44數(shù)字特征與極限定理-全文預(yù)覽
【正文】 x2 …, 則 X落在小區(qū)間 [xi, xi+1)的概率是 ? ? 1 )(iixx dxxfii xxf ?? )(小區(qū)間 [xi, xi+1) 陰影面積 近似為 ii xxf ?)())(( 1 iii xxxf ?? ?小區(qū)間 [Xi, Xi+1) 由于 xi與 xi+1很接近 , 所以區(qū)間 [xi, xi+1)中的值可以用 xi來近似代替 . ? ?iiii xxfx )(這正是 ???? dxxfx )(的漸近和式 . 陰影面積 近似為 ii xxf ?)(近似 , ii xxf ?)(因此 X與以概率 取值 xi的離散型 該離散型 的數(shù)學(xué)期望 是 由此啟發(fā)我們引進如下定義 . 定義 2 設(shè) X是連續(xù)型隨機變量，其密度函數(shù) 為 f (x),如果 ? ??? dxxfx )(||有限 ,定義 X的數(shù)學(xué)期望為 ? ???? dxxfxXE )()(也就是說 ,連續(xù)型隨機變量的數(shù)學(xué)期望是一個絕對收斂的積分 . 2)(baXE ??若 X~U(a,b),即 X服從 ( a,b)上的均勻分布 ,則 ??)( XE若 X服從 則),( 2??N??)( XE若 X服從參數(shù)為 的泊松分布，則?由隨機變量數(shù)學(xué)期望的定義，不難計算得： 這意味著，若從該地區(qū)抽查很多個成年男子，分別測量他們的身高，那么，這些身高的平均值近似是 . )( ?? ?XE 已知某地區(qū)成年男子身高 X~ ),.( 2681 ?N三、隨機變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望 1. 問題的提出： 設(shè)已知隨機變量 X的分布，我們需要計算的不是 X的期望，而是 X的某個函數(shù)的期望，比如說 g(X)的期望 . 那么應(yīng)該如何計算呢？ 如何計算隨機變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望 ? 一種方法是，因為 g(X)也是隨機變量，故應(yīng)有概率分布，它的分布可以由已知的 X的分布求出來 . 一旦我們知道了 g(X)的分布，就可以按照期望的定義把 E[g(X)]計算出來 . 使用這種方法必須先求出隨機變量函數(shù)g(X)的分布，一般是比較復(fù)雜的 . 那么是否可以不先求 g(X)的分布而只根據(jù) X的分布求得 E[g(X)]呢？ 下面的基本公式指出，答案是肯定的 . 類似引入上述 E(X)的推理，可得如下的基本公式 : 設(shè) X是一個隨機變量， Y=g(X)，則 ??????????????連續(xù)型離散型XdxxfxgXpxgXgEYE kkk,)()(,)()]([)( 1當(dāng) X為離散型時 ,P(X= xk)=pk 。 21天每天出三件廢品 。 數(shù)字特征與極限定理 在前面的課程中，我們討論了隨機變量及其分布，如果知道了隨機變量 X的概率分布，那么 X的全部概率特征也就知道了 . f (x) x o x P(x) o 然而，在實際問題中，概率分布一般是較難確定的 . 而在一些實際應(yīng)用中，人們并不需要知道隨機變量的一切概率性質(zhì)，只要知道它的某些數(shù)字特征就夠了 . 某型號電視機的平均壽命 18000小時 177。 17天每天出兩件廢品 。 n2天每天出兩件廢品 。 2. 若 k是常數(shù)，則 E(kX)=kE(X)。(kkqp)39。 ?????niinii XDXD11)(][可推廣為：若 X1,X2,…, Xn相互 獨立 ,則 ?????niiiniii XDCXCD121)(][X1 與 X2不一定獨立時 ， D(X1 +X2 )=？ 請思考 4. D(X)=0 P(X= C)=1， 這里 C=E(X) ?xC1P(X= x) 下面我們用一例說明方差性質(zhì)的應(yīng)用 . 例 2 二項分布的方差 設(shè) X~B(n,p), 則 X表示 n重貝努里試驗中的 “成功” 次數(shù) . 若設(shè) ????次試驗失敗如第次試驗成功如第iiX i01i=1,2， … ， n 故 D(Xi)= E(Xi2)[E(Xi)
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