x)。 }} 附錄3（Steffensen迭代法）：%main()為主函數(shù)%用途：用Steffensen迭代法求解非線性方程在非收斂不動(dòng)點(diǎn)迭代格式情況下的解%格式：solut (double x,int k),solut為被調(diào)用函數(shù)，x為返回輸出的值，即為迭代函數(shù)產(chǎn)生的迭代序列， k為在一定精度下的迭代次數(shù)include include double solut(double x ,int k){ double f,f1,f2。}main( ){ double x0=。i++) { printf(\n x=%\n,solut(x0,i))。 } return(x)。 Second, the fixed point iterative basic idea, algorithm convergence and convergence rate and the aitken formula are detailed。本人完全意識(shí)到本聲明的法律后果由本人承擔(dān)。 本科生畢業(yè)論文論 文 題 目： 非線性方程求解的 不動(dòng)點(diǎn)算法及研究 （20 14屆） 本科生畢業(yè)論文非線性方程求解的不動(dòng)點(diǎn)算法及研究 畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）原創(chuàng)性聲明和使用授權(quán)說明原創(chuàng)性聲明本人鄭重承諾：所呈交的畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文），是我個(gè)人在指導(dǎo)教師的指導(dǎo)下進(jìn)行的研究工作及取得的成果。作者簽名： 日期： 年 月 日學(xué)位論文版權(quán)使用授權(quán)書本學(xué)位論文作者完全了解學(xué)校有關(guān)保留、使用學(xué)位論文的規(guī)定，同意學(xué)校保留并向國家有關(guān)部門或機(jī)構(gòu)送交論文的復(fù)印件和電子版，允許論文被查閱和借閱。 Last, inverse function method, the newton iterative method,Steffensen iterative method and the relaxation method are proposed when the equation dose not satisfy the fixed point iteration convergence conditions.Keywords: Nonlinear Equation, Fixed Point Theorem, Iterative Method 目 錄摘 要 IABSTRACT I第1章 緒 論 1 研究背景 1 預(yù)備知識(shí) 2 誤差 2 有限差 3第２章 非線性方程求解的不動(dòng)點(diǎn)迭代算法 5 6 不動(dòng)點(diǎn)迭代算法的收斂性 7 不動(dòng)點(diǎn)迭代算法的收斂速度 11 加速不動(dòng)點(diǎn)迭代算法及其收斂性 12第3章 非收斂不動(dòng)點(diǎn)迭代格式的幾類處理方法與比較 14 非收斂不動(dòng)點(diǎn)迭代格式的幾類處理方法 15 反函數(shù)法 15 牛頓迭代法 15 Steffensen迭代法 15 松弛法 16 數(shù)值實(shí)例 17結(jié) 論 21參考文獻(xiàn) 23附 錄 24致 謝 3537 第1章 緒 論 研究背景 非線性數(shù)值解的問題是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的主要研究課題之一，這不僅是由于科學(xué)技術(shù)發(fā)展的需要，而且也是由于計(jì)算技術(shù)的高速發(fā)展提供了解決這類問題的可能，利用計(jì)算機(jī)解決非線性問題時(shí)，最終總是將其化成為有限維非線性問題，或稱為非線性代數(shù)問題．對(duì)于求解非線性方程，無論從理論上還是從計(jì)算機(jī)上，都比解線性問題要復(fù)雜的多，一般的非線性方程是很難求出精確解的，往往只能求出近似解、數(shù)值解，而長(zhǎng)期以來，人們?yōu)榱说玫綕M足條件的近似值，許多計(jì)算工作者致力于研究求解非線性方程的有效方法，尤其是計(jì)算機(jī)出現(xiàn)后函數(shù)方程求根的數(shù)值解法得到了蓬勃發(fā)展，十七世紀(jì)，微積分出現(xiàn)時(shí)，Newton和Halley發(fā)明了各自的新的數(shù)學(xué)工具去解非線性方程，十八世紀(jì)，隨著微積分的快速蓬勃發(fā)展，Euler和Lagrange分別找到了一個(gè)無窮級(jí)數(shù)來表示方程解，并以各自的名字來命名，十九世紀(jì)，人們開始注重問題分析的嚴(yán)密性，柯西建立了優(yōu)級(jí)數(shù)技巧，該技巧不斷的被以后的事實(shí)證明對(duì)于研究方程近似解序列的收斂性是很有成效的，在分析嚴(yán)密性發(fā)展的時(shí)代，Ostrowski對(duì)Newton迭代法的收斂性問題規(guī)定了一個(gè)合理的假設(shè)和一個(gè)令人滿意的解法，在軟件分析完善的年代，Kantorovich把Newton迭代法和Ostrowski的結(jié)果推廣到Banach空間，從而使許多用硬分析去做非常棘手的有關(guān)問題被輕輕松松地推論中得到了令人滿意的解決，等等，總之，這些方法不斷地被后人完善，但在目前，實(shí)際問題中可能還需要求方程的負(fù)根，求非線性方程（組）的迭代法，求微分方程迭代法等等，迭代方法還需要更深入的研究，同時(shí)意味著迭代法的發(fā)展空間將會(huì)更廣闊．本文將著重介紹求解非線性方程的不動(dòng)點(diǎn)算法，其中文獻(xiàn)[3]是由王則柯先生于1988年總結(jié)的單純不動(dòng)點(diǎn)算法，他簡(jiǎn)述了不動(dòng)點(diǎn)在非線性方程數(shù)值解、微分方程初值問題、邊值問題、分支問題等許多應(yīng)用問題方面的十多年的發(fā)展，以及對(duì)單值連續(xù)映射的不動(dòng)點(diǎn)或零點(diǎn)問題進(jìn)行了討論，在文獻(xiàn)[4]中，許炎先生簡(jiǎn)單的闡述了國內(nèi)外有關(guān)不動(dòng)點(diǎn)理論的發(fā)展?fàn)顩r，并主要討論了LLipschitz映射的不動(dòng)點(diǎn)迭代逼近定理，[3][4]這兩篇文獻(xiàn)都總結(jié)出了不動(dòng)點(diǎn)問題的研究和解決在實(shí)際問題中起到了至關(guān)重要的作用，這一系列的文獻(xiàn)還有[5][6][7][8]，而秦小龍先生在文獻(xiàn)[9]中介紹了迭代法的發(fā)展情況以及相關(guān)定理，為本篇論文提供了大量的基礎(chǔ)信息，王公俊先生在文獻(xiàn)[10]中分別介紹了常用的求解非線性方程的方法以及收斂性，在文獻(xiàn)[11]中，張卷美主要研究了一類不動(dòng)點(diǎn)迭代法的求解，在迭代格式不滿足迭代條件的情況下，運(yùn)用的幾種處理方法，并且用Ｃ語言編程上機(jī)進(jìn)行了計(jì)算，對(duì)迭代收斂結(jié)果進(jìn)行了分析和比較，為本文提供了大量的信息，另外，本文還借鑒了2本不同出版社的《數(shù)值分析》教材的大量?jī)?nèi)容．本文主要介紹了非線性方程求解的不動(dòng)點(diǎn)算法及其應(yīng)用，第一章為緒論部分，主要介紹了為什么要研究本文的一些原因、目的，以及價(jià)值，也準(zhǔn)備了一些預(yù)備知識(shí)作為對(duì)正文的補(bǔ)充；第二章介紹迭代法與不動(dòng)點(diǎn)的相關(guān)思想原理、定理以及迭代法的收斂條件，是本文的一個(gè)主要章節(jié)和工作重心，并且舉出了幾個(gè)實(shí)例來輔助證明了運(yùn)用不動(dòng)點(diǎn)迭代法求解非線性方程的方便以及準(zhǔn)確性；第三章作為對(duì)第二章節(jié)的一個(gè)完善，非常具有實(shí)用性，主要討論了非收斂不動(dòng)點(diǎn)迭代格式的幾類處理方法，并通過數(shù)值實(shí)例給予了證明. 預(yù)備知識(shí) 誤差 誤差的來源有多個(gè)方面，主要有模型誤差、觀測(cè)誤差、截?cái)嗾`差、舍入誤差等． 可微函數(shù)用泰勒(Taylor)多項(xiàng)式 近似代替，則數(shù)值方法的截?cái)嗾`差是 在0與之間．也就是說，截?cái)嗾`差就是近似值與精確值之間的誤差． ，表示舍入誤差. 同樣，可以定義舍入誤差是指由于計(jì)算機(jī)字長(zhǎng)有限在表示時(shí)產(chǎn)生的誤差． [1]　　設(shè)為準(zhǔn)確值，為的一個(gè)近似值，稱為近似值的絕對(duì)誤差，簡(jiǎn)稱誤差．然而，在實(shí)際中，人們是無法準(zhǔn)確計(jì)算出誤差的精確值的，一般是根據(jù)需要估計(jì)出誤差的絕對(duì)值不超過某正數(shù)，也就是誤差絕對(duì)值的一個(gè)上界，叫做近似值的誤差限，它總是正數(shù)． 對(duì)于一般情形，即 ()這個(gè)不等式有時(shí)也表示為 ()誤差的大小有時(shí)還不能完全表示近似值的好壞，例如，有兩個(gè)量，則 雖然是的5倍，但是比小得多，這就說明了近似的程度比近似的程度要好得多，因此，除了需要考慮誤差的大小之外，還應(yīng)該考慮準(zhǔn)確值本身的大?。覀儼呀浦档恼`差與準(zhǔn)確值的比值 ()稱為近似值的相對(duì)誤差，記作．在實(shí)際計(jì)算中，由于真值總是不知道的，通常取 ()作為的相對(duì)誤差，條件是較小，此時(shí) ()是的平方項(xiàng)級(jí)，故可忽略不計(jì)．相對(duì)誤差也可正可負(fù)，它的絕對(duì)值上界叫做相對(duì)誤差限，記作，即 () 根據(jù)定義，上例中 與分別為與的相對(duì)誤差限，很顯然近似的程度比近似的程度好得多． 在實(shí)際運(yùn)算中，為了避免誤差危害，數(shù)值計(jì)算中通常不采取數(shù)值不穩(wěn)定算法，在設(shè)計(jì)算法是應(yīng)該盡量避免誤差危害，防止有效數(shù)字損失，通常要避免兩個(gè)相近數(shù)字相減和用絕對(duì)值很小的數(shù)做除數(shù)，還要注意運(yùn)算次序和減少運(yùn)算次數(shù)． 有限差 [2] 分別稱 () () () 為函數(shù)在點(diǎn)的一階向前差分，一階向后差分和一階中心差分，或者分別簡(jiǎn)稱為一階前差，一階后差，一階中心差，統(tǒng)稱為(一階)有限差，其中表自變量的有限增量，稱為步長(zhǎng)，和分別成為(一階)前差算子、(一階)