【正文】 相關(guān)與回歸的基本概念 ? 167。 因此 ， 置信區(qū)間的上限與下限曲線對(duì)稱地落在回歸直線兩側(cè) ， 而呈喇叭型 。 Se0 ≤ Y0 ≤ ?0 + t ?/2 (n2) ? Ch7 相關(guān)與回歸分析 ? 167。 這一誤差 ， 可以用總體的方差 ?2來(lái)評(píng)價(jià) 。 一元線性回歸模型的預(yù)測(cè) ? 回歸預(yù)測(cè)的基本公式為 ? () ? 式中 ， X0是給定的 X具體數(shù)值； ?0是 X0給定時(shí) Y的預(yù)測(cè)值 。 ? Ch7 相關(guān)與回歸分析 ? 167。 如果 d值落在 [0, dL]范圍內(nèi) ， 則認(rèn)為存在正自相關(guān)；如果 d值落入 [dU, 4dU]范圍內(nèi) ， 則認(rèn)為存在負(fù)自相關(guān)；而當(dāng) d落入 [dU , 4dU]范圍內(nèi)時(shí) ， 則認(rèn)定不存在自相關(guān)；但當(dāng) d落入 [dL, dU]或者 [4dL, 4dU]范圍內(nèi)時(shí) ， 則不能認(rèn)定是否存在自相關(guān) 。 因?yàn)?， 和 只相差一期觀察值 ， 它們是近似相等的 ， 因此令 ， 則 ()式可寫(xiě)成 ? () ? Ch7 相關(guān)與回歸分析 ? 167。 可以證明 ， 如果誤差項(xiàng) ｕ t不存在序列相關(guān) ρe=0， 則符號(hào)序列中符號(hào) “ +”或 “ ?” 的出現(xiàn) ， 應(yīng)該是完全隨機(jī)的；連串過(guò)多或者過(guò)少 ， 都是違反隨機(jī)原則的 ， 應(yīng)有 ρ e≠0。 ? 進(jìn)一步 ， 如果散布圖有一種同號(hào)殘差相隨的傾向 ， 就表明存在正相關(guān)E(ｕ tｕ s )0。 由于總體資料是未知的 ， 因此 ， 只能以樣本回歸模型中的誤差項(xiàng) ｅ t來(lái)檢驗(yàn) 。 ts () ? 則稱這種現(xiàn)象為誤差項(xiàng) ｕ t的自相關(guān)或稱序列相關(guān) 。 ? ⑵ 計(jì)算回歸系數(shù) ?2的 t值 ? ⑶ 選擇顯著性水平 ?， 取小概率 ?=1%或者 ?=5%。 一元線性回歸模型的檢驗(yàn) ? 因?yàn)? 均為線性估計(jì)量 ， 是因變量 Yt的線性組合 ， 根據(jù)高斯假定 ， 可知 Yt是服從正態(tài)分布的變量 ， 所以 也服從正態(tài)分布 。 一元線性回歸模型的檢驗(yàn) ? 顯著性檢驗(yàn) ? 回歸分析的顯著性檢驗(yàn) ， 包括兩方面的內(nèi)容： ? 一是對(duì)各回歸系數(shù)的顯著性檢驗(yàn)； ? 二是對(duì)整個(gè)回歸方程的顯著性檢驗(yàn) 。 可決系數(shù) γ2具有如下性質(zhì)： ? ⑴ 0≦ γ2≦ 1；當(dāng) 樣本觀察值 (Yt, X t)都處于回歸直線上時(shí) ， SSE=0，γ2=1；當(dāng) 觀察值 (Yt, X t)并不全部處于回歸直線上時(shí) ， SSE0， 0γ21；當(dāng)模型中解釋變量 X與因變量 Y完全無(wú)關(guān)時(shí) ， LYY=SSE， γ2=0。 ? 二級(jí)檢驗(yàn) ， 又稱為經(jīng)濟(jì)計(jì)量學(xué)檢驗(yàn) ， 它是對(duì)標(biāo)準(zhǔn)線性回歸模型中的高斯假定條件能否滿足 ， 進(jìn)行檢驗(yàn) ， 具體包括序列相關(guān) 、 異方差性檢驗(yàn)等 。Y) ? = 3166305 ? = ? S2= ?(ｅ 2)/(n2)=? S= ? LXX=, ?(X)=, ?(X)/n= ? 另外可計(jì)算回歸系數(shù) ?1， ?2估計(jì)值的標(biāo)準(zhǔn)差分別為 ()和 ()。 因此 ， S又叫做回歸估計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)誤差 。Y t ?X,t ｅ t=Yt–?t 1951 1 1952 2 1953 3 230 52900 58098 1954 4 1955 5 1956 6 1957 7 1958 8 1959 9 1960 10 350 122500 105755 113820 1961 11 112359 1962 12 126096 136820 1963 13 375 140625 151725 1964 14 1965 15 204801 1966 16 238699 1967 17 1968 18 316765 1969 19 364749 1970 20 422323 合計(jì) 210 3471559 2888129 3166305 平均 173578 167。 一元線性回歸模型的估計(jì) ? 回歸系數(shù)的估計(jì) （續(xù)） ? 求解正規(guī)方程組 ， 得 ? () ? 利用 ()式 ， 則最小二乘估計(jì)量 ， 又可簡(jiǎn)寫(xiě)為 ? () ? Ch7 相關(guān)與回歸分析 ? 167。 ? Ch7 相關(guān)與回歸分析 ? 167。 ? Ch7 相關(guān)與回歸分析 ? 167。 ? Cov(Xt,ｕ t)=E (Xtｕ t )=0 () ? ⑹ ｕ t服從正態(tài)分布 ， 即 ? ｕ t ~N (0， ?2) () ? 以上假定最早是由德國(guó)數(shù)學(xué)家高斯提出來(lái)的，也稱為高斯假定或者標(biāo)準(zhǔn)假定。 ? Ch7 相關(guān)與回歸分析 ? 167。 標(biāo)準(zhǔn)的一元線性回歸模型 ? 總體回歸函數(shù) ? 設(shè)因變量為 Y， 自變量為 X；若 Y的數(shù)學(xué)期望存在 ， 且服從如下的分布 ? Y~N (?1+ ?2X , ?2) () ? 式中 ?1， ?2和 ?2是不依賴于 X的未知參數(shù) 。 一元線性回歸模型的檢驗(yàn) ? 167。 根據(jù)公式 ， 得 γ s =， t s =。 相關(guān)分析 序號(hào) t 復(fù)習(xí)時(shí)間 考試成績(jī) Dt2=(VX,tVX,t)2 時(shí)間 Xt 排隊(duì)等級(jí) VX,t 成績(jī) Yt 排隊(duì)等級(jí) VX,t 1 3 3 86 3 0 2 4 4 87 4 0 3 1 1 4 1 0 4 2 2 85 2 0 5 5 5 93 6 1 6 8 6 91 5 1 7 10 8 95 8 9 7 94 7 0 9 11 9 95 10 13 10 96 10 0 合計(jì) 55 55 167。 ? 同樣也可以參照樣本相關(guān)系數(shù) γ的檢驗(yàn)方法 ， 構(gòu)造新的統(tǒng)計(jì)量 t2去進(jìn)行 F檢驗(yàn) ， 或者直接查相關(guān)系數(shù)表檢驗(yàn) 。 γ s=1， 表明兩種現(xiàn)象的等級(jí)完全相同 ， 存在完全正相關(guān)； γ s=1， 表明兩種現(xiàn)象的等級(jí)完全相反 ， 存在完全負(fù)相關(guān) 。 因?yàn)?|t|=t?/2=， 所以拒絕 H0，表示 Y, X之間相關(guān)顯著 。 ? Ch7 相關(guān)與回歸分析 ? 167。 相關(guān)分析 222 12rnrtF ?????? 167。 相關(guān)分析 212rnrt???? 167。 γ的查表檢驗(yàn) ， 是 t檢驗(yàn)或者 F檢驗(yàn)方法的結(jié)果 。 ? 同理 ， |γ|=1， 表示樣本 (Y t ,X t)為完全線性相關(guān)； γ=1， 表示 (Y t, X t)為完全正線性相關(guān) ， 樣本的所有點(diǎn) (Y t, X t)都在一條直線上； γ=1， 表示 (Y t, X t)為完全負(fù)線性相關(guān) ， 樣本的所有點(diǎn) (Y t ,X t)也都在一條直線上； ? γ=0， 表示樣本點(diǎn) (Y t ,X t)在散點(diǎn)圖上的分布是雜亂無(wú)章的 ， (Y t,X t)之間無(wú)相關(guān)關(guān)系； ? 0|γ|1， 表示 (Y t ,X t)之間存在線性相關(guān)關(guān)系 ， 其樣本點(diǎn) (Y t, X t)大致地分布在某條直線左右 。 相關(guān)系數(shù) ? 【 例 72】 利用某國(guó) 19511970年的消費(fèi) Y和可支配收入 X數(shù)據(jù) ， 計(jì)算它們之間的相關(guān)系數(shù) 。 樣本相關(guān)系數(shù) γ， 是根據(jù)樣本觀察值計(jì)算的 。 一元線性回歸分析 ? 167。 相關(guān)與回歸的基本概念 正線性相關(guān) 負(fù)線性相關(guān) Y X 0 Y X ?=?1+? 2X. 0 非線性相關(guān) 非線性相關(guān) Y X 0 Y X 圖 7－ 2 線性相關(guān)與非線性相關(guān) 0 返回 167。 相關(guān)圖又稱散布圖 。 建立回歸方程 ， 計(jì)算估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤差 、相關(guān)系數(shù)等 ， 以反映變量之間的關(guān)系 、 誤差大小及密切程度 ，并運(yùn)用數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法 ， 進(jìn)行檢驗(yàn)和評(píng)價(jià) 。 相關(guān)與回歸分析 ? 相關(guān)與回歸分析： ? 是研究相關(guān)關(guān)系的一種有力數(shù)學(xué)工具 。 ? Ch7 相關(guān)與回歸分析 ? 167。 ? Y ?? (X=X t)， () ? 即只要給定一個(gè) X， 就可以確定一個(gè) Y， Y值隨 X的值變化 ， 則變量 Y, X之間 ， 就是一種確定性的函數(shù)關(guān)系 。 多元線性回歸分析 (new) ? 167。 確定性關(guān)系與相關(guān)關(guān)系 ? 167。 多元線性回歸分析 (new) ? 167。 相關(guān)與回歸的基本概念 ? 167。Ch7 相關(guān)與回歸分析 統(tǒng)計(jì)學(xué)原理 ? 167。 相關(guān)分析 ? 167。 回歸診斷與殘差分析 (new) Ch7 相關(guān)與回歸分析 統(tǒng)計(jì)學(xué)原理 ? 167。 回歸函數(shù)與經(jīng)驗(yàn)方程 ? 167。 回歸診斷與殘差分析 (new) 返回 ? 關(guān)系 給定一個(gè) X，就可以確定一個(gè) Y， Y值隨X的值變化。 Y?? (X=X t)是這兩個(gè)變量之間的函數(shù)表達(dá)式 。 相關(guān)與回歸的基本概念 返回 167。 它是建立在對(duì)客觀事物進(jìn)行大量試驗(yàn)和觀察的基礎(chǔ)上 ， 在不確定的現(xiàn)象中 ， 尋找隱藏的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法 。 ? Ch7 相關(guān)與回歸分析 ? 167。 它是以直角坐標(biāo)系的橫軸代表變量 X， 縱軸代表變量 Y ， 將兩個(gè)變量的值 ，用坐標(biāo)點(diǎn) (Xt, Y t) 的形式描繪出來(lái) ， 用來(lái)反映兩變量之間相關(guān)關(guān)系的圖形 。 相關(guān)分析 ? 167。 多元線性回歸分析 (new) ? 167。 ? Ch7 相關(guān)與回歸分析 ? 167。 ? 解：根據(jù)相關(guān)系數(shù)的公式 ， 有 ? ? 于是 ? Ch7 相關(guān)與回歸分析 ? 167。 ? 當(dāng) |γ|比較小時(shí) ， 樣本點(diǎn)離該直線比較分散 ， 而當(dāng) |γ|比較大 （ 接近于 1） 時(shí) ， 樣本點(diǎn)就靠近該直線 。 三種方法的檢驗(yàn)結(jié)論相同 。 相關(guān)系數(shù)的檢驗(yàn) ? F統(tǒng)計(jì)量檢驗(yàn) ? ⑴ 作統(tǒng)計(jì)假設(shè) ? 零假設(shè) H0： ρ=0， 備擇假設(shè) H1： ρ≠0。 相關(guān)系數(shù)的檢驗(yàn) ? γ的查表檢驗(yàn) ? γ的查表檢驗(yàn) ， 是 t檢驗(yàn)或者 F檢驗(yàn)方法衍生的結(jié)果 。 相關(guān)分析 167。 ? Ch7 相關(guān)與回歸分析 ? 167。 ? Ch7 相關(guān)與回歸分析 ? 167。 ? Ch7 相關(guān)與回歸分析 ? 167。 等級(jí)相關(guān)系數(shù)及其檢驗(yàn) ? 解：首先對(duì)復(fù)習(xí)時(shí)間 X與考試成績(jī) Y按從小到大的順序確定等級(jí) 。 在?=5%、 自由度 =n2=8條件下 ， 得 t?/2(n2)=。 誤差項(xiàng) ｕ t的自相關(guān)檢驗(yàn) ? 167。 則方程 ? Y= ?1+ ?2X+ u 。 一元線性回歸分析 167。 ? Ch7 相關(guān)與回歸分析 ? 167。 一元線性回歸分析 圖 7－ 3 總體回歸與隨機(jī)誤差 Y X ?= ?1+ ?2X. 0 Y= ?1+ ?2X+u u t→ 167。 一元線性回歸分析 nteEeEeXY ttttt ,. .. ,3,2,1。 一元線性回歸分析 ??????????????????????????????????????nttntttntnttnttnttntttnttnttXXYYXXXXnYXXYnXYXnYn1212112111221211)())(()())(()(???1????????????????22221)()())(()(???XXYXXYLLXYXXXY??? 167。 一元線性回歸模型的估計(jì) ? 最小二乘估計(jì)量的性質(zhì) ? 可以證明 ， 在高斯假定能夠得到滿足的條件下 ， ?