【正文】 努利大數(shù)定律提供了用頻率來確定概率的理論依據(jù) 。 若把這枚硬幣連拋 n 次 ,當(dāng) n 很大時(shí) ,由切比雪夫不等式知：證明出現(xiàn)的概率與 的偏差大于預(yù)先給定的精度 ? （若取精度? =）的可能性 nP n 410n0 .01 42 ????????? ? ＞?? 。 辛欽大數(shù)定律及其在數(shù)學(xué)分析方面的應(yīng)用 我們已經(jīng)知道 ,一個(gè)隨機(jī)變量的方差存在 ,則其數(shù)學(xué)期望必定存在；但反之不成立 ,即一個(gè)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望存在 ,則其方差不一定存在 。 辛欽大數(shù)定律提供了求隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望 )(XE 的近似值的方法 。 事實(shí)上 ,用觀察值的平均去作為隨機(jī)變量的均值在實(shí)際生活中是常用的方法 。數(shù)學(xué)分析中的有些問題 ,用數(shù)學(xué)分析的方法很難解決 ,但如果巧用概率論的方法 ,則變得比較容易處理了 。 根據(jù)辛欽大數(shù)定律知 商丘學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 7 1)611(lim 21 2 ?????? ＜ini in EnP ?? 從而 1lim 1 ?? ??? nG nn dxdx ?? 大數(shù)定律 的意義 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是研究隨即現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律的科學(xué) ， 而隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性只有在相同條件下進(jìn)行大量重復(fù)試驗(yàn)或觀察才呈現(xiàn)出來 。 這就是說 ， 無論個(gè)別隨機(jī)個(gè)體以及它們在 隨機(jī)試驗(yàn) 過程中的個(gè)別特征如何 ， 大量隨機(jī)個(gè)體的平均效果與每一個(gè)體的特征無關(guān) ， 且不再是隨機(jī)的 。 2 中心極限定理的應(yīng)用 前言 大數(shù)定律 討論的 是多個(gè)隨機(jī)變量的平均 ??ni iXn 11 的漸近性質(zhì) ,但沒有涉及到隨機(jī)變量的分布的問題 。 概率論中有關(guān)論證獨(dú)立隨機(jī)變量的和的極限分布是正態(tài)分布的一系列定理稱為中心 商丘學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 8 極限定理 。 例如 ,進(jìn)行觀測時(shí) ,不可避免地有許多引起觀測誤差的隨機(jī)因素影響著我們的觀測結(jié)果 ,其中有些誤差是由測量儀器的情況引起的 ,這些情況可以在溫室、大氣壓力或其他因素的影響之下改變著；有些誤差是屬于觀測站個(gè)人的誤差 ,這些誤差大多數(shù)是由于視覺或聽覺引起的 等等 。 例 4： 某保險(xiǎn)公司有 2500 個(gè)人參加保險(xiǎn) ,每人每年付 1200 元保險(xiǎn)費(fèi) ,在一年內(nèi)一個(gè)人死亡的概率為 ,死亡時(shí)某家屬可向保險(xiǎn)公司領(lǐng)得 20 萬元 。 定理的應(yīng)用：對于獨(dú)立的隨機(jī)變量序列 ? ?nX ,不管 ),2,1( niX i ?? 服從什么分布 ,只要他們是分布 ,且有有限的數(shù)學(xué)期望和方差 ,那么 ,當(dāng) n 充分大時(shí) ,這些隨機(jī)變量之和 ??ni iX1近似地服從正態(tài) 分布 ),( 2?? nnN 。 在之前概率論的學(xué)習(xí)中有“二項(xiàng)分布的泊松近似” ，兩者相比 ,一般在 p 較小的時(shí)候 ,用泊松分布近似較好 ,而在 5＞np 和 5)1( ＞pn ? 時(shí) ,用正態(tài)分布近似較好 。 (2) 若記 )(y??? ,則由棣莫弗 — 拉普拉斯極限定理給出的近似式 ?????? )()( yyYP n ， 可用來解決三類計(jì)算問題：（ 1）已知 yn, 求 ? ；（ 2）已知 ?,n 求 y 。 例 6： 一復(fù)雜系統(tǒng)由 100 個(gè)相互獨(dú)立工作的部件組成 ,每個(gè)不 見正常工作的概率為 0。 解：記 n =100, nY 為 100 個(gè)部件中正常工作的部件數(shù) ,則 nY ～ b(100,)； 90)( ?nYE ； 9)1()( ??? pnpYD n 所求概率為 )()3 (1)3 (1)85( ?????????????nYP ② 已知 ?,n ， 求 y 。 解： 記 n =200, nY 為 200 臺機(jī)床中同時(shí)工作的機(jī)床數(shù) , 則 ： nY ～ b(200,), 42)(,140)( ?? nn YDYE 。 現(xiàn)在要保證有 90％的把握 ,使得調(diào)查所得收視率 ?p 與真實(shí)收視率 p 之間的差異不大于 5％ 。 根據(jù)題意有 ))1((2)( 1 ???????? pp npXnP ni i ＜, 所以 ))1(( ??? pp n , 查正態(tài)分布表得 64 )1( ?? pp n , 從中解得 ： n? p(1p)22=p(1p) 又因?yàn)?)1( ?? pp ,所以 ?n ,即至少調(diào)查 271 個(gè)對象 。 李雅普諾夫中心極限定理及其在具體分布方面的應(yīng)用 設(shè) ? ?nX 為獨(dú)立隨即變量序列 ,若存在 0＞? ,滿足 0)(1l i m122 ????????ni IInn XEB?? ?, 商丘學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 14 則對任意的 x ,有 dtxXBPni iinn ?? ???? ??????? ?? x 2t12e21)(1l i m π? 其中 iiXE ??)( , 2)( ??IXD , 22221)( nin XDB ??? ????? ? 例 10：一份考卷由 99個(gè)題目組成 ,并按由易到難順序排列 。 于是 Xi相互獨(dú)立 ,且服從不同的二點(diǎn)分布： 1001)1( ipXP ii ???? , 1001)0( ipXP ii ???? , 99,2,1 ??i 。 3 大數(shù)定律和中心極限定理的比較應(yīng)用 大數(shù)定律和中心極限定理的比較應(yīng)用 例 11： 現(xiàn)有一大批種子 ,其中良種占 16 ,今在其中任選 6000 粒 ,試分別用切比雪夫不等式估計(jì)和用中心極限定理計(jì)算在這些種子良種所占的比例與 16 之差小于 1％的概率是多少？ 解 ： （ 1） 設(shè)取出的種子中的良種粒數(shù)為 X ,則 )61,6000(~ BX 于是 100061 6000 ??? npEX 10006565616000)1( ??????? pnpDX 要估計(jì)的規(guī)律為 ? ?6010001001616000 ＜＜ ???????? ? XPXP, 相當(dāng)于在切比雪夫不等式中取 60?? ,于是 ? ? 26016010001001616000 DXXPXP ?????????? ? ＜＜ 由題意得 76 36 00110 00651601 2 ???????? DX 即用切比雪夫不等式估計(jì)此概率不小于 。 但由于它的要求比較低 ,只要知道 X的期望和方差 ,因而在理論上有許多運(yùn)用 。 本文詳細(xì)介紹了大數(shù)定律和中心極限定理 及其 在生活各方面的應(yīng)用 。 理論聯(lián)系實(shí)際 ,使畢業(yè)論文中所應(yīng)用的理論知識有了更可靠的依據(jù) 。 商丘學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 17 致 謝 大學(xué)四年，生活其實(shí)很簡單，只是一些讀書、寫字、考試和娛樂的周而復(fù)始 。 仝老師為人隨和，治學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)細(xì)心，在閑聊中他 總是能像知心朋友一樣鼓勵(lì)你 。 感謝我的室友，同窗好友， 整個(gè)畢業(yè)論文的寫作期間和我密切合作的同學(xué)，和曾經(jīng)在各個(gè)方面給予我?guī)椭幕锇閭?，友誼情深，勿需多言。 [3]李少輔等 ． 概率 論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) [M]． 河南大學(xué)出版社 ,1996： 8899。 [7]劉次華 ． 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) [M]． 華中科技大學(xué)出版社 ,2021： 115125。 。 [9]陳萍 ,李文等編 ． 概率與統(tǒng)計(jì) [M]． 科學(xué)出版社 ， 2021： 99115。 [5]盛驟等 ． 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) [M]． 高等教育出版社 ,2021： 109143。 商丘學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 18 參考文獻(xiàn) [1]沈恒范編著 ． 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程 [M]． 高等教育出版社 ,2021： 111115。 在我寫畢業(yè)論文的每個(gè)階段， 仝 老師傾注了大量的心血， 從選題到開題報(bào)告，從論文目錄到一遍遍地指出初稿中的具體問題， 仝 老師在百忙之中多 次審閱，對細(xì)節(jié)進(jìn)行修改，并為本文的撰寫提供了許多中肯而且寶貴的意見，在此我表示衷心感謝 。 感謝我的導(dǎo) 師， 仝偉 老師 。另外還有什么樣的問題應(yīng)該用大數(shù)定律 解決呢？什么樣的問題應(yīng)該用 中心極限定理？什么樣的問題要綜合兩個(gè)定理 才能夠解決？本文都沒有得出明確的方法和分類 ,這些都是今后有待進(jìn)一步深入研究的問題 。 靈活使用這兩個(gè)概率公式會給我們的解題帶來很大方便 ,而 這 兩個(gè)概率 定理 的 應(yīng)用范圍十分廣泛 ,成為我們解決更復(fù)雜問題的有效工具 。 結(jié)束語 隨著社會的飛速發(fā)展 ,市場競爭日趨激烈 ,決策者必須綜合考察以往的信息及現(xiàn)狀從而作出綜合判斷 ,決策概率分析這門學(xué)科越來越顯示其重要性 。 商丘學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 16 從本例看出：用切比雪夫不等式只能得出來要求的概率不小于 ,而用中心極限 定理可得出要求的概率近似等于 。 下面我們用 1?? 來驗(yàn)證隨機(jī)變量序列 ? ?nX 滿足李雅普諾 夫條件 ,因?yàn)? ?????? ?? ?? ni iini in ppXV arB 11 )1()( )( ???n )1()1()1()( 333 iiiiiiii pppppppXE ??????? , 于是 0)1(1)(1211133 ??????? ??????? niiiniiIn pppXEB （ n ??