【正文】 (3) 5AE? . 解 ： (1) 由性質(zhì) 1 可得 ? ?1 1 2 2A ? ? ? ? ? ?； (2) 因 ? ? 325A A A? ??，由性質(zhì) 3 可知 ??A? 的特征值為 ? ?14? ?? ，? ?16? ? ?? ， ? ?2 12? ?? .故 ? ? ? ? ? ? ? ?1 1 2 2 8 8==A? ? ? ?? ? ? ?. (3) A 的特征多項(xiàng)式為 ? ? ? ? ? ? ? ?1 1 2f E A? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?，令 5=? ，得? ? ? ? ? ? ? ?5 5 5 1 5 1 5 2 72f E A? ? ? ? ? ? ?. （ 2）判斷方陣 A 及 A kE? 的可逆性 例 A ????? ? ?????3 1 04 1 04 8 2，問當(dāng) k 為何值時(shí)， A kE? 可逆 . 安徽工程大學(xué) 畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文 ） 25 解 ：因 ? ? ? ? ? ?f E A ?? ? ? ? ????? ? ? ? ? ? ???23 1 04 1 0 2 14 8 2，故 ???1 2 ，????231 為 A 的三個(gè)特征值，由性質(zhì) 4 可知，當(dāng) ,k??12時(shí)， A kE? 可逆 . 例 設(shè)矩陣 A 滿足 2AE? ，證明 EA?3 可逆 . 證明 設(shè) Ax x?? ，則 22A x x?? ，因 2AE? ，即有 2xx?? ，即 ? ?x? ??2 10，而 x?0 ，只有 ? ??2 10，于是 ???1 ，可知 3 不是 A 的特征值，所以 EA??30，即 EA?3 可逆 . （ 3） .求方陣 A ， A 的逆矩陣 1A? 及 A 的 k次冪 例 A ????????1 0 20 1 1010，求 (1) 3A 。 39。39。 在例題解析中運(yùn)用 了 一些特征值與特征向量的性質(zhì) 與 方法 ， 可以使問題更 加 簡(jiǎn)單， 在 運(yùn)算上更方便，是簡(jiǎn)化有關(guān)復(fù)雜問題的一種有效 的 途徑 。 王秀芬 在 《 線性遞推關(guān)系中特征值與特征向量的應(yīng)用 》 中 推導(dǎo)出一種方法，通過此方法可以利用特征值與特征向量求線性遞推關(guān)系中的通項(xiàng)公式。 對(duì)矩陣特征值與特征向量理論研究 及其應(yīng)用探究 ， 不 僅僅 提高高等代數(shù)以及相關(guān)課程的理解有很大 的 幫助，而且在理論上也 非常 重要，可以直接用 它 來(lái)解決實(shí)際問題 .現(xiàn)在矩陣已成為獨(dú)立的一 個(gè) 數(shù)學(xué)分支，矩陣 的 特征值與特征向量的應(yīng)用是 體現(xiàn)在 多方面的，不 僅僅 在數(shù)學(xué)領(lǐng)域里， 而且在力學(xué)、物理、科技 方面都有十分廣泛的應(yīng)用 。 在多數(shù)高等代數(shù)教材中 ， 特征值與特征向量描述為線性空間中線性變換的特征值與特征向量 ； 而在大部分線性代數(shù)教材中 ,特征值與特征向量的討 論被作為矩陣?yán)碚撗芯康囊粋€(gè)重要組成 。線性空間、線性變換等 ，都是以矩陣作為手段， 由此演繹出豐富多彩的理論畫卷 。 自從 Cayley 建立矩陣的運(yùn)算以來(lái) ， 矩陣?yán)碚摫阊杆侔l(fā)展起來(lái) ， 矩陣?yán)碚撘咽歉叩却鷶?shù)的重要組成部分 。 可以說(shuō) ， 特征值與特征向量問題是矩陣?yán)碚摰幕竞诵膯栴} 。 eigen 一詞可翻譯為“自身的”，“特定于 ...的”，“有特征的”或者“個(gè)體的”，這強(qiáng)調(diào)了特征值對(duì)于定義特定的變換上是很重要的。 王家琪 : 矩陣的特征值與特征向量的理論與應(yīng)用 2 第 1 章 緒論 研究背景 及意義 矩陣是數(shù)學(xué)中重要的 一個(gè) 基本概念 之一 ， 是代數(shù)中 的一個(gè)主要研究對(duì)象 ， 也是數(shù)學(xué)研究和應(yīng)用的一個(gè) 極其 重 要 的 工具 。向以華 在 《 矩陣的特征值與特征向量的研究 》 對(duì)矩陣特征值與特征向量相關(guān)問題進(jìn)行系統(tǒng)的歸納，得出了通過對(duì)矩陣進(jìn)行行列互逆變換就可同時(shí)求出特征值與特征向量的結(jié)論，同時(shí)討論了反問題 。 在 這基礎(chǔ)上，對(duì)矩陣 特征值與特征向量的計(jì)算進(jìn)行 了 詳盡的闡述和 說(shuō)明 。ririnirP i n r r r n??????? ? ? ? ? ???????1121，則 i? 為 A 的特征值；iTi ir???為 A 的對(duì)應(yīng)特征值 i? 的特征向量 . 證明： 由一般代數(shù)書中定理可知 A 必相似于一約當(dāng)矩陣，按定理 2 中化簡(jiǎn)方法，則有 ? ? 1T T TP A P J? ?，即 1 ,TTP A P J A P P J? ??， 其中 ? ?1 1 1 1TTrrP ? ? ? ?? ， ? ?, , ,iTTTiTriJJ J i rJ??????????? ? ??? ??????1 111 所以 王家琪 : 矩陣的特征值與特征向量的理論與應(yīng)用 10 ? ? ? ? 111 1 1 11 1 1TT T T Tr r r rTrJAJ? ? ? ? ? ? ? ????????， 故有 ? ?1, ,i i iA i n? ? ???， 所以 i? 為 A 的特征值； i? 為 A 的對(duì)應(yīng) i? 的特征向量 . 例 求 A ?????????2 1 10 3 12 1 3的特征值與特征向量 . 解： ? ?TAE ?????????32 0 2 1 0 01 3 1 0 1 01 1 3 0 0 1 1331rrrr???????????????1 1 0 1 0 11 3 0 0 1 01 1 4 0 0 12112rrrr???????????????2 1 0 1 0 10 2 0 1 1 10 1 4 0 0 1 rr??????32231212?????????2 1 0 1 0 10 2 0 1 1 10 0 4 1 2 1 2 1 233212rr??????????????2 1 0 1 0 10 2 0 1 1 10 1 4 1 1 1 所以特征值為 ,? ? ?? ? ?1 2 324， 對(duì)應(yīng)特征值 ????122 的特征向量? ?, T? ??1 111 ，對(duì)應(yīng) ??3 4 的特征向量為 ? ?,T? ??3 1 11 . 利用矩陣的初等變換解特征值特征向量 引理 矩陣 A 左乘或右乘一個(gè)可逆矩陣，其秩不變 .即若 A 為 mn? 矩陣， PQ、 分別是 m和 n 階可逆矩陣，則 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?,r P A r A r A Q r A r P A Q r A? ? ?且. 安徽工程大學(xué) 畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文 ） 11 由此可知，若 ? ?r A r n??，且 I 為 n 階單位矩陣，則形如 AI??????的 ? ?m n n?? 矩陣必可經(jīng)過一系列變換成 BCD??????0的形式，其中 B 為 mr? 矩陣且 ? ?r B r? ， CD、分別為 nr? 和 ? ?n n r?? 矩陣， 0 為 ? ?m n r?? 零矩陣，從而有 定理 1 設(shè) A 為 mn? 矩陣，其秩 ? ?r A r n?? ， ? ?12, , , Tnx x x x? ，則比存在 n 階可逆矩陣 Q ，使 ABQI C D? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ?0，且 D 的 nr? 個(gè)列向量就是齊次線性方程組 0Ax? 的基礎(chǔ)解系 . 證明： 此處只需證明 D 的列向量是 0Ax? 的基礎(chǔ)解系即可 . 事實(shí)上，由 ABQI C D? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ?0得 ? ?? ?,0,AQ BQ C D???? ???，即 ? ? ? ?,A C D B? 0，從而AC B? ， AD?0 .這說(shuō)明 D 的 nr? 個(gè)列向量 12, , , nrD D D ? 是齊次線性方程組Ax?0 的解向量 . 另設(shè)矩陣 nrC? 的列向量為 12, , , rC C C ，則由 ? ?,Q C D? 知向量組? ?1 2 1 2, , , , , , ,r n rC C C D D D?即為 Q 的 列 向 量 ，因 Q 可 逆 ， 所 以向 量 組? ?12, , , nrD D D ?線性無(wú)關(guān)，因此 D 的列向量就是 Ax?0 的基礎(chǔ)解系 . 例 組x x x xx x x xx x x xx x x? ? ? ??? ? ? ? ??? ? ? ? ??? ? ? ??1 2 3 41 2 3 41 2 3 41 2 32 3 03 2 02 2 2 05 5 2 0的一組基礎(chǔ)解系 . 解： 利用初等列變換，得 ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?ccccccAI????? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ????? ? ? ? ?? ???????? ? ? ?????? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?2 2 13 3 1411 2 3 1 1 0 0 03 2 1 1 3 4 8 22 2 2 1 2 2 4 15 5 2 0 5 5 13 51 0 0 0 1 2 3 10 1 0 0 0 1 0 00 0 1 0 0 0 1 00 0 0 1 0 0 0 1 王家琪 : 矩陣的特征值與特征向量的理論與應(yīng)用 12 ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?ccc c c cc c c???? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?????? ??????? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?243 4 2 4 5 7 34 2 2 4 71 0 0 0 1 0 0 03 2 0 0 3 2 0 012 1 0 0 2 1 0 05 5 7 5 5 5 7 01 1 1 0 1 1 1 50 0 0 1 0 0 0 70 0 1 0 0 0 1 50 1 4 2 0 1 4 6 從而， ? ?rA?3 ，所求基礎(chǔ)解系為 ? ?, , , T? ??5 7 5 6 . 定理 2. 設(shè) A 為 n 階方陣，則其特征矩陣 IA?? 可通過初等列變換化為下三角矩陣，記為 ? ?? ?? ?? ?12*** nllLl ?????????????， 從而使 ? ? ? ? ? ?12 0nl l l? ? ? ?的解就是矩陣 A 的全部特征值 . 證明： 由初等變換理論，存在 n 階可逆矩陣 ? ?Q? ，使 ? ? ? ? ? ?I A Q L? ? ???，由此得 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?12 nI A Q L l l l? ? ? ? ? ?? ? ? ?. 從而使 ? ? ? ? ? ?12 0nl l l? ? ? ?的解就是 0IA? ??的解 . 這樣，由定理 1和定理 2可以得到同時(shí)求解方陣的特征值與特征向量的一種解法： 第一步，作如下初等變 換： nnIAI? ?????????? ?? 初等列變換 ? ?? ?LQ????????，并由 ? ?L? ?0 求得矩陣 A 的特征值? ?, , ,i in? ?12 . 第 二 步 ， 將 i? 代入 A ??????? ? ?????3 1 17 5 16 6 2，則有 ? ?? ?iiL BQ CD???????????????0或? ?? ?iiLQ??????????? ?? 互換某幾列 0BCD??????. 因?yàn)?? ? ? ? ? ?iiL I A Q? ? ??? ，所以由定理 1 即知 D 的列向量就是 A 的對(duì)應(yīng)于特征值 i? 的線性無(wú)關(guān)的特征向量 . 安徽工程大學(xué) 畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文 ） 13 例 求矩陣 A ??????? ? ?????3 1 17 5 16 6 2的特 征值與特征向量 . 解： ? ? ? ?ccIAI????? ? ??? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ???? ?????? ? ? ????? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?133 1 1 1 1 37 5 1 1 5 76 6 2 2 6 61 0 0 0 0 10 1 0 0 1 00 0 1 1 0 0 ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?39。 39。 39。xP?1 0 ，即 x 的分量滿足 x x x? ? ?1 2 3 3 的重?cái)?shù)為 2，所以對(duì)應(yīng)于 3 恰有兩個(gè)線性