晶體的對(duì)稱(chēng)性和分類(lèi)-免費(fèi)閱讀
【正文】 到 1977年止，已有 4萬(wàn)余張卡片，其中無(wú)機(jī)物 3萬(wàn)余張。 3. 230種空間群國(guó)際符號(hào)說(shuō)明 ： 空間群國(guó)際符號(hào)的 第一個(gè)字母表示布拉維格子的類(lèi)型 。加 面心 記為 F（面心格子） 。 考慮基元的對(duì)稱(chēng)性后 ，全部晶體結(jié)構(gòu)的宏觀(guān)對(duì)稱(chēng)操作和微觀(guān)對(duì)稱(chēng)操作可以構(gòu)成 230種空間群 ，即有 230種對(duì)稱(chēng)類(lèi)型。 (6) 六角晶系 (Hexagonal System)： a＝ b ≠c , α＝ β＝90176。 120176。 通常 晶體結(jié)構(gòu)的對(duì)稱(chēng)性低于它所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)陣的對(duì)稱(chēng)性 ,從而導(dǎo)致新的群的產(chǎn)生 .可以證明 7個(gè)晶系 ,考慮基元的對(duì)稱(chēng)性后 ,在點(diǎn)對(duì)稱(chēng)操作基礎(chǔ)上 ,可以另外 衍生出 25種新點(diǎn)群 . 也就是說(shuō) ,晶體結(jié)構(gòu) 的 宏觀(guān)對(duì)稱(chēng)性 ,可概括為 32種晶體點(diǎn)群 . 另外， 7個(gè)晶系 也可以從 幾何圖形 上來(lái)考慮 晶體的 三維周期性結(jié)構(gòu) 可由 a、 b、 c三個(gè)基矢的方向 (夾角 )和長(zhǎng)度 來(lái)決定。宏觀(guān)對(duì)稱(chēng)操作也稱(chēng)為點(diǎn)對(duì)稱(chēng)操作，在點(diǎn)對(duì)稱(chēng)操作基礎(chǔ)上構(gòu)成的對(duì)稱(chēng)操作群稱(chēng)為 點(diǎn)群 。群論作為數(shù)學(xué)的分支，是處理有一定對(duì)稱(chēng)性的物理體系的有力工具。 (2)由螺旋和平移構(gòu)成的復(fù)合操作稱(chēng)為螺旋旋轉(zhuǎn)。由于晶體可以抽象為無(wú)限大的空間點(diǎn)陣 ,所以 ,晶體又具有平移對(duì)稱(chēng)性。同理，四條 3次軸 111和對(duì)稱(chēng)中心退化為 三次旋轉(zhuǎn)反演軸 （等價(jià)于 8個(gè)純轉(zhuǎn)動(dòng) ），六條 2次軸110和對(duì)稱(chēng)中心退化為 二次旋轉(zhuǎn)反演軸 （ 6個(gè)非純轉(zhuǎn)動(dòng)），加上 不動(dòng) ，共 24個(gè)對(duì)稱(chēng)操作。 這種表示方法屬于 國(guó)際符號(hào) (International notation)標(biāo)記法，是海爾曼 (Hermann)和毛袞(Mauguin)制訂的，在 晶體結(jié)構(gòu)分析中 經(jīng)常使用。 ABAB由此可設(shè)想繞 B 轉(zhuǎn) ?角，這將使 A 格點(diǎn)轉(zhuǎn)到 的位置。 晶體結(jié)構(gòu)可以用布拉維格子或布拉維點(diǎn)陣來(lái)描述 ,這樣以來(lái) ,晶體變?yōu)闊o(wú)限大的空間點(diǎn)陣 .從而 ,晶體具有了平移對(duì)稱(chēng)性 ,借助于點(diǎn)陣平移矢量 ,晶格能夠完全復(fù)位 .我們把考慮平移后的對(duì)稱(chēng)性稱(chēng)為晶體的 微觀(guān)對(duì)稱(chēng)性 . 由于晶體的宏觀(guān)對(duì)稱(chēng)操作不包含平移 ,所以宏觀(guān)對(duì)稱(chēng)操作時(shí) ,晶體至少保持有一個(gè)點(diǎn)不動(dòng) ,相應(yīng)的對(duì)稱(chēng)操作又稱(chēng)為 點(diǎn)對(duì)稱(chēng)操作 . 2. 對(duì)稱(chēng)操作的變換矩陣 從數(shù)學(xué)角度來(lái)看 ,晶體的點(diǎn)對(duì)稱(chēng)操作實(shí)質(zhì)上是對(duì)晶體進(jìn)行一定的 幾何變換 ,它使得晶體中的某一點(diǎn) / / / /( , , ) ( , , ) ( , , )r x y z r x y z A r x y z?? 寫(xiě)成 矩陣形式 ，則有 1 1 1 2 1 32 1 2 2 2 33 1 3 2 3 3a a aa a aaaxxxyzz ayyz????????????? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ???? ??????? ??? ?1 1 1 2 1 32 1 2 2 2 33 1 3 2 3 3a a aa a aaaxxxyzz ayyz????????????? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ???? ??????? ??? ?其中： A為變換矩陣 ,由于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)操作 不改變兩點(diǎn)間的距離 ,所以易證 A是一個(gè) 正交矩陣 .亦即滿(mǎn)足 xryz???????????xryz???????????????1 1 1 2 1 32 1 2 2 2 33 1 3 2 3 3a a aA a a aa a a?????????TA A E?兩點(diǎn)間的距離不變 ,即 2 2 2 2 2 2x y z x y z? ? ?? ? ? ? ?//TTr r r r?// ( ) ( )TT TTTr r r r A r A r rAAr? ? ? ?用矩陣表示即 / / / /( , , ) ( , , )r x y z A r x y z?得證 . 以上證明顯示 ,如果晶體在某 正交變換 下不變 ,就稱(chēng)這個(gè) 正交變換 是晶體的一個(gè) 點(diǎn)對(duì)稱(chēng)操作 . （ 1）繞某一軸的旋轉(zhuǎn) (rotation about an axis) c o s s ins in c o sxxy y zz y z?????? ??? ???? ? ???三維晶體的點(diǎn)對(duì)稱(chēng)操作通常總可以表示為繞某一軸的旋轉(zhuǎn)、對(duì)某中心的反演和它們的組合 . 點(diǎn)對(duì)稱(chēng)操作對(duì)應(yīng)的變換矩陣 A的具體形式 比如：繞 x軸的旋轉(zhuǎn)，設(shè)轉(zhuǎn)角為 θ，則有： 1 0 00 c o s sin0 sin c o sxxyyzz?????? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ??? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?同理可得繞 y軸和繞 z軸的變換矩陣 1 0 00 c o s sin0 sin c o sxA ??????????????1A ?所以， 繞 x軸旋轉(zhuǎn)的 變換矩陣為 ： c o s 0 sin0 1 0sin 0 c o syA??????????????c o s sin 0sin c o s 00 0 1zA??????????????且矩陣行列式 均為： （ 2）中心反演 (inversion through a point) xxyyzz? ???? ????? ? ???1 0 00 1 00 0 1A?????? ? ??? ???1A ?? 如果 ,晶體有對(duì)稱(chēng)中心 ,則中心反演也是對(duì)稱(chēng)操作 . 對(duì)原點(diǎn)的反演使得 (x, y, z) → ( x, y, z)，即 ： 1 0 00 1 00 0 1xxyyzz? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ??? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ?(3) 鏡面反映 (Reflection across a plane) 一個(gè)鏡面反映對(duì)稱(chēng)操作 (symmetry operation of mirror image)意味著將點(diǎn)陣對(duì)應(yīng)于某一個(gè)面進(jìn)行反射 ,點(diǎn)陣保持不變 .這表明 一系列格點(diǎn)對(duì)應(yīng)于這個(gè)反射面的位置是等價(jià)的 ,點(diǎn)陣具有鏡面反射對(duì)稱(chēng)性 .如 以 xy面為鏡面 ，則 (x, y, z) →(x, y, z)。用矩陣形式表示，則有 xxyyzz???? ???? ????1 0 00 1 00 0 1A???????????1A? ? ?1 0 00 1 00 0 1xxyyzz?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ?
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