【正文】 例 某連續(xù)系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù) 35342)(23 ?????SSSSSH用直接形式模擬系統(tǒng)。 離散系統(tǒng)的模擬：將已知的傳遞函數(shù)用加法器、放大器、延遲器按照一定的方式實(shí)現(xiàn)。 舉例：復(fù)雜的系統(tǒng)。 不接觸 ：環(huán)路之間沒(méi)有公共的支路或節(jié)點(diǎn)。 (5)通路 ：沿箭頭指向從一個(gè)節(jié)點(diǎn)到另一個(gè)節(jié)點(diǎn)的途徑。 (a) 方框圖； (b) 信號(hào)流圖 Y ( s )F ( s ) 1 X1( s ) H1( s ) H3( s )X2( s )H2( s )( b )＋( a )＋X1( s )H1( s ) H3( s )H2( s )Y ( s )X 2 ( s )＋F ( s )110 解 系統(tǒng)的方框圖中 ， H1(s)、 H2(s)、 H3(s)分別是三個(gè)子系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù) 。在 N為偶數(shù)時(shí)，可以全部組合成二階系統(tǒng)的級(jí)聯(lián)形式。 96 六 .系統(tǒng)函數(shù)的計(jì)算 根據(jù)定義，對(duì)單位沖擊響應(yīng) LT。因?yàn)榇溯o助多項(xiàng)式必為原多項(xiàng)式的一個(gè)因式，其根必為原多項(xiàng)式的極點(diǎn)，這些極點(diǎn)可能分布在虛軸上。 F ( s )＋－X ( s )H1( s ) Yf( s )90 解 令加法器的輸出為 X(s)， 則有 )]()()[()()()()()()(11 sYsFsHsXsHsYsYsFsXfff?????由上式得 KsssKsHsHsFsYsHsFsHsHsYff?????????1011)(1)()()()()()(1)()(23111191 22111dc0010dcK根據(jù) H(s)的分母構(gòu)成羅斯陣列，得 92 按照前面的公式計(jì)算陣列的未知元素，得到陣列為 1 1011 10 011 0KKK???????根據(jù) RH準(zhǔn)則 ， 若 和 K ＞ 0， 則系統(tǒng)穩(wěn)定 。 若 ai中有缺項(xiàng) (至少一項(xiàng)為零 )，或者 ai的符號(hào)不完全相同 ， 則 A(s)不是霍爾維茲多項(xiàng)式 ， 故系統(tǒng)不是穩(wěn)定系統(tǒng) 。 羅斯 霍爾維茲準(zhǔn)則包括兩部分 ， 一部分是 羅斯陣列 ， 一部分是 羅斯判據(jù) (羅斯準(zhǔn)則 )。而在實(shí)際上，判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并不需要知道極點(diǎn)的確切位置，只需了解它是否在左半平面上。 j?74 三 . 由 LCCDE描述的 LTI系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)： 對(duì) 00( ) ( )kkNNkkkkkkd y t d x tabd t d t?? ???做拉氏變換，可得 00( ) ( )( ) ,( ) ( )NkkkNkkkbsY s N sHsX s D sas??? ? ???是一個(gè)有理函數(shù) 75 的 ROC需要由系統(tǒng)的相關(guān)特性來(lái)確定。 的全部極點(diǎn)都在 S平面的左半邊。 70 2. 穩(wěn)定性： 如果系統(tǒng)穩(wěn)定，則有 。系統(tǒng)的許多重要特性在 及其 ROC中一定有具體的體現(xiàn)。 若 則 58 8. S域微分 :（ Differentiation in the sDomain） ( ) ( ) ,x t X s?()( ) ,d X stx tds??若 則 R O C : RR O C : R21()()Xs sa? ?R O C : a? ??例 . 求 ()xt211 ()()ds a ds s a????( ) ( )atx t te u t???Page496：例 、例 59 9. 時(shí)域積分 :（ Integration in the Time Domain ） ( ) ( ) ,x t X s? R O C : R若 1( ) ( )t x d X ss???? ??ROC : 包括 ( R e [ ] 0 )Rs ?則 ( ) ( ) ( )t x d x t u t???????1( ) ( )t x d X ss???????ROC : 包括 ( R e [ ] 0 )Rs ?60 如果 是因果信號(hào)，且在 不包含奇異函數(shù)，則 ()xt 0t ?( 0 ) l im ( )sx s X s? ???—— 初值定理 ( ) ( ) ( )x t x t u t??0t ? ( ) 0xt ?時(shí) ，且在 不包含奇異函數(shù)。 1. 線性（ Linearity ）： 11( ) ( ) ,x t X s? 1RO C : R22( ) ( ) ,x t X s? 2RO C : R若 ROC也可能比這個(gè)交集大 50 112( ) 1 ,11sXsss?? ? ???R O C : 1? ??21( ) ,1Xs s???R O C : 1? ??? ?12( ) ( ) 1x t x t t?? ? ?而 ROC為整個(gè) S平面 ? 當(dāng) 與 無(wú)交集時(shí)，表明 不存在。但零點(diǎn)在左半平面的系統(tǒng)其相位總小于零點(diǎn)在右半平面的系統(tǒng)。 1 / 2? ? 22 n??n???2 n??21n???j??042 4. 當(dāng) 時(shí)，兩極點(diǎn)分別位于 軸上的 處，此時(shí)系統(tǒng)處于 無(wú)阻尼狀態(tài) 。隨著 ，兩極點(diǎn)相向移動(dòng)，向 處靠攏。所有零點(diǎn)矢量的幅角之和減去所有極點(diǎn)矢量的幅角之和即為 。當(dāng) ROC包括 軸時(shí)，以 代入 ，就可以得到 。 ()Xs 1. 將 展開(kāi)為部分分式。 ROC必然滿足下列規(guī)律： 1. 右邊信號(hào)的 ROC一定位于 最右邊極點(diǎn)的右邊。 4. 右邊信號(hào)的 ROC是 S 平面內(nèi)某一條平行于 軸的直線的右邊。 ROC總是以平行于 軸的直線作為邊界的，ROC的邊界總是與 的分母的根對(duì)應(yīng)的。 ()xtte ??() tx t e ???8 ( ) ( )atx t e u t??例 1. ()001() a t s t s a tX s e e d t e d tsa??? ? ? ?? ? ????R e [ ]sa??在 時(shí)收斂 當(dāng) 時(shí)， 的傅里葉變換存在 ()xt0a ?01() a t j tX j e e dtaj???? ??????( 0)a ?顯然，在 時(shí)，拉氏變換收斂的區(qū)域 ，包括了 （即 軸）。 如果 LTI系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)為 ，則系統(tǒng)對(duì) 產(chǎn)生的響應(yīng)是 : ste()htste( ) ( ) sty t H s e? ( ) ( ) stH s h t e dt? ???? ?，其中 顯然當(dāng) 時(shí)，就是傅里葉變換。1 第 9章 拉普拉斯變換 Signals and Systems . OPPENHEIM, et al. The Laplace Transform 2 1. 雙邊拉普拉斯變換； 2. 雙邊拉普拉斯變換的收斂域； 3. 零極點(diǎn)圖； 4. 雙邊拉普拉斯變換的性質(zhì)； 5. 系統(tǒng)函數(shù)； 6. 單邊拉普拉斯變換； 本章基本內(nèi)容： 3 引言 Introduction 傅里葉分析方法之所以在信號(hào)與 LTI系統(tǒng)分析中如此有用，很大程度上是因?yàn)橄喈?dāng)廣泛的信號(hào)都可以表示成復(fù)指數(shù)信號(hào)的線性組合，而 復(fù)指數(shù)函數(shù)是一切 LTI 系統(tǒng)的特征函數(shù)。 sj??The Laplace Transform 6 一 .雙邊拉氏變換的定義： ( ) ( ) stX s x t e dt? ???? ?稱為 的 雙邊拉氏變換 ，其中 。 0a ?R e [ ]sa?? 0? ? j?9 比較 和 ，顯然有 ()Xj?()Xs( ) ( )sjX s X j? ?? ?當(dāng) 時(shí)， ( ) ( ) ( )atx t e u t u t???0a ?1()uts?可知 R e [ ] 0s ?例 2. ( ) ( )atx t e u t?? ? ?00 () 1() a t s t s a tX s e e d t e d tsa? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ??? R e [ ]sa??與例 ，區(qū)別僅在于收斂域不同。 j?()XsR e [ ] 1s ??若 是有理函數(shù) ()Xs ()()()( ) ( )iiiisNsX s MD s s??????????j2? 1?14 分子多項(xiàng)式的根稱為 零點(diǎn) ，分母多項(xiàng)式的根稱為 極點(diǎn) 。 j?j?The Region of Convergence for Laplace Transforms 16 0() tT x t e dt?? ? ???若 ，則 10??? 1() tT x t e dt?? ??0 1 01 0 0()()()()ttTTtTx t e e d te x t e d t? ? ?? ? ??? ? ??? ? ??? ? ???1?表明 也在收斂域內(nèi)。 2. 左邊信號(hào)的 ROC一定位于 最左邊極點(diǎn)的左邊。 2. 根據(jù) 的 ROC，確定每一項(xiàng)的 ROC 。以此為基礎(chǔ)可以用幾何求值的方法從零極點(diǎn)圖求得 的特性。 1s1()Xs1()Xs1s 當(dāng) 取為 軸上的點(diǎn)時(shí)，即為傅里葉變換的 幾何求值。 n???1c1? ? ()Hs?? 2. 當(dāng) 時(shí)，兩極點(diǎn)重合于 處，成為二階極點(diǎn)。 0? ? j? nj?? 系統(tǒng)的相位特性也可以從零極點(diǎn)圖得到。因此將 零點(diǎn)僅位于左半平面或者 軸的系統(tǒng)稱為最小相位系統(tǒng)。 1R 2R ()Xs例 . ? ? ? ?1 () tx t t e u t? ??? ? ?2 () tx t e u t???Page492：例 51 2. 時(shí)移性質(zhì)（ Time Shifting） : ( ) ( ) ,x t X s? R O C : R若 00( ) ( ) ,stx t t X s e ???ROC不變 則 3. S域平移（ Shifting in the sDomain） : ( ) ( ) ,x t X s? R O C : R若 則 0 0( ) ( ) ,stx t e X s s?? 0ReR O C ]: [Rs? 表明 的 ROC是將 的 ROC平移了一個(gè) 。 0t?Proof: 將 在 展開(kāi)為 Taylor級(jí)數(shù)有： ()xt 0t ?? 10. 初值與終值定理 : （ The Initial and Final Value Theorems) 61 2()( ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( )2!nnttx t x x t x x u tn? ? ? ???? ??? ? ? ? ? ?????對(duì)上式兩邊做拉氏變換： ()211 1 1( ) (0 ) (0 ) (0 )nnX s x x xs s s? ? ???? ? ? ? ?()101( 0 )nnnx s????? ?l i m ( ) (0 )s s X s x ?????62 如果 是因果信號(hào)，且在 不包含奇異函數(shù)， 除了在 可以有單階極點(diǎn)外，其余極點(diǎn)均在 S平面的左半邊，則 ()xt 0t ?