【正文】 題疑難點：圓心角定理 1 （ 2020 山東日照， 11， 4分）已知 AC⊥ BC 于 C， BC=a， CA=b， AB=c，下列選項中 ⊙ O 的半徑為 baab? 的是（ C ） A． B． C． D． 考 查知識 點 ：三角形的內切圓與內心；解一元一次方程；正方形的判定與性質；切線的性質；相似三角形的判定與性質。與圓有關的題庫 選擇題 下列命題為真命題的是 (C ) A、點確定一個圓 B、度數相等的弧相等 C、圓周角是直角的所對弦是直徑 D、相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等 解答：選 C A不在同一直線的三點確定一個圓； B在同圓或等圓中度數相等的弧相等 D在同圓或等圓中， 相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等 考查的知識點：點與圓的關系，垂徑定理的推論，圓周角定理 解答疑難點：容易忽視垂徑定理的推論的前提是“在同圓或等圓 中” 若一個三角形的外心在這個三角形的斜邊上，那么這個三角形是 (B ) A、銳角三角形 B、直角三角形 C、鈍角三角形 D、不能確定 解答： B 考查的知識點：三角形的外接圓、直角三角形 解答疑難點：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半 圓內接四邊形 ABCD，∠ A，∠ B，∠ C的度數之比為 3:4:6，則∠ D的度數為 (C ) A、 60 B、 80 C、 100 D、 120 解答： C 考查的知識點：圓的內接四邊形對角互補 解答疑難點：圓的內接四邊形對角互補 如圖 1，正方形 ABCD內接于圓 O點 P在弧 AD上，∠ BPC＝ (B ) A、 50 B、 45 C、 40 D、 35 解答： B 考查的知識點：圓周角、正方形 解答疑難點：正方形的對角線的交點為圓 O的圓心，圓心角為 90 度，所以 ∠ BPC＝ 45度。B．這兩個圓心角所對的弧相等 C．這兩個圓心角所對的弦的弦心距相等 。ODAEBDOE? ，代入即可求出 r=錯誤 !未找到引用源。 ，故本選項錯誤； D、求不出圓的半徑等于 錯誤 !未找到引用源。 D．α +β +θ =360176。則 弧 CD 所對的圓心角等于 60176。 考查知識點：圓心角與圓周角的關系 疑難點分析： ∠ AOC=36098120=142，所以 ∠ ABC=71， ∠ CBD= 306021 ?? ，所以 ∠ABD=71+30=101 如圖，點 E（ 0， 4）， O（ 0， 0）， C（ 5， 0）在⊙ A上， BE是⊙ A上的一條弦．則 tan∠OBE=_54 __錯誤 !未找到引用源。 ，即 tan∠ OBE=錯誤 !未找到引用源。 考查知識點：折疊性質，垂徑定理 疑難點分析：折疊后， OC與 AB交于點 E， E為 OC的中點，所以 OE=1， AE= 312 12 ?? ，所以 AB= 32 1 如圖， AB是 ⊙ O的直徑， C、 D、 E是⊙ O上的點，則 ∠ 1+∠ 2= 90 。 AC=6cm， BC=8cm． P為 BC 的中點，動點 Q 從點 P 出發(fā)，沿射線 PC 方向以 2cm/s的速度運動，以 P 為圓心， PQ長為半徑作圓．設點 Q運動的時間為 t s． （ 1）當 t=，判斷直線 AB與⊙ P的位置關系，并說明理由； （ 2）已知⊙ O為△ ABC的外接圓．若⊙ P與⊙ O相切，求 t的 值． 考 查知識 點 ： 圓與圓的位置關系；勾股定理；直線與圓的位置關系；相似三角形的判定與性質。 ∠ PBD=∠ ABC， ∴△ PBD∽△ ABC， ∴ PD PBAC AB?錯誤 !未找到引用源。 AB=5cm， 連接 OP， ∵ P為 BC中點，∴ PO=12 錯誤 !未找到引用源。然后由相似三角形的性質即可求得答案． 解答： 解：過點 O作 OE⊥ AB于 E， 則 AE=BE= 12 AB，∠ OEB=90176。 ∴∠ DAB=50176?！?BOD=120176。 疑難點 分析： （ 1）點 P在線段 AB上，由 O在⊙ P上，且∠ AOB=90176。 ON ∴ OBONOMOA? ∵∠ AON＝∠ MOB ∴△ AON∽△ MOB ∴∠ OAN＝∠ OMB ∴ AN∥ MB． 4. （ 2020? 泰州， 26， 10分）如圖，以點 O為圓心的兩個同心圓中，矩形 ABCD的邊 BC為大圓的弦，邊 AD與小圓相切于點 M， OM的延長線與 BC相交于點 N． （ 1）點 N是線段 BC的中點嗎？為什么？ （ 2）若圓環(huán)的寬度（兩圓半徑之差）為 6cm， AB=5cm， BC=10cm，求小圓的半徑 ． 考 查知識 點 ：垂徑定理；勾股定理；矩形的性質?！?OD∥ AC，∴△ OBD∽△ ABC．∴ABOBACOD?，即 10r=6（ 10﹣ r）． 解得 r=錯誤 !未找到引用源。 21 ∠ DOB． ∵∠ ODB=90176。． ∵ OD=OE，∴ OD=DE．∵ OD=OF，∴ DE=OF．∴四邊形 OFDE是平行四邊形． ∵ OE=OF， ∴平行四邊形 OFDE是菱形． 6.（ 2020 江蘇揚州， 26， 10分） 已知，如圖，在 Rt△ ABC 中， ∠ C=90186。 疑難點 分析： （ 1）根據題意得： O 點應該是 AD垂直平分線與 AB 的交點；由∠ BAC的角平分線 AD交 BC邊于 D，與圓的性質可證得 AC∥ OD，又由∠ C=90176。 ∴∠ ODB=90176。 ， ∴∠ CAD=30176。 ∴ OD=2， ∴ S 扇形 ODE=錯誤 !未找到引用源。 2 2錯誤 !未找到引用源。 π． 7. （ 2020南昌， 22， 7 分 ）如圖，已知 ⊙ O的半徑為 2，弦 BC 的長為 32 錯誤 !未找到引用源。 =23 錯誤 !未找到引用源。 ，在 Rt△ OBE中利用銳角三角函數的定義及特殊角的三角函數值可求出 ∠ BOE的度數，再由圓周角定理即可求解； （ 2）因為 △ ABC的邊 BC的長 不變，所以當 BC 邊上的高最大時， △ ABC 的面積最大，此時點 A應落在優(yōu)弧 BC的中點處，過 OE⊥ BC與點 E，延長 EO 交 ⊙ O 于點 A，則 A為優(yōu)弧 BC的中點，連接 AB， AC，則 AB=AC，由圓周角定理可求出 ∠ BAE的度數，在 Rt△ ABE中，利用銳角三角函數的定義及特殊角的三角函數值可求出 AE的長，由三角形的面積公式即可解答． 解答： 解：（ 1）解法一：連接 OB， OC，過 O 作 OE⊥ BC 于點 E． ∵ OE⊥ BC， BC= 32 錯誤 !未找到引用源。 ∴∠ BOC=120176。 ∴∠ BAC=∠ BDC=60176。 ． 解法二：因為 △ ABC的邊 BC的長不變，所以當 BC邊上的高最大時， △ ABC的面積最大，此時點 A落在優(yōu)弧 BC的中點處．（ 5分） 過 O作 OE⊥ BC于 E，延長 EO交 ⊙ O于點 A，則 A為優(yōu)弧 BC的中點．連接 AB， AC，則 AB=AC． ∵∠ BAC=60176。； （ 2）設 PB=a，則 BD=2a，根據切線長定理得到 PA=PB=a，根據勾股定理得到 AD=2 2 a，又 BC∥ OP，得到 DC=2CO，得到 DC=CA=122 2 a= 2 a，則 OA= 22a，利用勾股定理求出 OP，然后根據余弦函數的定義即可求出 cos∠ BCA=cos∠ POA的值． 解答： （ 1）證明：連接 OB、 OP，如圖， ∵ 23DB DCDP DO??，且 ∠ D=∠ D， ∴△ BDC∽△ PDO， ∴∠ DBC=∠ DPO， ∴ BC∥ OP， ∴∠ BCO=∠ POA， ∠ CBO=∠ BOP 而 OB=OC ∴∠ OCB=∠ CBO ∴∠ BOP=∠ POA 又 ∵ OB=OA， OP=OP ∴△ BOP≌△ AOP ∴∠ PBO=∠ PAO 又 ∵ PA⊥ AC ∴∠ PBO=90176。 又 ∵ PA是 ⊙ O的切線 ∴ PA⊥ OA，即 ∠ PAO＝ 90176。即∠ 5＋∠ 6＝ 90176。 又∵∠ AHM＝∠ E＝ 90176。 疑難點 分析： （ 1）連接 OC，根據切線的性質得出 OC⊥ AB，再由勾股定理求得 OA即可； （ 2） 根據菱形的性質，求得 OD=CD，則△ ODC為等邊三角形，可得出∠ A=30176。 ∴ OC=21 OA，∴ OAOD =21 ． 13. （ 2020湖北潛江， 20， 8 分）如圖， BD 是⊙ O的直徑， A、 C 是⊙ O上的兩點，且 AB＝AC， AD與 BC的延長線交于點 E． （ 1）求證：△ ABD∽△ AEB； （ 2）若 AD＝ 1， DE＝ 3，求 BD的長． 考 查知識 點 ：相似三角形的判定與性質；勾股定理 ；圓周角定理。． 在 Rt△ ABD中， BD2＝ AB2＋ AD2＝ 22＋ 12＝ 5， ∴ BD＝ 5 錯誤 !未找到引用源。 ∵ BC⊥ AB， ∴∠ CBA=∠ CBD=90176。 =錯誤 !未找到引用源。 =錯誤 !未找到引用源。 ） 2=22，（ 9分） 解得： x1=2， x2=﹣ 1（舍 去），（ 10分） ∴當 BE與小圓相切時， x=2．（ 11分） 16.（ 2020? 菏澤）如圖， BD為⊙ O的直徑， AB=AC， AD 交 BC于點 E， AE=2， ED=4， （ 1）求證：△ ABE∽△ ADB； （ 2）求 AB的長； （ 3）延長 DB到 F，使得 BF=BO，連接 FA，試判斷直線 FA與⊙ O的位置關系，并說明理由． 考 查知識 點 ：相似三角形的判定與性質；勾股定理；圓周角定理；切線的判定。 ， ∴ AB2=AD? AE=（ AE+ED） ? AE=（ 2+4） 2=12， ∴ AB=錯誤 !未找到引用源。 ， ∵ AB=錯誤 !未找到引用源。 的長． 考 查知識 點 ：切線的性質；圓周角定理；弧長的計算。 又∠ AOC是△ BOC的外角， ∴∠ AOC=∠ B+∠ OCB=60176。 =2π． 18. （ 2020山東濱州， 22， 8分）如圖，直線 PM切⊙ O于點 M,直線 PO交⊙ O于 A、 B兩點，弦 AC∥ PM, 連接 OM、 BC. 求證：（ 1）△ ABC∽△ POM。 ∵弦 AB是直徑， ∴∠ ACB=90176。． ∴∠ ABC=60176。 又在直角 △ BDC中， BC是圓的直徑， BC=2DC． ∴ BC+ 32BC=15 ∴ BC=6 ∴ 此圓的半徑為 3． （ 2）設 BC的中點為 O，由（ 1）可知 O即為圓心． 連接 OA， OD，過 O作 OE⊥ AD于 E． 在直角 △ AOE中， ∠ AOE=30176。即可． 解答： 解：（ 1）證明： ∵ AB=AC， ∴∠ ABC=∠ C， ∵∠ C=∠ D， ∴∠ ABC=∠ D， 又∵∠ BAE=∠ EAB， ∴△ ABE∽△ ADB， （ 2）∵△ ABE∽△ ADB， ∴ 錯誤 !未找到引用源。 ， BF=BO= 1 232 BD? 錯誤 !未找到引用