【正文】 師：如何將兩平行線之間的距離公式轉(zhuǎn)化為點到直線的距離公式？ 生：根據(jù)平行線之間的距離處處相等，在 l1 任取一點 P（ x0 , y0）， y0=kx0+b1即 b1= y0 kx0 代入公式得2200 1 k bkxyd ? ??? 。教師要正確把握教材；合理組織探究內(nèi)容，抓住探究的關(guān)鍵點；設(shè)計出一些富有挑戰(zhàn)性，能激發(fā)起學(xué)生探究興趣，且可使學(xué)生在探究之后能獲得成就感的數(shù)學(xué)材料來組織課題探究學(xué)習(xí)。 擁有共同目標(biāo)的小組成員之間必定會形成積極的相互促進(jìn)的關(guān)系，與傳統(tǒng)教學(xué)相比，合作學(xué)習(xí)給予學(xué)生更多的機(jī)會嘗試多種交流方式，討論，指導(dǎo)等，學(xué)生通過彼此之間的交流與自我思考解決認(rèn)知沖突，從而達(dá)到對知識的真正理解。相反，條件開放（條件在不斷變化），結(jié) 論開放（多結(jié)論或無固定結(jié)論），策略開放（可以采用多種方法和途徑去解決）的問題稱之為“數(shù)學(xué)開放題”。而只有當(dāng)創(chuàng)設(shè)的數(shù)學(xué)情境進(jìn)入學(xué)生的“最近發(fā)現(xiàn)區(qū)”同時在內(nèi)容上富有挑戰(zhàn)性和探索性，學(xué)生才能在已有的認(rèn)知水平基礎(chǔ)上，通過教師的適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)，從中發(fā)現(xiàn)問題，提出問題，形成“問題意識”，從而進(jìn)一步提高自己的探究意識和創(chuàng)新意識。 當(dāng)前有不少師生認(rèn)為開展課題探究是課堂之外的事情，其實這是一 種 誤解。 。一般來說，選擇數(shù)學(xué)課題探究學(xué)習(xí)的內(nèi)容可遵循以下幾條原則： 。數(shù)學(xué)不僅有豐富的知識體系，同時更有豐富的精神內(nèi)涵。這 種以問題為中心的探究活動，符合學(xué)生認(rèn)識心理發(fā)展的基本規(guī)律。 三、數(shù)學(xué)課題探究學(xué)習(xí)有利于培養(yǎng)學(xué)生的“潛創(chuàng)造力” 海納特（ Heinelt）將創(chuàng)造力分為創(chuàng)造力、潛創(chuàng)造力和真創(chuàng)造力。這種學(xué)習(xí)過程，是學(xué)習(xí)主體對學(xué)習(xí)客體的主動探索和不斷創(chuàng)新，從而不斷發(fā)現(xiàn)客體的特征，不斷改進(jìn)已有的認(rèn)識和經(jīng)驗，建構(gòu)自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過程 [21]。例如，一類答案不唯一，在設(shè)問方式上要求學(xué)生進(jìn)行多方面、多角度多層次探索的數(shù)學(xué)山東師范大學(xué)碩士學(xué)位論文 17 “開放性”問題，有助于開拓思路、增強(qiáng)趣味性。 數(shù)學(xué)學(xué)科的高度抽象性給人留下這樣一種印象：數(shù)學(xué)課題探究活動的內(nèi)容主要是一些形式化的抽象問題，單調(diào)、枯燥是其基本特點。另外，數(shù)學(xué)課題探究學(xué)習(xí)過程的開放性，使 學(xué)生能夠根據(jù)自己的知識結(jié)構(gòu)，靈活地運用知識，更好地把握所學(xué)知識之間的聯(lián)系，融會貫通地掌握知識。演繹推理是由一般性的命題 推出特殊性命題的推理方法。它既重視正式評價，也注重非正式評價，如小組評價、小組互評、學(xué)生自評等。美國教育心理學(xué)家加涅把學(xué)習(xí)分為 8 個層次，其中最后 3 個層次分別是： （ 1） 概念學(xué)習(xí)，即通過概念來了解事物的本質(zhì)； （ 2） 規(guī)則學(xué)習(xí)，即懂得概念與概念之間的聯(lián)系； （ 3） 問題解決學(xué)習(xí)，即運用概念和規(guī)則來解決問題。作為促進(jìn)者，教師的主要任務(wù)是把握正確的探究方向，激勵學(xué)生勇于探索和創(chuàng)造的動機(jī)，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究。因此，數(shù)學(xué)課題探究學(xué)習(xí)就把數(shù)學(xué)問題解決作為一種重要的數(shù)學(xué)活動貫徹到數(shù)學(xué)課堂教學(xué)之中。教師的任務(wù)就是為學(xué)生提供自己廣闊的天地，聽任各種不同思維、不同方法自由發(fā)展，決不可對內(nèi)容作任何限制，更不應(yīng)該對其發(fā)現(xiàn)作任何預(yù)置的“圈套” [18]。由此得出結(jié)論：學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就是做數(shù)學(xué)，只有在做數(shù)學(xué)的過程中才有可能理解數(shù)學(xué)、學(xué)會數(shù)學(xué)。盡管建構(gòu)主義者流派紛呈，各有研究側(cè)重，但大多數(shù)建構(gòu)主義這對學(xué)習(xí)存在如下共識：學(xué)習(xí)者以自己的方式建構(gòu)自己的理解； 新的學(xué)習(xí)依靠原有的經(jīng)驗；社會性的互動可促進(jìn)學(xué)習(xí)；有意義的學(xué)習(xí)發(fā)生于真實的學(xué)習(xí)任務(wù)中 [16]?！陡咧袛?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出： 數(shù)學(xué)探究學(xué)習(xí)，是指學(xué)生圍繞某個數(shù)學(xué)問題，自主探究、學(xué)習(xí)的過程。作為一種學(xué)習(xí)方式，探究學(xué)習(xí)強(qiáng)調(diào)一種主動的探 索行為和創(chuàng)新的實踐精神，因而主動參與、自主學(xué)習(xí)是探究學(xué)習(xí)的突出特點。 基于以上分析，數(shù)學(xué)探究學(xué)習(xí)亟待解決的根本問題是：數(shù)學(xué)探究學(xué)習(xí)是否僅適于一些“數(shù)學(xué)專題性 研究”？在數(shù)學(xué)課堂學(xué)習(xí)中有沒有普遍開展的可能？為此，在新課程背景下，筆者提出數(shù)學(xué)課題探究學(xué)習(xí)?；旧贤Ａ粼凇耙话闾骄繉W(xué)習(xí)理論 +數(shù)學(xué)例子”的層面，嫁接、移植的痕跡相當(dāng)明顯。徐利治通過對數(shù)學(xué)方法論的研究，揭示出問題化歸的本質(zhì)，為數(shù)學(xué)解題的探究學(xué)習(xí)過程做出了開拓性工作。探究學(xué)習(xí)較之傳授式學(xué)習(xí)是否具有明顯的優(yōu)越性，這是不可回避的現(xiàn)實問題。 探究學(xué)習(xí)與數(shù)學(xué)推理。波利亞（ G. Polya）雖沒有直接提出數(shù)學(xué)探究學(xué)習(xí)的解題理論，但在其三本名著（《怎樣解題》、《數(shù)學(xué)與猜想》、《數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)》）中，似乎完整地體現(xiàn)出了探究活動在解決數(shù)學(xué)問題過程中的幾個層次：首先，較翔實地勾畫了解題的探索過程和操作模式，在“探索法小詞典”里集中對一些具體問題 的探索進(jìn)行了研究；其次，提出了數(shù)學(xué)啟發(fā)法思想，通過分析解題探究的過程，總結(jié)出可以說是探究的一般方法和模式，如笛卡爾模式、雙軌跡模式、遞歸模式、疊加模式等；最后從思維的高度對解題的探索過程作了深層的探討 [11]。薩其曼堅信在課堂上實施探究學(xué)習(xí)必須具備三個條件：第一，有一個集中學(xué)生注意的焦點，最好是一個能引起學(xué)生驚異的事件或現(xiàn)象；第二，學(xué)生享有探索的自由；第三，有一個豐富的容易引起反應(yīng)的環(huán)境。 施瓦布又在“科學(xué)的本質(zhì)是不斷變化的”這個前提下，提出“作為探 究的科學(xué)教學(xué)”（ teaching science as inquiry）實際上有兩個不同的組成部分：“通過探究教學(xué)”（ teaching by inquiry）和“作為探究的科學(xué)”（ science as inquiry）這兩個部分可被相應(yīng)地看成是科學(xué)教學(xué)的方法和內(nèi)容 [8]。 盡管如此，杜威的實用主義探究教學(xué)的理論與實踐卻存在兩個致命的弱點，其一是在認(rèn)識上把思維過程與教學(xué)過程等同，忽視二者之間必要的轉(zhuǎn)換環(huán)節(jié)及影響因素，將思維的一般過程直接搬到教學(xué)中，要求師生對所有知識都采用解決問題的方式來學(xué)習(xí)，這與教學(xué)實際不符。杜威的科學(xué)風(fēng)氣之先，從其實用主義哲學(xué)觀點出發(fā)，對知識觀進(jìn)行了系統(tǒng)的清理與反思。 （ 2）數(shù)學(xué)課題探究學(xué)習(xí)過程理論的構(gòu)建 構(gòu)建數(shù)學(xué)課題探究學(xué)習(xí)過程理論是本研究的特色所在。對于在數(shù)學(xué)課堂里開展探究學(xué)習(xí)的具體環(huán)節(jié)及相關(guān)因素缺乏系統(tǒng)與實證研究。 Mathematics ideology. 山東師范大學(xué)碩士學(xué)位論文 1 前 言 一、研究問題的提出 20 世紀(jì) 80 年代，數(shù)學(xué)菲爾茲獎獲得者、對基礎(chǔ)數(shù)學(xué)教育關(guān)愛至深的著名數(shù)學(xué)家托姆（ Rene Thom）曾針對當(dāng)時中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的現(xiàn)狀大聲疾呼：數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)主要應(yīng)是一個自發(fā)探究的過程，如果認(rèn)為只需通過大量的生記強(qiáng)練，就會更容易地學(xué)到 數(shù)學(xué)，那無論如何是一個可悲的錯誤 [1]。② The influence of mathematics project inquiry learning to students’ subject consciousness。具體而言，在課堂中開展數(shù)學(xué)課題探究學(xué)習(xí)的一般模式主要由以下四個環(huán)節(jié)構(gòu)成：“情境式”問題提出；“發(fā)現(xiàn)式”問題探究；山東師范大學(xué)碩士學(xué)位論文 II “開放式”問題變換；“合作式”問題交流。在新課程背景下，筆者提出數(shù)學(xué) 課題探究學(xué)習(xí)。數(shù)學(xué)課堂學(xué)習(xí)文化的改變勢在必行，這是全球化研究的熱點。 研究的創(chuàng)新點及主要成果 ● 對數(shù)學(xué)課題探究學(xué)習(xí)的個性的分析 數(shù)學(xué)課題探究學(xué)習(xí)具有其個性化特點，突出表現(xiàn)在：數(shù)學(xué)課題探究學(xué)習(xí)具有開放性，數(shù)學(xué)課題探究方法的多樣性，數(shù)學(xué)課題探究學(xué)習(xí)活動內(nèi)容的豐富性，數(shù)學(xué)課題探究學(xué)習(xí)需要進(jìn)行抽象。 the project inquiry design of mathematics problem solving。 Mathematics project inquiry。針對數(shù)學(xué)學(xué)科特點的探究學(xué)習(xí)及學(xué)習(xí)方式的相關(guān)理論研究相對薄弱。 法 主要采用了文獻(xiàn)分析、案例點評、教學(xué)訪談、調(diào)查及教學(xué)實驗的研究方法。 山東師范大學(xué)碩士學(xué)位論文 4 第一章 數(shù)學(xué)課題探究學(xué)習(xí)的研究背景及本文擬研究的問題 第一節(jié) 探究學(xué)習(xí)理論研究的歷史透視 探究學(xué)習(xí)的思想淵源應(yīng)追溯到古希臘哲學(xué)家蘇格拉底的“產(chǎn)婆術(shù)”；法國啟蒙思想家盧梭的“自然教育理論”；以及我國的《學(xué)記》中的“雖有至道，弗學(xué)不知其也”、“強(qiáng)而弗抑則易，開而弗達(dá)則思”的“主動體驗”思想等 [2]。他把思維過程分為五步，相應(yīng)地把教學(xué)也分為五階段 [5]： “經(jīng)驗的真實情境” 即學(xué)生要有興趣的一些活動； “情境”里面，要有促使學(xué)生去思考的“真實問題”； ， 從事必須的觀察，用來對付這種問題； ，并將這些設(shè)想整理排列，使其秩序井然，有條不紊； ，檢驗這種方法的可靠性。并把探究活動的分析為兩個側(cè)面，其一是不變動科學(xué)體系但有助于簡練地構(gòu)筑科學(xué)體系的固定性研究；其二是變革科學(xué)體系的流動性探究。但這種探究教學(xué)仍存在一些不足之處：教學(xué)進(jìn)度緩慢、耗時、需要大量的教學(xué)材料和設(shè)備；課堂教學(xué)秩序容易混亂，教師倉促完成任務(wù)；探究本身具有模糊性難以 實施、結(jié)構(gòu)難以控制；學(xué)生讀、寫、算水平下降；再加上大多數(shù)實驗重視對事實的記憶，而忽視科學(xué)方法和技能以及調(diào)查策略研究的考核，這些因素使得大多數(shù)教師不能也不愿意采用探究教學(xué)。事實上，數(shù)學(xué)探究學(xué)習(xí)理論與實踐研究成果散見于數(shù)學(xué)問題研究等文獻(xiàn)中。 Bass， 2022）就數(shù)學(xué)推理問題與探究能力的關(guān)系進(jìn)行了較長時間的實證研究，得出結(jié)論：數(shù)學(xué)推理問題的練習(xí)對提高探究能力效果顯著，數(shù)學(xué)探究學(xué)習(xí)依賴于一定的假設(shè) —— 演繹推理活動。探究表現(xiàn)為一個過程，學(xué)生能否在這個過程中獲得較多的過程技能？如測量、觀察、繪圖、計算、猜測等活動中的技能。設(shè)立“數(shù)學(xué)探究”、“數(shù)學(xué)建模”等學(xué)習(xí)活動，為學(xué)生積極主動的、多樣化的學(xué)習(xí)方式進(jìn)一步創(chuàng)造有利的條件，以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，鼓勵學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中，養(yǎng)成獨立思考、積極 探索的習(xí)慣 [14]。 此外，計算機(jī)技術(shù)在數(shù)學(xué)探究活動中的重要作用也引起了一定的重視。許多研究將數(shù)學(xué)探究學(xué)習(xí)理解為解決那些開放性的、貼近生活實際的、涉及到查詢資料、實驗操作、統(tǒng)計分析、數(shù)學(xué)建模等特色活動的綜合性課題。這種描述性定義顯然具有一定的模糊性，僅強(qiáng)調(diào)了探究學(xué)習(xí)的表面特征，并沒有突出探究學(xué)習(xí)的內(nèi)涵，特別忽視了學(xué)生知識學(xué)習(xí)中的探究與科學(xué)探究活動的差異所在。 。 山東師范大學(xué)碩士學(xué)位論文 12 第二節(jié) 數(shù)學(xué)課題探究學(xué)習(xí)的理論依據(jù) 一、建構(gòu)主義理論 建構(gòu)主義是學(xué)習(xí)理論由行為主義發(fā)展到認(rèn)知主義以后的進(jìn)一步發(fā)展。另外，學(xué)習(xí)者的建構(gòu)是多元化的。 可以看到 ，數(shù)學(xué)課題探究學(xué)習(xí)中的探究活動是符合弗賴登塔爾的“再創(chuàng)造”教學(xué)原理的。教學(xué)依問題而存在，問題依教學(xué)而有效解決。學(xué)生在參與探究的過程中既學(xué)習(xí)了科學(xué)知識，又養(yǎng)成了主動、積極的科學(xué)態(tài)度和科學(xué)精神。 傳統(tǒng)教學(xué)特別注意 結(jié)果，在很大程度上忽視了知識獲得 的過程。 這種評價方式過分強(qiáng)調(diào)學(xué)習(xí)和思維方式的統(tǒng)山東師范大學(xué)碩士學(xué)位論文 15 一性，壓抑了個性，不利于學(xué)生創(chuàng)造能力的培養(yǎng)。 作為一門基礎(chǔ)學(xué)科，數(shù)學(xué)課題探究學(xué)習(xí)尤其重視學(xué)生的思維方式。一般根據(jù)概括對象是否完全而分為完全歸納法與不完全歸納法。在數(shù)學(xué)課題探究 學(xué)習(xí) 中， 有些 數(shù)學(xué)課題源于現(xiàn)實生活，而大多數(shù)學(xué)生通常在進(jìn)行純粹的數(shù)學(xué)計算、變換 和推演時可能感到困難不大，可一接觸到現(xiàn)實中有待解決的數(shù)學(xué)問題，往往束手無策。正如懷特黑德（ . Whitehead） 所說：“沒有什么比這一事實更令人難忘，數(shù)學(xué)脫離現(xiàn)實而進(jìn)入抽象思維限度的最高層次，當(dāng)它返回現(xiàn)實時，在對具體事物分析時，其重要性也相應(yīng)增強(qiáng)了??最抽象的東西是解決現(xiàn)實問題最有力武器，這一悖論已完全為人們接受了。在學(xué)習(xí)內(nèi)容上，學(xué)生從學(xué)習(xí)生活和社會生活中自主選擇和確定他們自己感興趣的問題進(jìn)行研究。一個人的創(chuàng)造性思維離不開一定的知識基礎(chǔ)，而這個基礎(chǔ)應(yīng)該是間接經(jīng)驗與直接經(jīng)驗的結(jié)合。 學(xué)生創(chuàng)造性精神的培養(yǎng)需要在問題情境中進(jìn)行。曼努爾（ Kant Immanuel）說：“教育孩子的目標(biāo)應(yīng)該是逐步地組合他們的知與行。由此看來，以課例為載體，進(jìn)行數(shù)學(xué)課題探究學(xué)習(xí)的策略及實證研究就顯得十分必要。數(shù)學(xué)課題探究學(xué)習(xí)的實施往往會受到一些主客觀條件的制約，因此要因材施教和因地制宜。 ，學(xué)會與他人交流合作和建立嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度。 數(shù)學(xué)情境的創(chuàng)設(shè)應(yīng)以一定數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)方法為依托，同時也是數(shù)學(xué)知識產(chǎn)山東師范大學(xué)碩士學(xué)位論文 22 生的背景，其素材可以源于生活，源于數(shù)學(xué)自身，還可以源于其它學(xué)科，它不僅能激發(fā)數(shù)學(xué)問題的提出，也能為數(shù)學(xué)問題的提出和解決提供相應(yīng)的信息和依據(jù)。數(shù)學(xué)家波利亞在他的著作《數(shù)學(xué)與猜 想》中特別強(qiáng)調(diào)：數(shù)學(xué)的創(chuàng)造性過程是與其他知識的創(chuàng)造過程是一樣的，在證明一個數(shù)學(xué)定理之前，你先得猜測這個定理的內(nèi)容，在你完全做出詳細(xì)證明之前，你先得推測證明的思路??只要數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程稍能反映出數(shù)學(xué)的發(fā)明過程的話，那么就應(yīng)當(dāng)讓猜測，合情推理占有適當(dāng)?shù)奈恢?[24]。因此，在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中引進(jìn)“開放式”問題也將成為必然，它可作為貫徹素質(zhì)教育的一個切入口，成為培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力的載體，教師要樹立正確的教學(xué)思想，在教學(xué)中要有意識構(gòu)建開放式問題，讓學(xué)生進(jìn)行探索和交流活動，才能在教學(xué)過程中有意識地向?qū)W生傳授思維策略，從而培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力 [26]。 山東師范大學(xué)碩士學(xué)位論文 24 第三節(jié) 數(shù)學(xué)課題探究學(xué)習(xí)的基本類型及教學(xué)案例 設(shè)計探究性教學(xué)情境，讓中學(xué)生在觀察、歸納、分析、綜合，提出并驗證結(jié)論的過程中