【正文】 笛爾卡認(rèn)為思維只有兩種方法，它們能使得我們不必?fù)?dān)心陷入謬誤而獲得知識(shí)，這就是：直覺和演繹?！备绨啄岷烷_普勒毫無(wú)疑問地接受了希臘人關(guān)于自然是按數(shù)學(xué)設(shè)計(jì)的信念及天主教關(guān)于上帝創(chuàng)造和設(shè)計(jì)了宇宙的信條。他的發(fā)現(xiàn)進(jìn)一步證實(shí)：行星都同地球相像，它們肯定不是像希臘人和中世紀(jì)的思想家所認(rèn)為的由輕飄飄的物質(zhì)所構(gòu)成的理想球體。比方開普勒，評(píng)價(jià)他的橢圓運(yùn)動(dòng)理論時(shí)說：“我從內(nèi)心深處感覺到這個(gè)理論的真實(shí)性，我以難以置信的欣喜之情欣賞它的美妙。在這個(gè)問題上，哥白尼的回答是正確的，即使是離我們最近的恒星，在六個(gè)月內(nèi)它的視差也只有 ，這是由數(shù)學(xué)家貝塞爾于 1838年首次觀測(cè)到的，當(dāng)時(shí)，他有一架高級(jí)望遠(yuǎn)鏡。對(duì)于更進(jìn)一步的反對(duì)意見，旋轉(zhuǎn)的地球會(huì)飛散，哥白尼軟弱地反駁說，地球的運(yùn)動(dòng)是自然的，因而不會(huì)毀掉它自己。上帝所選擇的可能更為微妙，但數(shù)學(xué)定律卻能清楚地指明行星運(yùn)動(dòng)的速度大小。當(dāng)然，開普勒像哥白尼一樣，他指出，地球在繞其橢圓形軌道運(yùn)行同時(shí)也在自轉(zhuǎn)。在《神秘的宇宙》一書的序言中，他說：“我企圖去證明上帝在創(chuàng)造宇宙并且安排宇宙的次序時(shí)，看到了從畢達(dá)哥拉斯和柏拉圖時(shí)代起就為人們熟知的五種幾何正多面體，他按照這些形體安排了天體的數(shù)目，它們的比例和它們運(yùn)動(dòng)間的關(guān)系。布拉赫于 1601年死去，開普勒接替他而成了奧地利國(guó)王魯?shù)婪蚨溃≧udolf Ⅱ，15761612年在位）王宮中的王室數(shù)學(xué)家。和諧，要求一套更賞心悅目的理論而不是繁復(fù)冗贅的托勒密理論。新天文學(xué)理論的工作是由哥白尼開創(chuàng)的，他于1497年入波倫亞大學(xué)學(xué)習(xí)天文學(xué)，在 1512年他被任命為東普魯士瓦爾明佛朗大波爾教堂的教士。這一點(diǎn)我們不久會(huì)看得更清楚，探索自然界的數(shù)學(xué)法則是一種很虔誠(chéng)的工作，其揭示上帝的杰作的偉大和輝煌。印刷術(shù)的發(fā)明使過去一直由教會(huì)控制的知識(shí)的傳播成為可能。使一種文化消亡并且培植了另一種文化的作用力是多方面的而且是極其復(fù)雜的。然而，后來的中世紀(jì)哲學(xué)確實(shí)承認(rèn)自然行為的規(guī)律性和一致性，盡管這被認(rèn)為是上帝的意志的結(jié)果。到公元 1500年，他們的王國(guó)被西部基督徒和東部的內(nèi)戰(zhàn)給毀掉了。印度人和阿拉伯人使得數(shù)學(xué)活動(dòng)得以延續(xù)，并且引入了一些對(duì)后世有較大影響的思想①。羅馬帝國(guó)的后期歷史也與此類似，狄奧多西將他廣闊的疆土分給了他的兩個(gè)兒子，霍諾留統(tǒng)治意大利和西歐，阿卡丟統(tǒng)治希臘、埃及和近東。第二章 數(shù)學(xué)真理的繁榮對(duì)外部世界進(jìn)行研究的主要目的在于發(fā)現(xiàn)上帝賦予它的合理次序與和諧，而這些是上帝以數(shù)學(xué)語(yǔ)言透露給我們的。利用他們的數(shù)學(xué)成就和許多科學(xué)研究結(jié)果，希臘人對(duì)宇宙是依據(jù)數(shù)學(xué)設(shè)計(jì)的，給出了充分的證明。特別的，它包含了現(xiàn)在稱之為阿基米得原理的定律：浸在水中的物體受到的浮力，等于其所排開的水的重量。他計(jì)算了為希臘人所知道的地球上的許多重要地點(diǎn)之間的距離?！D 圖 有不少著作是論述光線在各種形狀鏡面上的反射的，其中有阿基米得所著而現(xiàn)已失傳的《鏡面反射》以及迪奧克斯和阿波羅紐斯所寫、書名同為《論點(diǎn)火鏡》的兩部著作。在切點(diǎn)處，他以切線來代替鏡面。第一項(xiàng)成就是西西里島阿格里真坦的伊姆班道克斯(Empedocles of Agrigentum)先驗(yàn)地提出的光以有限速度行進(jìn)的說法。和他的所有物理學(xué)一樣，他的力學(xué)也是建立在一些理性的，似乎是自明的原理之上，與觀測(cè)結(jié)果完全吻合。但托勒密的數(shù)學(xué)模型，被基督教接受為真理。P與 S的運(yùn)動(dòng)方向可能相符，可能相反，太陽(yáng)和月球的情況就屬于后一種。阿波羅紐斯關(guān)于天文學(xué)的著作現(xiàn)已失傳。我們不必專門去研究這些，只須檢驗(yàn)希臘人在探索自然中做了些什么，以及這些人中包括誰(shuí)。真正的目的是探索自然。希臘人怎樣在這些領(lǐng)域內(nèi)工作的，我們將在后面討論（見第五章）。他生活在羅德斯和亞歷山大里亞，約死于公元前 125年。歐幾里得著作具有系統(tǒng)、演繹的形式，是許多古希臘人孤立發(fā)現(xiàn)的匯合，他們的主要著作《幾何原本》給出了空間和空間中圖形的規(guī)律。希臘人欲得到宇宙的數(shù)學(xué)規(guī)律，他們?cè)谶@方面成就如何呢？由歐幾里得、阿波羅紐斯(Apollonius)、阿基米得(Archimedes)和托勒密(Ptolemy)所創(chuàng)立的數(shù)學(xué)的精華有幸傳給了我們。受過教育的自由人不動(dòng)手，很少進(jìn)行商貿(mào)活動(dòng)。同樣，只要你高興，你可以檢驗(yàn)任意多的偶數(shù)，發(fā)現(xiàn)它們都是兩個(gè)素?cái)?shù)的和，但這種檢驗(yàn)也不是演繹證明，因而結(jié)果也不是數(shù)學(xué)定理。它們呆在那里，你只須伸手進(jìn)去抓住它們。這里所涉及到的邏輯，亞里士多德稱之為三段式演繹法。從而有，“兩點(diǎn)決定一條唯一的直線”。柏拉圖用他的回憶理論證明了公理的可行性。柏拉圖在《共和國(guó)》中提及幾何學(xué)家：你是否也知道，他們雖利用可見的形象并拿來進(jìn)行推理，但他們想的并不是這些東西，而是類似于這些東西的理想形象：他們所看到的不是所畫的圖形，而是絕對(duì)正方形及絕對(duì)直徑……。數(shù)學(xué)推理旨在推導(dǎo)出關(guān)于自然現(xiàn)象，如天體運(yùn)動(dòng)的真理，必然得出不容置疑的結(jié)論。它是一種工具，是一系列相互無(wú)關(guān)的、簡(jiǎn)單的、幫助人們解決日常問題的規(guī)則，如推算日歷、農(nóng)業(yè)和商業(yè)往來。雖然這個(gè)觀點(diǎn)并未影響后世所有的數(shù)學(xué)家，但一旦為人接受，它就作用于大多數(shù)偉大數(shù)學(xué)家的思維，甚至影響了那些尚未接觸過它的人。在亞里士多德關(guān)于事物的分類方案中，把數(shù)字?jǐn)[在什么地位呢？物理科學(xué)是基礎(chǔ)科學(xué)，數(shù)學(xué)則從描述形式上的特征（如形狀和數(shù)量）這方面來幫助研究。亞里士多德雖然是柏拉圖的學(xué)生并從老師那兒繼承了許多思想，對(duì)于現(xiàn)實(shí)世界以及數(shù)學(xué)和現(xiàn)實(shí)之間的關(guān)系的探究卻有著不同的看法。柏拉圖對(duì)于天文學(xué)的觀點(diǎn)顯示了他正在探索這門科學(xué)的立場(chǎng)。”數(shù)學(xué)定律不僅是現(xiàn)實(shí)的本質(zhì)，而且永恒不變?！笆挛锸撬枷朐诮?jīng)驗(yàn)屏幕上的投影。也許在柏拉圖的對(duì)話《愛好者》中，其對(duì)于宇宙的合理性的信仰表現(xiàn)得最為出色。他們的共同哲學(xué)觀點(diǎn)是：世界是由無(wú)窮多個(gè)簡(jiǎn)單的、永恒的原子組成的。他們認(rèn)為所有事物里都含有數(shù)的成分，整個(gè)太空就是一個(gè)音階或一個(gè)數(shù)字。后來柏拉圖強(qiáng)調(diào)的則是四種物質(zhì)元素，土、氣、火、水。他們認(rèn)為物體在空間運(yùn)動(dòng)時(shí)會(huì)發(fā)出聲音，這也許是從繩端吊一東西擺動(dòng)時(shí)發(fā)出聲音這一方面引起的特例。例如，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派之所以能把音樂歸結(jié)為數(shù)與數(shù)之間的簡(jiǎn)單關(guān)系，乃是因?yàn)樗麄儼l(fā)現(xiàn)了下列兩個(gè)事實(shí)：第一，弦所發(fā)出的聲音取決于弦的長(zhǎng)度；第二，兩根繃得一樣緊的弦，若一根是另一根長(zhǎng)的兩倍，就會(huì)產(chǎn)生諧音。因?yàn)閷?duì)于我們來說，數(shù)字是抽象概念，而事物是實(shí)際存在的。雖然他們從盛行的致力于靈魂的凈化和將它從肉體的污濁束縛中解脫出來的希臘宗教中汲收了靈感和信條，其自然哲學(xué)卻是完全理性的。這些人也許有些過于急切看到世界的全貌，從而匆匆忙忙得到一些泛泛的結(jié)論。希臘人不僅是探索混雜現(xiàn)象的秩序和規(guī)則的勇敢的先驅(qū)，而且也是以才智發(fā)掘出自然現(xiàn)象顯而易見所遵循的基本模式的先驅(qū)。他們有著永不滿足的好奇心和勇氣，他們提出和回答了許多人遇到過、但卻極少人試圖解決，并且只能被具有最高智力水平的人所解決的問題。在作出這個(gè)貢獻(xiàn)以前，希臘人和古代其他文明時(shí)期的人們認(rèn)為自然是混亂、反復(fù)無(wú)常，甚至是恐怖的。希臘人發(fā)現(xiàn)（人類所作出的最偉大的發(fā)現(xiàn)）了推理的作用。因此我們應(yīng)該去研究為什么會(huì)這樣。數(shù)學(xué)的繼續(xù)有效給我們兩點(diǎn)啟示。例如假設(shè)我們一點(diǎn)也不懂電磁波是什么，但我們卻能聽到收音機(jī)中傳出的聲音），全都是數(shù)學(xué)化的?！两褚延?25個(gè)世紀(jì)之久的這段時(shí)期，數(shù)學(xué)家們一直在改正他們的錯(cuò)誤，并且看到了這門科學(xué)欣欣向榮，而不是枯竭衰敗。這些新的發(fā)展給數(shù)學(xué)增加了多種可能的結(jié)構(gòu)，同時(shí)也把數(shù)學(xué)家分成了更多的相異群體。到 1930年，數(shù)學(xué)家已滿足于接受幾種數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的一兩個(gè)，并且宣稱自己的數(shù)學(xué)證明至少和這些學(xué)派的原則相符。在 19世紀(jì)下半葉，數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)化運(yùn)動(dòng)格外引人注目。認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)并不是真理的化身動(dòng)搖了他們產(chǎn)生于數(shù)學(xué)的那份自信，他們開始重新檢驗(yàn)他們的創(chuàng)造。因此，在稱作理性時(shí)代的啟蒙時(shí)代，數(shù)學(xué)方法甚至加上一些數(shù)學(xué)概念和定理，用到了人文事務(wù)中。拉普拉斯的話概括了數(shù)學(xué)家們一直在不懈地尋求真理的信念。換句話說，這本書在非專業(yè)層次上探討數(shù)學(xué)尊嚴(yán)的興衰。但是，對(duì)于普通讀者來說，一種直接的、非專業(yè)性的探討更便于接受和理解?？茖W(xué)是超越宗教差別的，超越民族差別的，超越黨派差別的，超越文化的地域差別的，科學(xué)是普適的、獨(dú)立的，它自身就是自身的主宰。因此，中國(guó)的進(jìn)步離不開科學(xué)，是毋庸置疑的?？茖W(xué)教育不僅使人獲得生活和工作所需的知識(shí)和技能，更重要的是使人獲得科學(xué)思想、科學(xué)精神、科學(xué)態(tài)度以及科學(xué)方法的熏陶和培養(yǎng)，使人獲得非生物本能的智慧，獲得非與生俱來的靈魂。科學(xué)總是尋求發(fā)現(xiàn)和了解客觀世界的新現(xiàn)象，研究和掌握新規(guī)律，總是在不懈地追求真理?？茖W(xué)是認(rèn)真的、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?、?shí)事求是的，同時(shí)，科學(xué)又是創(chuàng)造的?？梢赃@樣說，沒有科學(xué)的“教育”，只是培養(yǎng)信仰，而不是教育。正是在這個(gè)意義上，似乎可以說，科學(xué)已被公認(rèn)是中國(guó)進(jìn)步所必不可少的推動(dòng)。湖南科學(xué)技術(shù)出版社精選了一批關(guān)于科學(xué)思想和科學(xué)精神的世界名著，請(qǐng)有關(guān)學(xué)者譯成中文出版，其目的就是為了傳播科學(xué)的精神，科學(xué)的思想，特別是自然科學(xué)的精神和思想，從而起到倡導(dǎo)科學(xué)精神，推動(dòng)科技發(fā)展，對(duì)全民進(jìn)行新的科學(xué)啟蒙和科學(xué)教育的作用，為中國(guó)的進(jìn)步作一點(diǎn)推動(dòng)。許多數(shù)學(xué)家可能更愿意把對(duì)數(shù)學(xué)當(dāng)前地位的揭示控制在數(shù)學(xué)圈里，公開曝光這些困難也許會(huì)出現(xiàn)不好的效果，家丑不可外揚(yáng)嘛?？吹綌?shù)學(xué)現(xiàn)在的宏大規(guī)模，日益增多甚至呈繁榮之勢(shì)的數(shù)學(xué)活動(dòng)，每年發(fā)表的數(shù)以千計(jì)的研究論文，對(duì)計(jì)算機(jī)興趣的迅猛飛漲，以及尤其是在社會(huì)科學(xué)和生物科學(xué)中對(duì)定量關(guān)系的廣泛研究，數(shù)學(xué)的衰落何從談起？悲劇存在于何處？要回答這些問題，我們必須首先考慮是什么為數(shù)學(xué)贏得了巨大的聲望和榮譽(yù)。他說，牛頓是最幸運(yùn)的人，因?yàn)橹挥幸粋€(gè)宇宙，而他已發(fā)現(xiàn)了它的規(guī)律。洞察力最豐富的來源是后者。他們失望地發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)中的邏輯形容枯槁，慘不忍睹。到 1900年，數(shù)學(xué)家確信他們已實(shí)現(xiàn)了自己的目標(biāo)。但是，災(zāi)難再次降臨，形式是K．哥德爾的一篇著名論文。數(shù)學(xué)的當(dāng)前困境是有許多種數(shù)學(xué)而不是只有一種，而且由于種種原因每一種都無(wú)法使對(duì)立學(xué)派滿意。這使他們有權(quán)力對(duì)未來充滿希望。因此，沒有親自對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)下過功夫，而又不打算花費(fèi)數(shù)年時(shí)間研究不完美的數(shù)學(xué)的科學(xué)家，一定會(huì)關(guān)心什么樣的數(shù)學(xué)能被理直氣壯地應(yīng)用。第一點(diǎn)是這種有效性可用作判別正確性的準(zhǔn)則，當(dāng)然這個(gè)準(zhǔn)則是暫時(shí)性的。盡管數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)尚不確定，數(shù)學(xué)家們的理論亦彼此沖突，而數(shù)學(xué)卻已被證明成就輝煌，風(fēng)采依然。正是古典時(shí)期（公元前 600年至前 300年間的鼎盛時(shí)期）的希臘人，認(rèn)識(shí)到人類有智慧、有思維（有時(shí)佐以觀察或?qū)嶒?yàn)），能夠發(fā)現(xiàn)真理。自然現(xiàn)象是無(wú)法解釋的，或者是神的意志決定的，只有用祈禱、祭祀和其他宗教儀式來解脫。整個(gè)宇宙的運(yùn)轉(zhuǎn)是有計(jì)劃的嗎？植物、動(dòng)物、人類、星系、光和聲，僅僅是物理現(xiàn)象還是一個(gè)完美設(shè)計(jì)的一部分？由于希臘人總夢(mèng)想著提出新見解，所以他們建立了后來統(tǒng)治整個(gè)西方思想中關(guān)于宇宙的概念。他們敢于詢問并且發(fā)現(xiàn)了人類觀測(cè)到的最壯觀的景象的基本規(guī)律：朝升夕落的太陽(yáng)，陰晴圓缺的月亮，光彩奪目的行星，星漢燦爛的夜空，奇妙無(wú)比的日蝕、月蝕。但他們的確拋棄了一些陳腐的神秘觀點(diǎn)，而代之以唯物主義的，對(duì)宇宙的設(shè)計(jì)和運(yùn)行的客觀解釋。畢達(dá)哥拉斯派震驚于這樣一個(gè)事實(shí)，即由定性地看各種各樣的現(xiàn)象都表現(xiàn)出相同的數(shù)學(xué)性質(zhì)，可推知數(shù)學(xué)性質(zhì)必定為這些現(xiàn)象的本質(zhì)。但我們已經(jīng)得到了一種數(shù)字的抽象，而早期的畢達(dá)哥拉斯派并未做到。換言之，兩個(gè)音相差八度。他們還認(rèn)為運(yùn)動(dòng)得快的物體比運(yùn)動(dòng)得慢的物體發(fā)出更高的音。四象的四個(gè)數(shù)字之和為 10，所以十是個(gè)理想數(shù)，其代表宇宙。畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的自然哲學(xué)很難與實(shí)際相吻合。這些原子的形狀、大小、次序和位置各有差異，但每個(gè)物體都是由這些原子以某種方式組合而成的。（普洛塔庫(kù)斯簡(jiǎn)稱普，蘇格拉底簡(jiǎn)稱蘇）普：什么問題？蘇：他們所說的宇宙是不可推理、雜亂無(wú)序的，抑或像我們前人所認(rèn)為的是由極高的才華和智慧所控制和有序化的?！庇捎诂F(xiàn)實(shí)可在感覺和實(shí)物中找到，因而柏拉圖認(rèn)為一匹馬、一間屋或者一個(gè)完美的女子并不真的存在。數(shù)字關(guān)系也是現(xiàn)實(shí)的一部分，實(shí)際事物不過是數(shù)字的模擬體。他認(rèn)為，這門學(xué)科研究的不是可見的天體的運(yùn)動(dòng)。他批評(píng)柏拉圖的冥世思想以及把科學(xué)歸結(jié)為數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)。它也為物質(zhì)現(xiàn)象中觀察到的事實(shí)提供解釋。希臘人這一重要思想的最大勝利是他們認(rèn)為宇宙是按可為人類思維所能發(fā)掘的數(shù)學(xué)規(guī)律運(yùn)行的。這些規(guī)則是由試探、錯(cuò)誤、經(jīng)驗(yàn)和簡(jiǎn)單的觀察得到的，許多都只是近似的正確。怎樣達(dá)到這些目的？數(shù)學(xué)的本原應(yīng)是處理抽象對(duì)象。他們力求看到事物本質(zhì)，而這只有用心靈之目才能看到。正如我們前面提到過的，他認(rèn)為存在一個(gè)真理的客觀世界。亞里士多德也的確指出公設(shè)無(wú)需一望便知其為真，但應(yīng)被其所推出的結(jié)果所支持。在亞里士多德的其他推理規(guī)則中，還有歸謬法（一個(gè)命題不可能既真又假）及排中律（一個(gè)命題必須為真或假）。學(xué)習(xí)就是一個(gè)收集的過程。那么看來，演繹證明是一種很嚴(yán)格的要求。柏拉圖認(rèn)為商貿(mào)活動(dòng)，對(duì)于自由人來說是墮落，他還希望，如果自由人從事了這一行，就要被視為犯罪而受到懲罰。在時(shí)間上他們屬于希臘文化的第二個(gè)重要時(shí)期，亞歷山大里亞時(shí)期（公元前 300年—公元 600年）。歐幾里得的《原本》是他對(duì)空間幾何的全部貢獻(xiàn)。三角學(xué)由梅內(nèi)勞斯（Menelaus）發(fā)展，并由在亞歷山大亞里工作的埃及人托勒密給出完整的、權(quán)威的描述。借助于這樣一些發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)從模糊的、經(jīng)驗(yàn)的割裂狀態(tài)轉(zhuǎn)變成為輝煌的、龐大的、系統(tǒng)化的和充滿智慧的創(chuàng)造物。在物質(zhì)世界的探索中，甚至連幾何學(xué)的真理也是非常重要的。物理科學(xué)中最偉大的成就是在天文學(xué)上取得的，柏拉圖很清楚巴比倫人和埃及人做出的大量天文學(xué)觀測(cè)，但卻強(qiáng)調(diào)說他們沒有建立或統(tǒng)一理論，沒有對(duì)看上去無(wú)規(guī)律的行星運(yùn)動(dòng)作出解釋。他的著作，被希臘人，甚至包括托勒密在他的《大匯編》（第十二篇）中廣為引用。托勒密也將這套方案加以變化來描述某些行星運(yùn)動(dòng)。托勒密的理論提供了第一個(gè)相當(dāng)完整的證據(jù)，說明自然是一致的而且具有不變的規(guī)律，而且也是希臘人對(duì)柏拉圖提出的合理解釋表觀天體運(yùn)動(dòng)這一問題的最后解答。雖然這一理論支配世界幾近兩千年，但我們不打算重述，因其為牛頓力學(xué)取而代之。光學(xué)的第一批系統(tǒng)性著作是歐幾里得的《光學(xué)》和《鏡面反射》。這兩本書在內(nèi)容及編排上都是用數(shù)學(xué)來處理的，像歐幾里得的《原本》一樣，定義、公理和定理貫穿始終。點(diǎn)火鏡是呈球面形、旋轉(zhuǎn)橢球面型（橢圓繞其長(zhǎng)軸旋轉(zhuǎn)而生成的形體）和旋轉(zhuǎn)拋物面型的凹面鏡。他也對(duì)地球（大圓）的周長(zhǎng)作了一個(gè)著名而相當(dāng)準(zhǔn)確的計(jì)算，并寫了一本書《地理學(xué)》。為什么人們能在肆虐泛濫的世俗洪