44數(shù)字特征與極限定理-免費閱讀
【正文】 (kkqp)39。 n2天每天出兩件廢品 。 數(shù)字特征與極限定理 在前面的課程中，我們討論了隨機變量及其分布，如果知道了隨機變量 X的概率分布，那么 X的全部概率特征也就知道了 . f (x) x o x P(x) o 然而，在實際問題中，概率分布一般是較難確定的 . 而在一些實際應(yīng)用中，人們并不需要知道隨機變量的一切概率性質(zhì)，只要知道它的某些數(shù)字特征就夠了 . 某型號電視機的平均壽命 18000小時 177。 n3天每天出三件廢品 . nnnnnnnn 3210 3210 ???????可以得到 n天中每天的平均廢品數(shù)為 (假定小張每天至多出三件廢品 ) 一般來說 ,若統(tǒng)計 n天 , 這是 以頻率為權(quán)的加權(quán)平均 nnnnnnnn 3210 3210 ???????由頻率和概率的關(guān)系 不難想到，在求廢品數(shù) X 的平均值時，用 概率代替 頻率 ，得平均值為 3210 3210 pppp ???????這是 以概率為權(quán)的加權(quán)平均 這樣得到一個確定的數(shù) . 我們就用這個數(shù)作為隨機變量 X的平均值 . 這樣做是否合理呢？ 不妨把小張生產(chǎn)中出廢品的情形用一個球箱模型來描述 : 2 2 3 0 0 0 3 1 1 1 2 2 0 0 0 3 3 1 1 1 有一個箱子，里面裝有 10個大小，形狀完全相同的球，號碼如圖 . 規(guī)定從箱中任意取出一個球，記下球上的號碼，然后把球放回箱中為一次試驗 . 記 X為所取出的球的號碼 (對應(yīng)廢品數(shù) ) . X為隨機變量， X的概率函數(shù)為 ????????3210~X2 2 3 0 0 0 3 1 1 1 nnnnnnnnnM 3210 3210)( ????????對試驗次數(shù) (即天數(shù) )n,及小張的生產(chǎn)情況進行統(tǒng)計，統(tǒng)計 他不出廢品，出一件、二件、三件廢品的天數(shù) n0,n1,n2,n3 , 并計算 與 3210 3210 pppp ???????進行比較 . 2 2 3 0 0 0 3 1 1 1 則對 X作一系列觀察 (試驗 )，所得 X的試驗值的平均值也是隨機的 . 由此引入離散型 : ???1kkk px 對于一個隨機變量，若它可能取的值是X1, X2, …, 相應(yīng)的概率為 p1, p2, …, 但是，如果試驗次數(shù)很大，出現(xiàn) Xk的頻率會接近于 pk， 于是可期望試驗值的平均值接近 定義 1 設(shè) X是離散型隨機變量，它的概率函數(shù)是 : P(X=Xk)=pk , k=1,2,… 也就是說 ,離散型隨機變量的數(shù)學期望是一個絕對收斂的級數(shù)的和 . ????1)(kkk pxXE??? 1||kkk px如果 有限 ,定義 X的數(shù)學期望 例 1 某人的一串鑰匙上有 n把鑰匙 ， 其中只有一把能打開自己的家門 ， 他隨意地試用這串鑰匙中的某一把去開門 . 若每把鑰匙試開一次后除去 ， 求打開門時試開次數(shù)的數(shù)學期望 . 解 : 設(shè)試開次數(shù)為 X, P(X=k)= 1/n , k=1,2,…, n E(X) ????nk nk112)1(1 nnn???21?? n于是 二、連續(xù)型隨機變量的數(shù)學期望 設(shè) X是連續(xù)型隨機變量，其密度函數(shù)為 f (x),在數(shù)軸上取很密的分點 x0 x1x2 …, 則 X落在小區(qū)間 [xi, xi+1)的概率是 ? ? 1 )(iixx dxxfii xxf ?? )(小區(qū)間 [xi, xi+1) 陰影面積 近似為 ii xxf ?)())(( 1 iii xxxf ?? ?小區(qū)間 [Xi, Xi+1) 由于 xi與 xi+1很接近 , 所以區(qū)間 [xi, xi+1)中的值可以用 xi來近似代替 . ? ?iiii xxfx )(這正是 ???? dxxfx )(的漸近和式 . 陰影面積 近似為 ii xxf ?)(近似 , ii xxf ?)(
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