euclid空間上的線性泛函的內(nèi)積刻畫及推廣-免費(fèi)閱讀
【正文】 N ?? ?? ，使得 39。 Innerproduct。()Lx?? ，這時(shí) 0x? ，否則 ( ) {0}Lx? 是孤立點(diǎn)集，從而 39。 , 0 , 1 , , 。Zerospace 目 錄 0 引言 ????????????????????????????? 34 2 1 預(yù)備知識(shí)及引理 ???????????????????????? 45 2 主要結(jié)果 ??????????????????????????? 513 Euclid 空間 上線性泛函的內(nèi)積刻畫 ?????????????? 59 Euclid 空間 上不能用內(nèi)積刻畫的線性泛函的存在性 ?????? 910 雙線性函數(shù)的內(nèi)積刻畫 ?????????????????? 1013 參考文獻(xiàn) ?????????? ?????????????????? 13 致謝 ??????????????????????????????? 13 0 引言 Cauchy 曾用函數(shù)方程給出了實(shí)數(shù)域上 R 的線性函數(shù)的公理化定義，該定義基于以下命題得到： 3 命題 1[1] 設(shè) f 是實(shí)數(shù)域 R 到 R 的一個(gè)連續(xù)函數(shù)，若對(duì) ,x y R??，有 ( ) ( ) ( )f x y f x f y? ? ?，則 ()f x cx? ，這里 (1)cf? 為常數(shù) . 美國數(shù)學(xué)家 在他的著作 [1] 中取消了命題 1“ f 是連續(xù)函數(shù)”這一假設(shè)，并利用連續(xù)函數(shù)的延拓原理進(jìn)行了新的證明 . 把線性函數(shù)這一概念拓廣到一般的線性空間上，就是如下： 定義 1[2] 設(shè) V 是數(shù)域 P 上的一個(gè)線性空間，映射 :f V P? 稱為 V 上的線性函數(shù)，如果 f 滿足 1） ( ) ( ) ( )f x y f x f y? ? ?； 2） ( ) ( )f kx kf x? ， 式中 ,xy是 V 中任意元素， k 是 P 中任意數(shù) . 在上述定義中當(dāng) P 為實(shí)數(shù)域或復(fù)數(shù)域時(shí)，我們也把 f 稱為 V 上的線性泛函 . 在三維幾何空間中，當(dāng) ( , , )n a b c? 為常向量，而 ( , , )x y z?? 為變向量時(shí)，數(shù)量積（內(nèi)積） n?? 可視為函數(shù) ( ):f? ()f ax by cz? ? ? ?，容易驗(yàn)證 ()f? 是一個(gè)線性泛函 .推廣到一般 的內(nèi)積空間 V ，記 0( ) ,f x x y? ( x 是 V 中任意向量， 0y 是 V中一固定向量 ) ，易證 f 是 V 上的一個(gè)線性泛函 . 考慮了以上問題在一般意義上的逆命題，對(duì) Hilbert 空間 H 上的連續(xù)線性泛函進(jìn)行了一般性的刻畫： 定理 [3] 設(shè) f 是 Hilbert 空間 H 上的一個(gè)連續(xù)線性泛函，則必存在唯一的 fy H? ，使得 xH?? ，有 ( ) , ff x x y? . 本文將在一般意義上考慮內(nèi)積空間上的線性泛函，研究在怎樣的情形下，內(nèi)積空間上的線性泛函才能用內(nèi)積來刻畫，這種刻畫是否唯一，并將結(jié)論進(jìn)一步推廣到雙線性函數(shù)的情形 . 在本文中用 ? 表示內(nèi)積， R 表 示實(shí)數(shù)域， ?? 表示正整數(shù)集， dimV 表示 V 的維數(shù)， ? 表示范數(shù)， ? 表示正交， ? 表示直和， ()L? 表示生成子空間 . 1 預(yù)備知識(shí)及引理 定義 2[3] V 是數(shù)域 P 上的線性空間， f 是 V 上的線性函數(shù)，稱 4 ? ?( ) | ( ) 0 ,N f x f x x V? ? ? 為 f 在 V 上的零空間，簡稱 f 的零空間 . 容易驗(yàn)證， ()Nf 是 V 的子空間 . 定義 3[2] 1V 和 2V 是數(shù)域 P 上的兩個(gè)線性空間， f 是 12VV? 的映射，如果 f 滿足 1) 1 1 2 2 1 1 2 2( , ) ( , ) ( , )f x k y k y k f x y k f x y? ? ?； 2) 1 1 2 2 1 1 2 2( , ) ( , ) ( , )f k x k x y k f x y k f x y? ? ?， 其中 12,xx x 是 1V 中任意向量， 12,yy y 是 2V 中任意向量， 12,kk是 P 中任意數(shù)，則稱 12:f V V P??是一個(gè)雙線性函數(shù) . 在定義 3 中，如果 12VV? ，我們?cè)诹?xí)慣上也稱 f 是 1V 2()V或 上的雙線性函數(shù) . 定義 4[3] 1V 和 2V 是數(shù)域 P 上的兩個(gè)線性空間， T 為 1V 到 2V 的映射，如果 1,x y V??及數(shù) kP? ，有 1) ( ) ( ) ( )T x y T x T y? ? ?； 2) ( ) ( )T kx kT x? ， 則稱 T 為 1V 到 2V 的線性算子 . 特別地，在定義 4 中，當(dāng) 2VP? 時(shí)， T 就是定義 1中所說的 1V 上 的線性函數(shù)；當(dāng) 12VV? 時(shí)， T 就是 1V 2()V或 的線性變換 . 引理 1[3] W 是內(nèi)積空間 V 的閉子空間，則對(duì)每個(gè) xV? ，存 在唯一的 yW? ，使得 ( , )x y d x W?? ， 這里的范數(shù) ? 是 V 的內(nèi)積導(dǎo)出的范數(shù)， ( , ) infyWd x W x y???是 x 與 W 的距離 . 引理 2[3] W 是內(nèi)積空間 V 的子空間， xV? ，若 yW?? ，使得 ( , )x y d x W?? ，那么， x y W?
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