數(shù)值計(jì)算方法ppt課件(2)-免費(fèi)閱讀
【正文】 iiijjijiilxlbx?????11?????????????nnnnnnaaaaaaaaaA???????212222111211bAx ?ni ,3,2 ??第二章 插值與逼近 數(shù)據(jù)擬合 (最小二乘法 ) 167。華長(zhǎng)生制作 2 數(shù)據(jù)擬合 (最小二乘法 ) 167。實(shí)例：考察某種纖維的強(qiáng)度與其拉伸倍數(shù)的關(guān)系 ,下表 是實(shí)際測(cè)定的 24個(gè)纖維樣品的強(qiáng)度與相應(yīng)的拉伸倍數(shù) 是記錄 : 編 號(hào) 拉伸倍數(shù) 強(qiáng) 度 編 號(hào) 拉伸倍數(shù) 強(qiáng) 度1 13 5 2 2 14 53 15 6 4 16 5 17 66 18 7 3 19 8 8 20 8 79 4 4 21 10 4 22 9 811 23 12 24 10 ii yx ii yx華長(zhǎng)生制作 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10123456789纖維強(qiáng)度隨拉伸 倍數(shù)增加而增加 系要關(guān)系應(yīng)是線性關(guān)的主與拉伸倍數(shù)因此可以認(rèn)為強(qiáng)度xy并且 24個(gè)點(diǎn)大致分 布在一條直線附近 xxy 10)( ?? ??為待定參數(shù)其中 10 , ??(1) 華長(zhǎng)生制作 4 越接近越好樣本點(diǎn)與所有的數(shù)據(jù)點(diǎn)我們希望 ),)(()( 10 ii yxxxy ?? ??必須找到一種度量標(biāo)準(zhǔn)來(lái)衡量什么曲線最接近所有數(shù)據(jù)點(diǎn) 一、最小二乘法的基本概念 iii yxy ?? )(?令一般使用 ???mii0222 ??在回歸分析中稱為殘差 ????miii yxy02))((準(zhǔn)偏離程度大小的度量標(biāo)與數(shù)據(jù)點(diǎn)作為衡量 ),()( ii yxxy稱為平方誤差 華長(zhǎng)生制作 5 在回歸分析中稱為殘差平方和 從而確定 (1)中的待定系數(shù) ???mii0222 ?? ????miii yxy02))((注意 (1)式是一條直線 關(guān)系的關(guān)系并不一定是線性但 yx ,因此將問(wèn)題一般化 華長(zhǎng)生制作 6 )(, xSyyx ?的關(guān)系為設(shè)?來(lái)自函數(shù)類其中 )( xS 來(lái)自線性函數(shù)類中如 )()1( xy為給定的一組數(shù)據(jù)設(shè) ),1,0)(,( miyx ii ??),1,0)(( nixi ??? ?的基函數(shù)為設(shè)函數(shù)類 mn ?一般要求即生成的函數(shù)集是由也稱 ,),1,0)(( nixi ??? ?)}(,),(),({ 10 xxxs p a n n??? ??????mii0222 ?? ????miii yxS02))((仍然定義平方誤差 ???njjj xaxS0)()( ???華長(zhǎng)生制作 7 我們選取的度量標(biāo)準(zhǔn)是 )(* xS中選取一個(gè)函數(shù)在函數(shù)類 ????njjj xaxS0* )()(* ?)(*)(*)(* 1100 xaxaxa nn ??? ???? ?22*? ????miii yxS02))(*(??????miiixS yxS02)())((mi n22)(m in ???? xS中的任意函數(shù)為其中 ?? ??mjjj xaxS0)()( ?(2) (3) 華長(zhǎng)生制作 8 數(shù)據(jù)擬合的最小二乘法的方法為的求函數(shù)稱滿足條件 ???njjj xaxS0* )()(*)3( ?為最小二乘解???njjj xaxS0* )()(* ?為擬合系數(shù)為擬合函數(shù) ),1,0(,)()(0njaxaxS jnjjj ??? ???),1,0(,)( njaxS j ??如何求擬合系數(shù)后在確定了擬合函數(shù)呢？滿足擬合條件使得 )3()()(*0*???njjj xaxS ?誤差稱為最小二乘解的平方22*?華長(zhǎng)生制作 9 ? ?? ???miinjijj yxa020))(( ?????miii yxS02))((二、法方程組 22????njjj xaxS0)()( ?由 的函數(shù)為擬合系數(shù) ),1,0( nja j ??可知 因此可假設(shè) ),( 10 naaa ?? ? ?? ???miinjijj yxa020))(( ?因此求最小二乘解轉(zhuǎn)化為 二次函數(shù) 華長(zhǎng)生制作 10 的問(wèn)題點(diǎn)極小值的最小值求 *,*,*,)(),( 1010 nn aaaaaa ???由多元函數(shù)取極值的必要條件 0),( 10 ???knaaaa ?? nk ,1,0 ??)]())((2[0 0ikmiinjijj xyxa ??? ?? ???ka??? 0?得 即 ?? ??? ??miikimiiknjijj xyxx
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