【正文】 )0(x 定理 一階定常迭代格式 對任何初始向量均收斂的充分必要條件為其迭代矩陣的譜半徑小于 1，即 fMxx kk ??? )()1(這里 為 M 的特征值 n?? ,1 ? 定理 若線性方程組（ 31）的系數(shù)矩陣 A對稱正定，則相應的高斯 塞德爾迭代法必收斂。 ,)(~~~~~~11時得由 jillllaLLA jjijjkjkikijT ???? ???由此可建立平方根法的遞推計算公式如下： 依此計算對于 nj ,2,1 ??)173(),2,1(~/)~~(~~~11112?????????????????????jkjjjkikijijjkjkjjjjnjjilllallal?類似地，由 得 TL DLA ?)()1(11jildldlla jjjkjijkjkikij ???? ???因為從而可建立喬里斯基分解法的遞推計算公式為 對于 依次計算 nj ?,2,1?)193(),2,1(/)(11112?????????????????????jkjkjkikijijjkkjkjjjnjjiddllaldlad?例 試分別用平方根法和喬里斯基分解法分解矩陣 ???????????????36159115291229121331231ATLLA ~~?? (1) ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????5131432231~5131432231361314322313615312932231361591291221331361591291221331L?解 TL DLADL ???????????????????????????????? ,251641,131??????????????????????????????????????????????????????????????????????????431431431361591291221331361591291221331)2( ?把平方根法應用于解方程組，則把 Ax=b 化為等價方程 ?????yxLbyLT~~相應的求解公式為 )213()1,2,1(~/)~(,~/),3,2(~)~(~/1111111????????????????????????nkikkiikkknnnnkikkikikknnklylbxlyxnklylbylby??把喬里斯基分解法應用于解方程組，則 Ax=b 化為等價方程 ?????? yDxLbLyT 1相應的求解公式為 )223()1,2,1(,/),3,2(,11111????????????????????????nkiiikkkknnnkiikikknnkxldyxdyxnkylbyby??例 試用平方根法求解對稱線性方程組 ???????????????????????????????????????????5241131361591152912291213312314321xxxx?????????????????????????????????????????????51433212315131432231~~36159115291229121331231TLLA解 由此，可先由上三角形線性方程組 ???????????????????????????????????????????724113151314322314321yyyy?????????????????????????????106514321yyyy解得再由下三角形線性方程組 ???????????????????????????????????????????1065151433212314321xxxx??????????????????????????????21234321xxxx回代解得 例 試用喬里斯基分解法解線性方程組 ?????????????????????????????????????1811451951912521321xxxTL D LADL ?????????????????????????? ,731,135121解 ???????????????????????????????????????????????????73532153532151951215195121???????????????????????????????????18114135121321yyy由????????????????????????????????????????????????114,7343211321yyyDyyy解得?????????????????????????????????? ?114131521321xxx再由??????????????????????125321xxx回代解得 解線性方程組的迭代法 雅可比迭代法與高斯 塞德爾迭代法 bAx ?對 （ 323） 以分量表示即 )233(),2,1(1??????njijij nibxa ?約化便得 )2,1,0?！獮閱挝簧先菫橄氯?，分解。因此： 則消元法可進行。n,1ki(aaaa)1n,1kj(a/aa)b,A)j(kj)1k(ik)1k(ij)k(ij)1k(kk)1k(kj)k(kj)k()k(：中個元素的計算公式為對于（ 第 n步： 得到： 消去過程?????????????????????????????)1(1n1)2(1n2)2(n2)2(23)1(1n1)1(n1)1(13)1(12a1aaa1aaaa1 經(jīng)過上述 n步過程后，原系數(shù)矩陣 A變?yōu)橐粋€單位上三角 矩陣，即原方程組化為一個和它完全等價的三角形方程組， 即 ?????????????????????????????????????????2)1(2,11n)1(1n,1n)1(n,1)1(1n,113)2(3,21n)2(1n,2n)2(n,2)2(1n,22n)1n(n,2)1n(1n,1n1n)n(1nnn