【正文】 [8]陳家鼎 ,鄭忠國(guó)編著 ． 概率與統(tǒng)計(jì) [M]． 北京大學(xué)出版社 ,2021： 140153。 最后，我要感謝，感謝培育我的商丘學(xué)院，學(xué)校濃厚的學(xué)術(shù)氣氛，舒適的學(xué)習(xí)環(huán)境我將終身難忘 ！ 再次感謝我的家人、老師和那些永遠(yuǎn)也不能忘記的朋友，你們的支持與情感，是我永遠(yuǎn)的財(cái)富。 如果把這種單調(diào)的生活看作一場(chǎng)場(chǎng)的巡回演出，那么我只是一個(gè)安靜的演員，無(wú)論臺(tái)下有多少觀眾，即使是只說給自己聽，在他謝幕時(shí)也總要感激一些人，是那些人幫助他走上舞臺(tái)，成功或者不那么成功地“演出”。 通過這些詳細(xì)的講述 ,可以看到這兩個(gè)概率公式的應(yīng)用是多方面的 。 （ 2）由拉普拉斯中心極限定理 ,對(duì)于二項(xiàng)分布 )61,6000(B 可用正態(tài)分布 )10065,1000( ?N 近似 ,于是所求概率為 ? ? )65 1000 1000940()65 1000 10001060(1060940100 1616000 ??????????????? ? ＜＜＜ XPXP 9 6 2 )0 7 8 (2 ???? 即用中心極限定理估計(jì)此概率不小于 。 某學(xué)生答對(duì)第 1 題的概率為 ；答對(duì)第 2 題的概率為 ；一般地 ,他答對(duì)第 i 題的概率為 1－ 100i , ?,2,1?i 。 問至少要調(diào)查多少對(duì)象？ 解： 設(shè)共調(diào)查 n個(gè) 對(duì)象 ,記 iX =0,當(dāng)?shù)?i個(gè)調(diào)查對(duì)象收看此電視節(jié)目； iX =1,當(dāng)?shù)?i個(gè)調(diào)查對(duì)象不看此電視節(jié)目 。 商丘學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 12 例 7： 某車間有同型號(hào)的機(jī)床 200 臺(tái) ,在一小時(shí)內(nèi)每臺(tái)機(jī)床有 70％的時(shí)間是工作 。（ 3）已知 ?,y 求n 。 大數(shù)定律 和中心極限定理是概率論中的重要理論 ,是分析中的極限理論在概率論中的綜合運(yùn)用 ,同時(shí)極限定理中的一些結(jié)果也為分析中的許多極限問題提供了有力工具 [5]。 這些因素中的每一個(gè)都可能使觀測(cè)的結(jié)果產(chǎn)生很小的誤差 ,然而由于所有這些誤差共同影響著觀測(cè)結(jié)果 ,于是我們得到的是一個(gè)“總的誤差” 。 而概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)中 ,正態(tài)分布是一種最常見而又最重要的分布 。 大數(shù)定律是概率論中的重要內(nèi)容 ,其目的是考察 隨機(jī)序列的穩(wěn)定性 。 譬如 ,用觀察到的某地區(qū) 5000 個(gè)人的平均壽命作為該地區(qū)的人均壽命的近似值是合適的 ,這樣做法的依據(jù)就是辛欽大數(shù)定律 。 以上幾個(gè)大數(shù)定律均假設(shè)隨機(jī)變量序列 ? ?nX 的方差存在 ,以下的辛欽大數(shù)定律去掉了這一假設(shè) ,僅設(shè)每個(gè) iX 的數(shù)學(xué)期望存在 ,但同時(shí)要求 ? ?nX 為獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列 。 我們 可通過多次重復(fù)一個(gè)試驗(yàn) ,確定事件 A 在每次試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率 為 )(n APPn ??μ。 如果 商丘學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 4 儀器 無(wú)系統(tǒng)誤差 ,問 n 充分大時(shí) ,是否可以用 ?? ??nin aXnS 122 )(1 作為儀器誤差的方差近似值？ 分析：用 2? 表示 儀器 誤差的方差真值 。 （ 2） 已知 期望和方差 ,對(duì)確定的概率 ,利用切比雪夫不等式求出 ? ,從而得到所需估計(jì)區(qū)間的長(zhǎng)度 。 如果各種條件都能預(yù)知 ,則事物發(fā)生的結(jié)果 也能予以正確地測(cè)定， 此時(shí)雖然風(fēng)險(xiǎn)事故仍然存在 ， 損失仍然會(huì)發(fā)生 ， 但是 ， 隨機(jī)性將因此消失 。 從 17世紀(jì)到現(xiàn)在 ,很多國(guó)家對(duì)這兩個(gè)公式 有了多方面的研究 。 學(xué)號(hào) ： 學(xué)號(hào) ： 08802053 大數(shù)定律和中心極限定理的應(yīng)用 分 院 計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 專 業(yè) 信息與計(jì)算科學(xué) 班 級(jí) 信計(jì)本 0801 姓 名 李耀 指 導(dǎo) 教 師 仝偉 2021 年 5 月 10 日 商丘學(xué)院 畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 商丘學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） I 摘 要 大數(shù)定律和 中心極限定理是概率論中很重要的定理，也是概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)聯(lián)系的關(guān)鍵所在 ， 更是生活中不可缺少的一部分。 長(zhǎng)期以來 ,在大批概率論統(tǒng)計(jì)工作者的不懈努力下 ,概率統(tǒng)計(jì)的理論更加完善 ,應(yīng)用更加廣泛 ,在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中占有重要的地位 。 如果有大量的事例可供考察研究 ， 則這些未知的、不確定的力量將有趨于平衡的自然傾向 ， 那些在個(gè)別事例中存在的隨機(jī)風(fēng)險(xiǎn)將在大數(shù)中消失 ， 這種結(jié)論就是概率論中的大數(shù)定律 。 （ 3）對(duì) n 重伯努利試驗(yàn) ,利用切比雪夫不等式可以確定試驗(yàn)次數(shù) 。 如果 0＞?? ,恒有 1)(lim 22 ???? ?? ＜nn SP,則 n充分大時(shí) 2nS 就可以看作是 2? 的近似值 。 譬如 ,拋一枚硬幣出現(xiàn)正面的概率 p=。 伯努利大數(shù)定律仍然是辛欽大數(shù)定律的特例 。 概率論借助于數(shù)學(xué)分析 ,可以較好地描述、處理、解 決隨即現(xiàn)象的有關(guān)理論和應(yīng)用問題 。 從概率的統(tǒng)計(jì)定義中可以看出：一個(gè)事件發(fā)生的概率具有穩(wěn)定性 ， 即隨著試驗(yàn)次數(shù)的增多 ， 事件的頻率逐漸穩(wěn)定在某個(gè)常數(shù)附近 。 在實(shí)際應(yīng)用中 ,有很多隨機(jī)變量都服從正態(tài)分布 。 所以 ,實(shí)際觀測(cè)的到的誤差可以看作是一個(gè)隨機(jī)變量 ,它是很多數(shù)值微小的獨(dú)立隨機(jī)變量的總和 ,按林德伯格定理 ,這個(gè)隨機(jī)變量應(yīng)該服從 正態(tài) 分布 。 例 5：求極限 nnkkn ekn ???? ?0 !lim 商丘學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 10 解 引入隨機(jī)變量 )(:! nPeknX nkk ??（參數(shù)為 n 的泊松分布） , ?,2,1?k ,且 ? ?kX 相互獨(dú)立 ,由泊松分布的再生性知 , )(:1 nPXnk k??,所以 P｛ nXnk k ???1｝ = nnkkekn ???0 !,而 E（ ??nk kX1） =D｛ ??nk kX1｝ =n,P｛ ??nk kX1? n｝ =P｛nnnnnXnk k ?????1 ｝ 即 ： nnkkekn ???0 !=P｛nnXnk k???1 0? ｝ 令 n ?? ,由中心極限定理可知 ： nnkkn ekn ???? ?0 !lim=??nlimP｛nnXnk k???1 0? ｝ = )0(? =21 棣莫弗 拉普拉斯定理及其在實(shí)際生活方面的應(yīng)用 棣莫弗 拉普拉斯中心極限定理 ： 設(shè) 在獨(dú)立試驗(yàn)序列中 ,事件 A在 各次試驗(yàn)中發(fā)生的概 率為 )10( ＜＜ pp ,隨機(jī)變量 nY 表示事件 A在 n 次試驗(yàn)中發(fā)生的次數(shù) ,則有 dtezpnp npYP z tnn ? ?? ??? ??????????? ??? 2221)1(l i m ?, 其中 z 是任何實(shí)數(shù) 。 以下我們就分這三類情況給出一些具體的例子。 假定各機(jī)床工作是相互獨(dú)立的 ,工作時(shí)每臺(tái)機(jī)床要消耗電能 15kW。 則 iX 獨(dú)立同分布 ,且 P ( iX =1)=p ,P ( iX =0)= p?1 , ni ,2,1 ?? 又記 n 個(gè)被調(diào)查對(duì)象中 ,收看此電視節(jié)目的人數(shù)為 nY ,則有 ),(~1 pnbXY ni in ??? 。假如該學(xué)生回答各題目是相互獨(dú)立的 ,并且要正確回答其中 60 個(gè)題目以上（包括 60 個(gè)）才算通過考試 。 商丘學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 16 從本例看出：用切比雪夫不等式只能得出來要求的概率不小于 ,而用中心極限 定理可得出要求的概率近似等于 。 靈活使用這兩個(gè)概率公式會(huì)給我們的解題帶來很大方便 ,而 這 兩個(gè)概率 定理 的 應(yīng)用范圍十分廣泛 ,成為我們解決更復(fù)雜問題的有效工具 。 感謝我的導(dǎo) 師， 仝偉 老師 。 商丘學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 18 參考文獻(xiàn) [1]沈恒范編著 ． 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程 [M]． 高等教育出版社 ,2021： 111115。 [9]陳萍 ,李文等編 ． 概率與統(tǒng)計(jì) [M]． 科學(xué)出版社 ， 2021： 99115。 [7]劉次華 ． 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) [M]． 華中科技大學(xué)出版社 ,2021： 115125。 感謝我的室友，同窗好友， 整個(gè)畢業(yè)論文的寫作期間和我密切合作的同學(xué)，和曾經(jīng)在各個(gè)方面給予我?guī)椭幕锇閭?，友誼情深，勿需多言。 商丘學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 17 致 謝 大學(xué)四年，生活其實(shí)很簡(jiǎn)單，只是一些讀書、寫字、考試和娛樂的周而復(fù)始 。 本文詳細(xì)介紹了大數(shù)定律和中心極限定理 及其 在生活各方面的應(yīng)用 。 3 大數(shù)定律和中心極限定理的比較應(yīng)用 大數(shù)定律和中心極限定理的比較應(yīng)用 例 11： 現(xiàn)有一大批種子 ,其中良種占 16 ,今在其中任選 6000 粒 ,試分別用切比雪夫不等式估計(jì)和用中心極限定理計(jì)算在這些種子良種所占的比例與 16 之差小于 1％的概率是多少？ 解 ： （ 1） 設(shè)取出的種子中的良種粒數(shù)為 X ,則