【正文】 小學(xué)生的數(shù)學(xué)理解，經(jīng)過不斷地折回和連結(jié)，是否也能達到創(chuàng)造的層次？答案是：小學(xué)生的數(shù)學(xué)理解較多處于較內(nèi)層的五個層次。這也許不是有效率的，但假如經(jīng)由老師、同學(xué)的介入或他們自己本身的提示，而能促進數(shù)學(xué)理解的發(fā)展，則這是被允許的，因為學(xué)習(xí)者能說出在許多階層上數(shù)學(xué)的理解。 ? 八星期后，去訪談肯娣，主題是一個和分數(shù)不相關(guān)的單元。 2/3和 3247。 ? 以我在做分數(shù)除法為例來說明何謂 “ 不需邊界 ” 。在此階段的學(xué)生會做一般定理的證明， ? 例如：有關(guān)有理數(shù)的思考不再是實際的行動 （ IH） 或形式化的代數(shù)表 征 1/N(Ｆ ) ，而是整體抽象的一般名詞，像 序?qū)ψ澹?class of ordered pairs） 或商域（ quotient field） . ⑧ 創(chuàng)造 （ Inventing： I） ? 當一個人有好的結(jié)構(gòu)性理解時，就會想著去打破結(jié)構(gòu)的規(guī)則、限制。 ? 例如：回答問題 “ 什么是特別的或有趣的分數(shù)時？ ” 學(xué)生可能注意到1/2=2/4=4/8=… 的上下數(shù)字都乘以 2，他們也可能預(yù)測 1/3=2/6=4/12=… 。 ? 這一理論模式就是要去看個體在一個問題上所呈現(xiàn)的理解，這個理解是如何出現(xiàn)，以及在不同的時期時這個理解是如何發(fā)展的。即任何學(xué)習(xí)都帶有一定程度的理解。 二．理解的功效 理解性學(xué)習(xí)比死記硬背式的機械學(xué)習(xí)要費時費力 按照 Skemp的研究，圖式化的學(xué)習(xí)要花更多的時間，但是它的效果要比機械式的學(xué)習(xí)高出兩倍． 理解性學(xué)習(xí)到底有什么作用？ １．理解可促進記憶 理解過程主要涉及三個方面： ①將原知識改造成適合個體認知結(jié)構(gòu)特點，便于存入和提取的形式； ②新知識節(jié)點和其它節(jié)點的連線越多，該節(jié)點入口就越多，從而經(jīng)過這些通道進入該節(jié)點的機會就越大； ③新舊知識的節(jié)點的聯(lián)系中，本質(zhì)的聯(lián)系越多，準確性越強，聯(lián)系就越緊密牢固，甚至可減少中間聯(lián)線的數(shù)量，回憶越方便迅速． 理解加強知識聯(lián)系的深度和廣度，從而使新知識的記憶獲得提高． 橢圓的引入：一方面 ,從幾何意義引入 ,即平面上到兩定點的距離之和為定值的點的軌跡 .學(xué)生通過概念的形成活動 , 將橢圓的概念處理成熟悉的信息進行儲存 。（ P7677） ? 理解是一個進行中的、動態(tài)的、分水平的、非線性的發(fā)展，是反反復(fù)復(fù)的建構(gòu)組織過程。 掌握： 在理解的基礎(chǔ)上，能直接把知識運用于新的情境 . 綜合運用： 能綜合運用知識解決問題。 掌握： 能在理解的基礎(chǔ)上，把 對象 運用到新的情境中 . 靈活運用： 能綜合運用知識， 靈活、合理 地選擇與運用 有關(guān)的方法完成 特定的數(shù)學(xué)任務(wù)。這個過程有發(fā)生，也有發(fā)展。 —— 在概念體系中學(xué)習(xí)理解概念 . 絕對值的概念和正負數(shù)的概念的關(guān)系 ● “反省思維 ” ——以 “ 旁觀者 ” 的姿態(tài)，將自己的思考過程作為考察的對象，然后加以調(diào)整，改進和提煉。而建構(gòu)性的理解活動將突破那些限制，在結(jié)構(gòu)內(nèi)部或更大的范圍內(nèi)以及結(jié)構(gòu)之間尋找更深層次的意義，因而可能發(fā)揮知識方法的潛能，帶動遷移的發(fā)展 . ４．理解會影響信念 信念就是指人按照自己所確信的觀點、原則和理論去行動的個性傾向 . ● 學(xué)生機械地模仿和記憶，數(shù)學(xué)被看作是一個個孤立的定理和法則，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，就是記住法則，然后直接運用到一個個具體的題目中去 . ● 學(xué)生理解數(shù)學(xué)，建構(gòu)知識結(jié)構(gòu)，可以體會到數(shù)學(xué)是一個有緊密，合理的內(nèi)部聯(lián)系的整體，這些聯(lián)系是可以通過自己努力去探索，嘗試性地建立起來的，這同時建立起比較正確的數(shù)學(xué)觀和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)觀等信念。 ? 他指出： “ 當一個變量逐次所取的值無限趨近于一個定值，最終使變量的值和該定值之差要多小就多小，這個定值就叫做所有其他值的極限值。 ③ 成心像（ Image Having： IH） ? 具有一個和該數(shù)學(xué)概念有關(guān)的心像或物像。 ⑥ 觀察 （ Observing： O） ? 和注意性質(zhì)是等價的，但是在檢驗個人形式化的相同性或相異性。 ? 折回的較內(nèi)層的理解活動，和學(xué)生最早所表現(xiàn)的較內(nèi)層的理解有所不同。 2 ” （整數(shù)除以整數(shù)的 IH） ? 第二個問題，讓學(xué)生考慮 “ 1247。 ? 過一會兒，圖解 6又 1/3247。 訪談?wù)撸耗憧梢援媯€圖給我看嗎？ 肯 娣： 訪談?wù)撸海ú涣私鈭D形中 ’ ＝ ’ 的意思）你能不能用 畫，最先的兩個圖告訴我，你在做什么？ 是要發(fā)現(xiàn)有多少個 1/5在 2/3之中嗎？ 肯 娣：將圖形分成 15等分， 將他們之中的10等分著色， 然后你除以 … ，然后有 3份位于其中 … 答案是看 10/15中有多少個 3/15？數(shù)一數(shù)發(fā)現(xiàn)有 3個 3/15，剩下 1個 1/15。 結(jié)論 3 ? 折回內(nèi)層的理解活動和最初的內(nèi)層了理解不同，折回內(nèi)層時已帶著外層的認知，如此可建立一個深入的理解，以支持和拓展將要折回的外層的理解 . 結(jié)論 4 ? 教師在動態(tài)理論中扮演引導(dǎo)學(xué)生折回較內(nèi)層的理解的角色，因此，教師必須對數(shù)學(xué)概念的發(fā)展有清楚的了解，才能在學(xué)生的理解遇到困難時，適時建議學(xué)生折回較內(nèi)層的理解。 4. 如何正確理解數(shù)學(xué)創(chuàng)造？ 5. 您認為創(chuàng)造性思維能培養(yǎng)嗎，為什么？ 6. 激發(fā)學(xué)生創(chuàng)造性思維的十大策略是什么？ 。當外層的理解遇到無法立即解決的問題時，學(xué)習(xí)者須折