【正文】 [8]陳家鼎 ,鄭忠國編著 ． 概率與統(tǒng)計 [M]． 北京大學出版社 ,2021： 140153。 最后，我要感謝，感謝培育我的商丘學院，學校濃厚的學術氣氛，舒適的學習環(huán)境我將終身難忘 ！ 再次感謝我的家人、老師和那些永遠也不能忘記的朋友，你們的支持與情感，是我永遠的財富。 如果把這種單調的生活看作一場場的巡回演出，那么我只是一個安靜的演員，無論臺下有多少觀眾，即使是只說給自己聽，在他謝幕時也總要感激一些人，是那些人幫助他走上舞臺，成功或者不那么成功地“演出”。 通過這些詳細的講述 ,可以看到這兩個概率公式的應用是多方面的 。 （ 2）由拉普拉斯中心極限定理 ,對于二項分布 )61,6000(B 可用正態(tài)分布 )10065,1000( ?N 近似 ,于是所求概率為 ? ? )65 1000 1000940()65 1000 10001060(1060940100 1616000 ??????????????? ? ＜＜＜ XPXP 9 6 2 )0 7 8 (2 ???? 即用中心極限定理估計此概率不小于 。 某學生答對第 1 題的概率為 ；答對第 2 題的概率為 ；一般地 ,他答對第 i 題的概率為 1－ 100i , ?,2,1?i 。 問至少要調查多少對象？ 解： 設共調查 n個 對象 ,記 iX =0,當第 i個調查對象收看此電視節(jié)目； iX =1,當第 i個調查對象不看此電視節(jié)目 。 商丘學院本科畢業(yè)設計（論文） 12 例 7： 某車間有同型號的機床 200 臺 ,在一小時內每臺機床有 70％的時間是工作 。（ 3）已知 ?,y 求n 。 大數定律 和中心極限定理是概率論中的重要理論 ,是分析中的極限理論在概率論中的綜合運用 ,同時極限定理中的一些結果也為分析中的許多極限問題提供了有力工具 [5]。 這些因素中的每一個都可能使觀測的結果產生很小的誤差 ,然而由于所有這些誤差共同影響著觀測結果 ,于是我們得到的是一個“總的誤差” 。 而概率論與數理統(tǒng)計中 ,正態(tài)分布是一種最常見而又最重要的分布 。 大數定律是概率論中的重要內容 ,其目的是考察 隨機序列的穩(wěn)定性 。 譬如 ,用觀察到的某地區(qū) 5000 個人的平均壽命作為該地區(qū)的人均壽命的近似值是合適的 ,這樣做法的依據就是辛欽大數定律 。 以上幾個大數定律均假設隨機變量序列 ? ?nX 的方差存在 ,以下的辛欽大數定律去掉了這一假設 ,僅設每個 iX 的數學期望存在 ,但同時要求 ? ?nX 為獨立同分布的隨機變量序列 。 我們 可通過多次重復一個試驗 ,確定事件 A 在每次試驗中出現的概率 為 )(n APPn ??μ。 如果 商丘學院本科畢業(yè)設計（論文） 4 儀器 無系統(tǒng)誤差 ,問 n 充分大時 ,是否可以用 ?? ??nin aXnS 122 )(1 作為儀器誤差的方差近似值？ 分析：用 2? 表示 儀器 誤差的方差真值 。 （ 2） 已知 期望和方差 ,對確定的概率 ,利用切比雪夫不等式求出 ? ,從而得到所需估計區(qū)間的長度 。 如果各種條件都能預知 ,則事物發(fā)生的結果 也能予以正確地測定， 此時雖然風險事故仍然存在 ， 損失仍然會發(fā)生 ， 但是 ， 隨機性將因此消失 。 從 17世紀到現在 ,很多國家對這兩個公式 有了多方面的研究 。 學號 ： 學號 ： 08802053 大數定律和中心極限定理的應用 分 院 計算機科學與技術學院 專 業(yè) 信息與計算科學 班 級 信計本 0801 姓 名 李耀 指 導 教 師 仝偉 2021 年 5 月 10 日 商丘學院 畢業(yè)設計（論文） 商丘學院本科畢業(yè)設計（論文） I 摘 要 大數定律和 中心極限定理是概率論中很重要的定理，也是概率論與數理統(tǒng)計聯系的關鍵所在 ， 更是生活中不可缺少的一部分。 長期以來 ,在大批概率論統(tǒng)計工作者的不懈努力下 ,概率統(tǒng)計的理論更加完善 ,應用更加廣泛 ,在現代數學中占有重要的地位 。 如果有大量的事例可供考察研究 ， 則這些未知的、不確定的力量將有趨于平衡的自然傾向 ， 那些在個別事例中存在的隨機風險將在大數中消失 ， 這種結論就是概率論中的大數定律 。 （ 3）對 n 重伯努利試驗 ,利用切比雪夫不等式可以確定試驗次數 。 如果 0＞?? ,恒有 1)(lim 22 ???? ?? ＜nn SP,則 n充分大時 2nS 就可以看作是 2? 的近似值 。 譬如 ,拋一枚硬幣出現正面的概率 p=。 伯努利大數定律仍然是辛欽大數定律的特例 。 概率論借助于數學分析 ,可以較好地描述、處理、解 決隨即現象的有關理論和應用問題 。 從概率的統(tǒng)計定義中可以看出：一個事件發(fā)生的概率具有穩(wěn)定性 ， 即隨著試驗次數的增多 ， 事件的頻率逐漸穩(wěn)定在某個常數附近 。 在實際應用中 ,有很多隨機變量都服從正態(tài)分布 。 所以 ,實際觀測的到的誤差可以看作是一個隨機變量 ,它是很多數值微小的獨立隨機變量的總和 ,按林德伯格定理 ,這個隨機變量應該服從 正態(tài) 分布 。 例 5：求極限 nnkkn ekn ???? ?0 !lim 商丘學院本科畢業(yè)設計（論文） 10 解 引入隨機變量 )(:! nPeknX nkk ??（參數為 n 的泊松分布） , ?,2,1?k ,且 ? ?kX 相互獨立 ,由泊松分布的再生性知 , )(:1 nPXnk k??,所以 P｛ nXnk k ???1｝ = nnkkekn ???0 !,而 E（ ??nk kX1） =D｛ ??nk kX1｝ =n,P｛ ??nk kX1? n｝ =P｛nnnnnXnk k ?????1 ｝ 即 ： nnkkekn ???0 !=P｛nnXnk k???1 0? ｝ 令 n ?? ,由中心極限定理可知 ： nnkkn ekn ???? ?0 !lim=??nlimP｛nnXnk k???1 0? ｝ = )0(? =21 棣莫弗 拉普拉斯定理及其在實際生活方面的應用 棣莫弗 拉普拉斯中心極限定理 ： 設 在獨立試驗序列中 ,事件 A在 各次試驗中發(fā)生的概 率為 )10( ＜＜ pp ,隨機變量 nY 表示事件 A在 n 次試驗中發(fā)生的次數 ,則有 dtezpnp npYP z tnn ? ?? ??? ??????????? ??? 2221)1(l i m ?, 其中 z 是任何實數 。 以下我們就分這三類情況給出一些具體的例子。 假定各機床工作是相互獨立的 ,工作時每臺機床要消耗電能 15kW。 則 iX 獨立同分布 ,且 P ( iX =1)=p ,P ( iX =0)= p?1 , ni ,2,1 ?? 又記 n 個被調查對象中 ,收看此電視節(jié)目的人數為 nY ,則有 ),(~1 pnbXY ni in ??? 。假如該學生回答各題目是相互獨立的 ,并且要正確回答其中 60 個題目以上（包括 60 個）才算通過考試 。 商丘學院本科畢業(yè)設計（論文） 16 從本例看出：用切比雪夫不等式只能得出來要求的概率不小于 ,而用中心極限 定理可得出要求的概率近似等于 。 靈活使用這兩個概率公式會給我們的解題帶來很大方便 ,而 這 兩個概率 定理 的 應用范圍十分廣泛 ,成為我們解決更復雜問題的有效工具 。 感謝我的導 師， 仝偉 老師 。 商丘學院本科畢業(yè)設計（論文） 18 參考文獻 [1]沈恒范編著 ． 概率論與數理統(tǒng)計教程 [M]． 高等教育出版社 ,2021： 111115。 [9]陳萍 ,李文等編 ． 概率與統(tǒng)計 [M]． 科學出版社 ， 2021： 99115。 [7]劉次華 ． 概率論與數理統(tǒng)計 [M]． 華中科技大學出版社 ,2021： 115125。 感謝我的室友，同窗好友， 整個畢業(yè)論文的寫作期間和我密切合作的同學，和曾經在各個方面給予我?guī)椭幕锇閭?，友誼情深，勿需多言。 商丘學院本科畢業(yè)設計（論文） 17 致 謝 大學四年，生活其實很簡單，只是一些讀書、寫字、考試和娛樂的周而復始 。 本文詳細介紹了大數定律和中心極限定理 及其 在生活各方面的應用 。 3 大數定律和中心極限定理的比較應用 大數定律和中心極限定理的比較應用 例 11： 現有一大批種子 ,其中良種占 16 ,今在其中任選 6000 粒 ,試分別用切比雪夫不等式估計和用中心極限定理計算在這些種子良種所占的比例與 16 之差小于 1％的概率是多少？ 解 ： （ 1） 設取出的種子中的良種粒數為 X ,則