總結(jié)求逆矩陣方法-免費閱讀
【正文】 解：利用輾轉(zhuǎn)相除法可得 5x 1=f (x )( 4141 ?x )+ 2121 ?x , f (x )=( 3224168 23 ??? xxx )( 2121 ?x )+ 2121 ?x ，并整理得 ? ??????? ???? 72222181 234 xxxx f (x )+ ? ? ? ?13224168181 523 ??????? ???? xxxx =1. 由上知 d (x )=1 0? ,故 A 可逆，且 u (x )= ? ?72222181 234 ???? xxxx ， 則 u (? )=A （ 187? ， 91 ， 91 ， 91 ， 91 ） = 1?A . 用歐幾里德方法求循環(huán)矩陣的逆矩陣可直接判斷該矩陣是否可逆，并且計算起來比較快捷。 由 A 1?A ＝ ??????4321 AA AA ??????4221 ZZ ZZ ＝ ??????sr EE210 0 ，得 ???????????????srEZAZAZAZAZAZAEZAZA44232341314221321100?? ?? ?? ?? ???????????????????????????121134413142131431213421121314211AAAAZAAAAAAZAAAAAAZAAAAZ 注：應(yīng)用此法，還可得出： （１） 1431 0 ??????? AAA ＝ ??????? ??? ? 141131411 0AAAA A（ 1A ， 4A 可逆） 。 9 / 17 推論 1 設(shè) 1?mA =diag(1a , 2a ,..., 1?ma )(ia ? 0,i =1,2,...,m +1),則 11??mA =diag( 11?a ， 12?a ， ...， 11??ma ). 證明：此時 m? =0， m? =0， mc = 1?ma ,于是 11??mA = ?????? ? 00 01mA + ?????? ??11000ma= ?????????1110 0mm aA=......=diag( 11?a ， 12?a ， ...， 11??ma ) . 推論 2 設(shè) A = ?????? dc ba( 0??bcad )，則 1?mA = bcad?1 ??????? ?ac bd. 證明：設(shè) a ? 0，此時 11?A = ??????a1， 1? = ???????ac， 1? = ???????ab， 1c = abcad? ，所以 11?A = ????????0001a + bcada??????????????12ac cbabc= bcad?1 ??????? ?ac bd，上式在 a =0也成立，證畢。 例 當(dāng) b ? a 時，且 b ? (1n )a 時，求證： 1?A = ?????? ???? Eanb aEab )1(1. 6 / 17 證明：∵ A =bababa?????????+????????????aaaaaaaaa..................... =（ ba） E+??????????aaa ? ?1...111 . 于是由 ShermanMorrvson 公式定理可求得 A 的逆為： 1?A = ?????? ???? Eanb aEab )1(1，其中 E =????????????1...11............1...111...11. 由該例題若求形如矩陣 A 的逆，只要將 a 、 b 的值代入上述公式，即可求得。 解：（ A ,E ） ? ????????????100521010310001132? ????????????001132010310100521? ?? ????????????? 201910010310100521? ?????????????? 211600010310100521? ?? ???????????????? 316161100010310100521? ??????????????????????31616110012321010326565021? ?? ?????????????????????316161100123210103461361001，故 1?A =?????????????????????316161123213461361. (2)初等列變換 如果 n 階矩陣 A 可逆，作一個 2n ? n 的矩陣 ??????EA，然后對此矩陣施以初等列變換，使矩陣 A 化為單位矩陣 E ，則同時 E 化為 1?A ,即 ??????EA ? ?? ???????1AE. 3 / 17 例 用初等列變換求矩陣 A =??????????101111123 的逆矩陣。 例 已知 n 階矩陣 A 滿足 0322 ??? EAA 。又 11A =2， 12A =3， 13A =2， 21A =6， 22A =6， 23A =2， 31A =4， 32A =5， 33A =2. 所以 1?A =A1*A =21??????????????222563462 =??????????????111 25323 231 . 用初等變換去求逆矩陣 如果 A 可逆，則 A 可通過初等行變換化為單位矩陣 E ，即存在相應(yīng)的初等矩陣 1E 、 2E … sE 使 sE … 2E 1E A ＝ E （ 1），用 1?A 又乘上式兩端，得 sE … 2E 1E E 2 / 17 ＝ 1?A （ 2），比較（ 1）、（ 2）兩式，可知當(dāng) A 通過行初等變換化為 E 的同時，對單位矩陣 E 作同樣的初等行變換，就化為 A 的逆矩陣 1?A .同樣，只要用列的初等變換也可以求逆矩陣。 定理 設(shè) A 為 n 階可逆矩陣，且 A ＝ B ＋ X C Y ，其中 1?B 已知， C 是 r ? r可逆陣， r ? n ，又設(shè) 1?C ＋ 1?B 可逆，則 1?A ＝ 1?B － 1?B X ? ? 111 ??? ? XYBC Y 1?B . （１） 例 求矩陣 A =?
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