二項(xiàng)式定理典型例題-免費(fèi)閱讀
【正文】 二項(xiàng)式定理典型例題典型例題一例1 在二項(xiàng)式的展開式中，前三項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列，求展開式中所有有理項(xiàng)．分析：本題是典型的特定項(xiàng)問題，涉及到前三項(xiàng)的系數(shù)及有理項(xiàng)，可以通過抓通項(xiàng)公式解決．解：二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)公式為：前三項(xiàng)的得系數(shù)為：，由已知：，∴通項(xiàng)公式為為有理項(xiàng)，故是4的倍數(shù)，∴依次得到有理項(xiàng)為．說明：本題通過抓特定項(xiàng)滿足的條件，利用通項(xiàng)公式求出了r的取值，得到了有理項(xiàng)．類似地，的展開式中有多少項(xiàng)是有理項(xiàng)？可以通過抓通項(xiàng)中r的取值，得到共有17頁 系數(shù)和為．典型例題四例4 （1）求展開式中的系數(shù)；（2）求展開式中的常數(shù)項(xiàng)．分析：本題的兩小題都不是二項(xiàng)式展開，但可以轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式展開的問題，（1）可以視為兩個二項(xiàng)展開式相乘；（2）可以經(jīng)過代數(shù)式變形轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式．解：（1）展開式中的可以看成下列幾種方式得到，然后合并同類項(xiàng)：用展開式中的常數(shù)項(xiàng)乘以展開式中的項(xiàng)，可以得到；用展開式中的一次項(xiàng)乘以展開式中的項(xiàng)可得到；用中的乘以展開式中的可得到；用 中的項(xiàng)乘以展開式中的項(xiàng)可得到，合并同類項(xiàng)得項(xiàng)為：．（2）．由展開式的通項(xiàng)公式，可得展開式的常數(shù)項(xiàng)為．說明：問題（2）中將非二項(xiàng)式通過因式分解轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式解決．這時我們還可以通過合并項(xiàng)轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式展開的問題來解決．典型例題五例5 求展開式中的系數(shù)．分析：不是二項(xiàng)式，我們可以通過或把它看成二項(xiàng)式展開．解：方法一： 其中含的項(xiàng)為．含項(xiàng)的系數(shù)為6．方法二：其中含的項(xiàng)為．∴項(xiàng)的系數(shù)為6．方法3：本題還可通過把看成6個相乘，每個因式各取一項(xiàng)相乘可得到乘積的一項(xiàng)，項(xiàng)可由下列幾種可能得到．5個因式中取x，一個取1得到．3個因式中取x，一個取，兩個取1得到．1個因式中取x，兩個取，三個取1得到．合并同類項(xiàng)為，項(xiàng)的系數(shù)為6．典型例題六例6 求證：（1）；（2）．分析：二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)實(shí)際上是組合數(shù)的性質(zhì)，我們可以用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)來證明一些組合數(shù)的等式或者求一些組合數(shù)式子的值．解決這兩個小題的關(guān)鍵是通過組合數(shù)公式將等式左邊各項(xiàng)變化的等數(shù)固定下來，從而使用二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)．解：（1）∴左邊 右邊．（2）．
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