【正文】 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 1 . 51 0 . 500 . 511 . 5時(shí)間 t ( S e c )x1系統(tǒng)的狀態(tài)響應(yīng)0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 502 1 . 51 0 . 500 . 51時(shí)間 t ( S e c )x2系統(tǒng)的狀態(tài)響應(yīng) 圖 1：系統(tǒng)分別在初始狀態(tài)： [ ]（實(shí)線）、 [ ]（長(zhǎng)劃線）下的狀態(tài)響應(yīng)曲線 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 2 . 52 1 . 51 0 . 500 . 511 . 5時(shí)間 t ( S e c )控制器 u 輸出 圖 2：系統(tǒng) 分別在初始狀態(tài)： [ ]（實(shí)線）、 [ ]（長(zhǎng)劃線）下的控制曲線 4 結(jié)論 本文對(duì)一類用 TS 模型表示的 DFBS 研究了靜態(tài)輸出反饋控制問題。 111111( ) ( ) 0 0 0()000000( ) ( )()0000 00TT T Tlli i i j lijl ijlTi j i jTTTliiijC Q C Q A Q N B F C QIaQIbQB F B FbQC Q A Q Na Q Ib Q IBFbQ???????????????????? ? ? ???? ? ?????? ? ?? ? ? ??? ?????????? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ??? ?0 0 ( )Tl i jC Q B F??? ?????????? ?（ 19） 由 Schur 補(bǔ)定理可知：（ 17）式等價(jià)于 0ijl ijl?? ? ? ，進(jìn)一步可以得 0ijl??。 （ 6 證明：考慮： 1 1 1 12 2 2 2( ) ( ) ( ) ( )T T T TM P N N P M P M P N P N P M? ? ? 由文 [1]中引理 1： 1T T T TM N N M M M N N?? ?? ? ?，可得到： 1T T T TM PN N PM M PM N PN?? ?? ? ?。 通過單點(diǎn)模糊化，乘積推理和中心平均反模糊化方法，模糊控制系統(tǒng)的總體模型為： 11( 1 ) ( ( ) ) [ ( ) ( ) ( ) ( ) ]( ) ( ( ) ) ( )si i i iisiiix t h y t A x t B u t N x t u ty t h y t C x t??? ? ? ???? （ 2） 其中： 11( ( ) )( ( ) ) , ( ( ) ) ( ( ) )( ( ) ) vii i ijsjiiyth y t y t y tyt? ??????? ?? 。 注 1：在本文中， nR 表示 n 維 Euclidean 空間， 0( 0)PP??表示是一個(gè)正定（正半定）實(shí)對(duì)稱矩陣。考慮 TS 模型的有效性及雙線性系統(tǒng)的特點(diǎn)，對(duì) TS 模糊雙線性系統(tǒng)（ FBS）的研究引起了很多學(xué)者的關(guān)注 [14][15]。最后，通過仿真例子驗(yàn)證了方法的有效性。 中文 2094 字 外文資料翻譯 Static Output Feedback Control for Discretetime Fuzzy Bilinear System Abstract The paper addressed the problem of designing fuzzy static output feedback controller for TS discretetime fuzzy bilinear system (DFBS). Based on parallel distribute pensation method, some sufficient conditions are derived to guarantee the stability of the overall fuzzy system. The stabilization conditions are further formulated into linear matrix inequality (LMI) so that the desired controller can be easily obtained by using the Matlab LMI toolbox. In parison with the existing results, the drawbacks such as coordinate transformation, same output matrices have been eliminated. Finally, a simulation example shows that the approach is effective. Keywords discretetime fuzzy bilinear system (DFBS)。 關(guān)鍵詞 ：離散模糊雙線性系統(tǒng)；靜態(tài)輸出反饋控制；模糊控制；線性矩陣不等式； 0 引言 眾所周知，基于 TS 模型的模糊控制是研究非線性系統(tǒng)比較成功的方法之一，在穩(wěn)定性分析和控制器設(shè)計(jì)方面，已有很多成果面世 [1][10]。和常用的 TS 模糊模型不同的是， FBS 的模糊規(guī)則的后件部分由一個(gè)雙線性函數(shù)表示， FBS 的局部動(dòng)態(tài)可由雙線性狀態(tài)空間模型表示。在矩陣表達(dá)式中，用“ ? ”來表示對(duì)稱項(xiàng)，用 I 來表示合適維數(shù)的單位矩陣。 ( ( ))ij yt? 是 ()j 在 ijF中隸屬度函數(shù)。 2 主要結(jié)果 定理 1：對(duì)于給定的 0?? 和常數(shù) ,ij i j I? ? ，如果存在著矩陣 0, ,iQ F i I??滿足下面矩陣不等式（ 7），則 DFBS（ 5）是漸近穩(wěn)定的。根據(jù)定理 1，則可知在靜態(tài)輸出反饋器下，系統(tǒng)（ 5）是漸近穩(wěn)定的。給出了系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的充分條件，并把這種條件轉(zhuǎn)換成 LMIs 形式，使模糊控制器可以通過求解 LMI 而得到。由仿真結(jié)果可以看出，在所設(shè)計(jì) 的控制器下，系統(tǒng)狀態(tài)變量在 17秒后趨于平衡點(diǎn)。 1110 ( )0 0 0000T T Ti i lijlijQ Q A Q N C Qa Q Ib Q Ib Q B FI????????? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ? ??? （ 17） 證明：考慮： ( ) ( ) 0 0 000 00( ) ( )TllijlTi j i jC Q C QIIB F B F??????????? ? ??? （ 18） 假設(shè)有 0ijl ijl?? ? ? ，則可以得出： 0ijl??。 在控制律（ 4）的作用下，整個(gè)閉環(huán)系統(tǒng)的方程可表示為：, , 11( ) ( )( ) ( )si j l ijli j lsiiix t h h h x ty t h C x t??????? （ 5） 其中： c os si nij l i i j l j i jA B F C N? ? ? ?? ? ? ? 以下給出在證明中要用到的引理： 引理 1： 設(shè) ,MN是維數(shù)適合的實(shí)矩陣 , 0P? 是正定對(duì)稱矩陣，則對(duì)于標(biāo)量 0?? ，有如下不等式成立： 1T T T TM PN N PM M PM N PN?? ?? ? ??？紤]靜態(tài)輸出反饋控制，這里假設(shè) vq? 及11( ) ( ),...,t y t? ? ( ) ( )vqt y t? ? 。最后，由數(shù)例仿真驗(yàn)證了結(jié)果的有效性。對(duì)于很多實(shí)際系統(tǒng)，當(dāng)用線性系統(tǒng)模型不能描述時(shí)，往往可以用雙線性系統(tǒng)模型來描述。和現(xiàn)有的文獻(xiàn)相比，這種方法不要求相同的輸出矩陣和相似轉(zhuǎn)換等條件。 static output feedback control。然而大部分控制器是關(guān)于狀態(tài)反饋或基于觀測(cè)器的狀態(tài)反饋 [1][3]，關(guān) 于輸出反饋的結(jié)果則很少 [4][10]。文 [14]研究了一類連續(xù) FBS 系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性問題，并把結(jié)果推廣到了帶有時(shí)滯的 FBS 中 [15]。用 , , 1si j y?? 來表示 1 1 1s s si j y? ? ?? ? ? 。在本文中假設(shè)： 1( ( ) ) 0 , ( ( ) ) 0siiiy t y t?????? 。 111()00 00T T Ti i i j lijlQ QA QN B F C QaQbQbQ??????????? ? ?? ? ?? ? ? ??? （ 7） 其中： 211 , (1 )ij ijab? ? ? ?? ? ? ?。 3 算例分析 為了進(jìn)一步闡述前面的方法和結(jié)論，考慮如下雙線性模糊系統(tǒng)： 1:: ( 1 ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 1 , 2iii i iiR if y is MT he n x t A x t B u t N x t u ty t C x t i? ? ? ??? 其中： 1 2 1 2 1 29 7 8 1 0 3 1 0 1 0 1 0。這種方法不要求系統(tǒng)的輸出矩陣相同，也不需要相似轉(zhuǎn)換。5 0 1 0 0 5 0 1 0 0 0 1 1A A N N B B? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?121 0 , 1 0 .CC? ? ? 選取隸屬度函數(shù)： 1 2 111 1 11 c o s( )( ) , ( ) 1 ( )2M M Lyy y y? ? ??? ? ?并選取 ?? ，根據(jù)定理 2，通過 Matlab 求解相應(yīng)的 LMIs，可以得到： ? ?? ?12 1 . 5 0 1 4 ,1 1 . 0 7 9 0 2 . 2 7 8 5 , 3 . 0 4 5 2 .2 . 2 7 8 5 0 . 5 9 8 4 FQ F ???? ?? ??? 分別選取初始值為 ? ? ? ? , ，利用 MATLAB仿真，圖 1是系統(tǒng)變量 1x 和 2x 的狀態(tài)響應(yīng)，圖 2是控制律變化過程。 定理 2：對(duì)于給定的 0?? 和常數(shù) ,ij i j I? ? ，如果存在著