【正文】 對兩個差分圖像進(jìn)行施密特正交歸一化的操作，則可得到兩個歸一化的正交向量 若干涉圖中的條紋數(shù)多于1個，則有近似條件 那么待測相位可由下式求得 該方法得到的相位比實際相位多了一個整體平移項，但這并不影響待測相位的三維形貌的測量。而干涉圖的背景項是平滑直流項，為低頻信息，可以被高斯高通濾波器濾除掉。表42 不同算法對實驗干涉圖進(jìn)行相位恢復(fù)的運算時間和均方根誤差對比RIPIGSGS EVICCTIME (s)RMSE (rad) (without object)RMSE (rad) (with object)第五章 影響兩步相移算法精度的因素分析 現(xiàn)有的濾除干涉圖背景項的方法目前所有的兩步相移算法，均需要預(yù)先去除干涉圖的背景項。另外，通過RIP和IGS算法計算得到圖44(ab)與圖44(cd) rad, IGS算法計算得到圖44(ab)和圖44 (cd) rad，該結(jié)果與AIA算法計算得到圖44(ab)和圖44 (cd) rad非常接近。圖44(ab)為實驗中在無物體放置的情況下采集到的兩幅相移干涉圖，圖45(cd)為放置待測物體的情況下采集到的兩幅相移干涉圖，圖像大小均為200200 pixels，單個像素尺寸為10 μm10 μm。另外， rad、 rad，該結(jié)果與模擬預(yù)設(shè)的相移量值1 rad非常接近。與此同時，本文使用其他幾種兩步算法(GS、EVI、CC)對這兩幅模擬干涉圖進(jìn)行恢復(fù)相位，其結(jié)果分別如圖42(df)。在這一條件下，有以下近似條件: 結(jié)合近似條件，將公式(447)簡化為 由上式可知，相移量可由反余弦函數(shù)求得 最后將提取到相移量的值，代入到公式(444)的反正切函數(shù)中即可恢復(fù)待測相位。與原來的GS算法恢復(fù)相位的過程相比，IGS算法在保持原GS算法精度的情況下，省去向量的歸一化過程。兩幅干涉圖之間的相移量可由以下公式得到 由公式(434)求解出相移量后，再將其代入公式(431)恢復(fù)待測相位。于是X，Y的相關(guān)系數(shù)可以表示為 在兩步相移干涉測量中，兩幅相移干涉圖I1(x,y)，I2(x,y)分別為兩個二維矩陣向量，則相移量為這兩個向量之間的夾角，而這兩個二維向量的相關(guān)系數(shù)即為該夾角的余弦值，于是有 此處的符號表示取平均值，分別為兩幅干涉圖的標(biāo)準(zhǔn)差。符號 , 表示計算兩向量的內(nèi)積。從表32可以得出，在相移量不準(zhǔn)確的情況下，五步相移算法的精度比三步四步相移算法的精度要高，且從表31中可知，五步相移算法的抗噪聲能力優(yōu)于三步、四步相移算法。且對角矩陣D只有兩個非零元素， 并且變換矩陣U的第一行、第二行分別為得到矩陣U之后，通過霍特林變換即可得到干涉圖的第一主成分和第二主成分，并結(jié)合近似條件，可得 通過上式可知，待測相位可由反正切函數(shù)求得 不同多步相移算法的比較與分析，以2π/60 rad為相移步進(jìn)，模擬61幅干涉圖，其相移量范圍是[0, 2π] rad，其中第一幅圖的相移量為0 rad，第61幅干涉圖的相移量為2π rad。任意一幅相移干涉圖可由兩個正交的信號組成，即bk cos(??k)和bk sin(??k)的線性組合，k為重構(gòu)后的每個像素點的坐標(biāo)。上式中有三個未知量與NK個等式。上標(biāo)t表示光強的理論值。三幅相移干涉圖的相移量分別為0，π/2，π rad?？梢岳们耙徽鹿?jié)的各類相移量提取算法求出每幅干涉圖的相移量，再選取具有特定相移量的干涉圖進(jìn)行計算來恢復(fù)相位。這是同樣是因為RIP算法在π rad附近的誤差較大，相移量范圍小于π rad時，計算均方根誤差時，避開了誤差較大的區(qū)域；而EMN無法準(zhǔn)確定位最大范數(shù)點，IN算法不能正確標(biāo)定其相應(yīng)范數(shù)的最大最小值，使得其均方根誤差增大。圖27 實驗采集的相移干涉圖序列，干涉圖大小為512512 pixels。圖24 RIP算法對模擬直條紋相移干涉圖提取相移量的結(jié)果。從表21中可以看出，在速度方面，從快到慢依次為IN、EMN、RIP、ACA；在精度方面，要當(dāng)干涉圖數(shù)量較多，相移量范圍接近2π rad（60幅）時，其精度從大到小依次為ACA、IN、RIP、EMN。造成這較大誤差的主要原因是：當(dāng)相移量為π rad時，近似條件公式不能得到滿足。(2) 分別計算濾波后的第n幅干涉圖與第一幅干涉圖的內(nèi)積。(2) 尋找找出干涉圖矩陣1范數(shù)的最大值與最小值，計算出干涉圖的背景范數(shù)與調(diào)制幅度范數(shù)。由此可知，相移干涉圖相減后得到的歐幾里德矩陣范數(shù)是關(guān)于相移量的函數(shù)，與sin(δn/2)成正比。當(dāng)相移量為(2k+1)π時，干涉圖之間的差異性最大。下面介紹該算法提取相移量的原理。2. 提出了基于干涉圖內(nèi)積之比的兩步相移算法，既可用于準(zhǔn)確提取兩幅或多幅相移干涉圖之間的相移量，又可以快速恢復(fù)高精度的待測相位。通過計算機模擬與實驗驗證的方式將這四種相移量提取算法的性能進(jìn)行了比較，分析了其優(yōu)缺點及使用條件。針對不同的情況，可以選擇較優(yōu)的解包裹算法進(jìn)行運算。但該文獻(xiàn)中作者通過分別記錄物光波和參考光波的光強的方式來濾除干涉圖的直流項，操作流程比較復(fù)雜。例如，Wang等基于最小二乘誤差估算，提出了一種改進(jìn)迭代算法 (AIA)[40, 41]，該算法通過在相移干涉圖之間迭代計算相移量和待測相位，直到迭代誤差收斂，所提取的相移量和恢復(fù)的待測相位的精度都比較高，但迭代計算時間長，運算速度慢。然而，上述算法的使用條件是干涉圖之間的相移量為已知且為某些定值，在實際應(yīng)用中，如果相移量未知，或者受相移器件標(biāo)定誤差、機械振動和空氣擾動等因素的影響，導(dǎo)致實際相移量值偏離理論值，這些算法進(jìn)行相位恢復(fù)的精度會大大降低。 相移干涉測量技術(shù)的發(fā)展及研究現(xiàn)狀Carr233。該類方法具有一定程度的抗噪能力，但要求待測物體的形貌在測量期間不發(fā)生變化。關(guān)鍵詞：相移干涉術(shù)，相移量提取，相位恢復(fù)，內(nèi)積之比，解包裹 RESEARCH ON THE ALGORITHMS FOR PHASE SHIFT AND PHASE EXTRACTION AND PHASE UNWRAPPING IN THE PHASESHIFTING INTERFEROMETRYMajor：Optical EngineeringName：Wenhu NiuSupervisor：Xiaoxu L252。本文的主要內(nèi)容如下：1. 分析了相移干涉測量中的相移量提取算法，并對比了各算法的優(yōu)缺點及適用范圍。在提取相移量的研究中，介紹了反余弦算法、歐幾里德矩陣范數(shù)算法和矩陣1范數(shù)算法，并提出了一種既可以在多幅干涉圖的情況下提取相移量，又可以在僅有兩幅干涉圖的情況下提取相移量的內(nèi)積之比算法。本文的創(chuàng)新點如下：1. 提出了一種改進(jìn)的施密特正交化兩步相移算法，與原施密特正交化算法相比，在保持原算法高精度的同時，改進(jìn)的算法簡化了計算過程，減少了計算量，加快了運算速度。因為干涉條紋的光強是關(guān)于待測物體相位的余弦函數(shù)，與物體表面形貌相關(guān)，通過對相移干涉圖進(jìn)行分析和解調(diào)制，即可求解出待測物體的包裹相位信息，再通過相位解包裹算法得到連續(xù)的相位信息，從而重構(gòu)待測物體的表面輪廓或三維形貌。在以上各類方法中，時域相移法是目前最常用、最有效、最可靠的方法，本文也是在時域相移干涉測量的領(lǐng)域內(nèi)進(jìn)行研究。二是對相移量提取算法與相位恢復(fù)算法的研究，即設(shè)計對相移誤差不敏感或者抗噪能力強的算法[29]，提高所恢復(fù)的相移量與相位的精度。鄧建等提出了一種基于歐幾里德矩陣范數(shù)的相移量提取算法[35]，速度快，精度高，但該算法要求干涉圖中的干涉條紋數(shù)多于一個，且干涉圖序列的相移量范圍不能小于π rad。例如，Kreis等提出基于傅里葉變換的兩步相移算法(Kreis)，可通過傅里葉變換來計算待測相位[45]，但其恢復(fù)相位的精度受噪聲影響較大。 由于各種相位恢復(fù)算法得到的結(jié)果都是包裹相位，只有對該結(jié)果進(jìn)行相位解包裹運算，才能得到連續(xù)的相位，展示待測物體真實的三維形貌。針對以上現(xiàn)狀的分析，本文介紹了一些傳統(tǒng)相移算法、迭代算法的原理及其優(yōu)缺點，在此基礎(chǔ)之上，引入兩步相移干涉測量，并著重對兩步相移干涉測量中的相移量提取算法和相位恢復(fù)算法進(jìn)行了理論和實驗研究。第六章對幾種經(jīng)典的解包裹算法進(jìn)行了介紹，通過計算機模擬和實驗驗證的方式，分析總結(jié)了各算法的優(yōu)缺點及其適用范圍。近年來，許多從相移量未知的相移干涉圖中提取相移量的算法不斷被提出，本章介紹幾種常見的相移量提取算法，如反余弦算法(ACA)、歐幾里德矩陣范數(shù)法(EMN)。(2) 通過公式(27)計算得出每幅干涉圖的相對待測相位的大小，將所求相對相位分別與第一幅干涉圖的相位相減，計算出每幅干涉圖的相移量。下面介紹該算法提取相移量的原理。下面介紹該算法提取相移量的原理。同上一節(jié)，在相移干涉測量中，第n幅相移干涉圖的強度可表示為： 一般來說，背景項a(x,y)是直流低頻信號，可以利用高斯高通濾波器將其濾除，濾除背景項的相移干涉圖可以表示為（為簡單明了，省去了像素坐標(biāo)）： 以(=0)為參考對象，分別計算的內(nèi)積，可得 其中，M, N為干涉圖的行數(shù)與列數(shù)。圖21 模擬圓條紋相移干涉圖序列，尺寸為300300pixels。當(dāng)選取60幅干涉圖， rad；當(dāng)選取序列中前40幅干涉圖， rad；當(dāng)選取序列中前20幅干涉圖， rad；當(dāng)選取序列中前10幅干涉圖， rad；最后選取相移量為0 rad和1 rad的兩幅干涉圖。表 21幾種算法對不同數(shù)量的模擬相移干涉圖進(jìn)行相移量提取的運算時間及其均方根誤差對比Fringe pattern numberRIPINEMNACATime (s)604020102RMSE (rad)604020102保持其他模擬條件不變，本文通過改變待測相位的參數(shù)來改變干涉圖條紋的形貌，分別再模擬60幅直條紋干涉圖序列（相位設(shè)置為）與60幅復(fù)雜條紋干涉圖序列（相位設(shè)置為），分別如圖23和圖25所示。 實驗結(jié)果為了進(jìn)一步驗證RIP算法及其他相移量提取算法在實際應(yīng)用中的速度、精度及穩(wěn)定性，本文采集了一系列的實驗相移干涉圖并選取其中50幅，像素大小為512512 pixels，如圖27所示，并對其進(jìn)行提取相移量的計算，結(jié)果如圖28所示。從表中可以看出，在速度方面，從快到慢依次為IN、EMN、RIP、ACA；在精度方面，當(dāng)干涉圖數(shù)量較多，相移量范圍接近2π rad（50幅）時，其精度從大到小依次為EMN、RIP、IN。表23 不同相移量提取算法的精度、運算速度和使用條件對比算法精度運算速度使用條件RIP較高快預(yù)先濾除背景項；兩幅干涉圖即可；多于1個干涉條紋 EMN高快至少三幅干涉圖；相移量的范圍應(yīng)大于π rad；多于1個干涉條紋 IN高最快至少三幅干涉圖；相移量的范圍應(yīng)大于π rad；多于或少于一個干涉條紋均可 ACA最高最慢至少三幅干涉圖；將近一個相移周期的干涉圖 第三章 相移干涉測量中的多步相移算法研究 多步相移算法概述多步相移干涉測量，是指采集三幅或三幅以上的相移干涉圖，并從這些干涉圖中恢復(fù)待測相位，我們將該過程中恢復(fù)待測相位的算法簡稱為多步相移算法。典型的定步長相移算法有三步相移算法、四步相移算法以及五步相移算法。 改進(jìn)迭代算法改進(jìn)迭代算法(Advanced Iterative Algorithm，簡稱AIA)是基于最小二乘誤差估計的思想，首先設(shè)定一組相移量的值，假定相移量為已知，作為迭代運算相移量的初始值，通過對相移量和待測相位進(jìn)行交替迭代運算，可以同時計算出待測相位與相移量。從公式(320)(322)可以解出未知量ak, bk, ck ，進(jìn)而求出待測相位 第二步：逐幀迭代計算確定相移量的值在第二步中，我們假設(shè)背景項An,k與調(diào)制幅度Bn,k,在空域分布上不變，在時域分布上是變化的，其不再是與像素點有關(guān)的變量，而與干涉圖的幀數(shù)有關(guān)，是時域變化量。 主成分分析算法在統(tǒng)計學(xué)中研究多變量的課題時，過多的變量個數(shù)會增加分析的復(fù)雜性，很多情況下，變量之間具有一定的相關(guān)性或攜帶信息重疊性，我們希望通過數(shù)學(xué)上的降維方法，建立盡可能少的新變量，并使得這些新變量兩兩不相關(guān)，且盡可能多地保持原有的信息。A和F是NN的矩陣 因為矩陣A和F均為一個矩陣與其自身的轉(zhuǎn)置矩陣相乘得到，所以A和F的秩均為1，A和F均只有一個特征值和特征向量。若相移量標(biāo)定不準(zhǔn)確，此時不能完全滿足三步、四步、五步算法對相移量定值的要求，定步長算法的將會出現(xiàn)較大誤差。相移干涉圖的背景項a(x,y)具有空間平滑、變化緩慢的特點，一般認(rèn)為它是直流低頻信號，可以使用高斯高通濾波器將其濾除掉。根據(jù)公式(43)(47)，可以得到 若干涉圖中的干涉條紋數(shù)大于1，則相移干涉圖的光強表達(dá)式中的三角函數(shù)周期數(shù)大于1，則以下近似條件成立 結(jié)合近似條件，將公式(411)簡化為 將向量進(jìn)行歸一化，可得 由公式(410)和(415)可知，可通過一個反正切函數(shù)求解出待測相位 相關(guān)系數(shù)算法在數(shù)理統(tǒng)計學(xué)中，相關(guān)系數(shù)(Correlation Coefficient，簡稱CC)是反映n維向量變量X（x1, x2…,x n）,Y（y1, y2…, yn）之間相關(guān)關(guān)系的密切程度的統(tǒng)計指標(biāo)，是研究變量之間線性相關(guān)程度的量。由公式(429)和(430)，可以得到 在第