【正文】 的兩個直角三角形全等。 77 第一 章 三角形的證明 第 1 節(jié) 等腰三角形 一、 全等三角形的性質(zhì)與判定 全等三角形的性質(zhì) 定理 1 全等三角形的對應(yīng)邊相等 。 推論 2 全等三角形的周長相等。（ 三線合一 ） 推論 2 等腰三角形兩腰上的中線 、兩腰上的高、兩個底角的平分線都 相等，并且它們的交點 到 底邊兩端點距離相等?！?2∠ A＝ 180176。 定理 2 等邊 三角形的三個內(nèi)角都相等，并且每個角都等于 60176。 定理：三個角都相等的三角形是等邊三角形。 你認為這個結(jié)論成立嗎 ？ 如果成立，你能證明它嗎 ？ 八年級下冊 78 小明是這樣想的： 你能理解他的推理過程嗎？ 小明在證明時， 先假設(shè)命題的結(jié)論不成立，然后由此推導(dǎo)出了與定義、基本事實、已有定理或已知條件相矛盾的結(jié)果，從而證明命題的結(jié)論一定成立 。（勾股定理） （邊的特征） 直角三角形的 判定 定義：有一個角是直角的三角形叫做直角三角形。（ HL） 79 三 、 互逆命題與互逆定理 在兩個命題中，如果一個命題的條件和結(jié)論分別是另一個命題的結(jié)論和條件，那么這兩個命題稱為互逆命題，其中一個命題稱為另一個命題的逆命題。相對于逆定理來說，另一個命題就為原定理。 二、 已知底邊及底邊上的高作等腰三角 形 已知：如圖 1311（ 1） 所示，線段 a、 h 求作： △ ABC，使 AB＝ AC， BC＝ a，高 AD＝ h 作法： ① 作線段 BC＝ a； ② 作線段 BC 的垂直平分線 MN 交 BC 于 D 點； ③ 在 MN 上截取線段 DA，使 DA＝ h； ④ 連接 AB、 AC， 則 △ ABC 就是所求作的三角形（如圖 1311（ 2） 所示） 三、過一點作已知直線的垂線 過直線上一點作已知直線的垂線 已知 ： 直線 l 和 l 上一點 P， 求作：直線 l 的垂線，使它經(jīng)過點 P 作法 ： ① 以點 P 為圓心，以任意長為半徑作弧，交直 線 l 于點 A 和點 B； ② 作線段 AB 的垂直平分線 MN，則直線 MN 垂直于直線 l，且經(jīng)過點 P。 三角形三個內(nèi)角的平分線性質(zhì)定理 三角形的三條角平分線相交于一點，并且這一點到三條邊的距離相等。 二、 不等式的分類 絕對不等式：在任何條件下都成立的不等式。 條件不等式：在一定條件下才能成立的不等式。 不等式的基本性質(zhì) 3 不等式的兩邊都乘（或除以）同一個負數(shù)，不等號的方向改變。 c＜ b177。如， 6是不等式 x＞ 5的解， 7， 8， 9，10 也是不等式 x＞ 5 的解。例如，不等式 x＋ 1＞ 5的解集是 x＞ 4， 不等式 2x ＞ 0 的解集是 x≠ 0，不等式 2x ＜ 0 的解集 是空集。 ②在數(shù)軸上表示不等式的解集的方法 三、解不等式 定義：求不等式的解集的過程叫做解不等式。 （ 3）在數(shù)軸上表示不等式的解集時，要注意不等號以及端點的情況。 三、一元一次不等式的應(yīng)用 【例】我校打算在“五一”期間組織黨員和教研組長到南 戴河去 旅游，參加旅游的人數(shù)估計為 10～ 25 人，甲、乙兩家旅行社的服務(wù)質(zhì)量相同，且報價都是每人 200 元 。 第 6 節(jié) 一元一次不等式組 一、 一元一次不等式組 一般地，關(guān)于同一未知數(shù)的幾個一元一次不等式合在一起，組成一個 一元一次不等式組 。 二、 一元一次不等式 組 的解集 概念 一元一次不等式組中各個不等式的解集的公共部分，叫做這個 一元一次不等組的解集 。 所以，原不等式組的解集為 x＝ 3 四、一元一次不等式組的應(yīng)用 【例】某高一新生中有若干住宿生，分若干間宿舍。 85 第 三 章 圖形的平移與旋轉(zhuǎn) 第 1 節(jié) 圖形的平移 一、 平移的相關(guān)概念 平移的定義 在平面內(nèi)，將一個圖形沿某個方向移動一定的距離，這樣的圖形運動稱為平移。 （ 2）平移前后的兩個圖形對應(yīng)線段平行（或在同一條直線上）且相等。 ① 指出平移方向和平移的距離。 （ 2）已知原圖和一對對應(yīng)邊，作平移后的圖形。 【例 3】 如圖 1 所示，將 △ ABC 按箭頭所示方向平移 4cm，畫出平移后的圖形。 一個圖形依次沿 x 軸方向、 y 軸 方向平移 （ 1）圖形的平移引起坐標的變化 原圖形的坐標 平移方向與平移距離 對應(yīng)點的坐標 （ x， y） 向右平移 a 個單位長度，向上平移 b 個單位長度 （ x＋ a， y＋ b） 向右平移 a 個單位長度，向下平移 b 個單位長度 （ x＋ a， y－ b） 向左平移 a 個單位長度，向上平移 b 個單位長度 （ x－ a， y＋ b） 向左平移 a 個單位長度，向下平移 b 個單位長度 （ x－ a， y－ b） 【說明】一個圖形依次沿 x軸方向、 y軸方向平移后所得的圖形，可以看作是由原圖形經(jīng)過一次平移得到的。 ②橫坐標增加 a，縱坐標減少 b 時，圖形先向右平移 a 個單位，再向下平移 b個單位。 旋轉(zhuǎn)的三要素 （ 1）旋轉(zhuǎn)中心：旋轉(zhuǎn)時的定點稱為旋轉(zhuǎn)中心。 ③ 旋轉(zhuǎn)中心在旋轉(zhuǎn)過程中保持不動，旋轉(zhuǎn)中心 可以在圖形上，可以在圖形外，還可以在圖形內(nèi)。 旋轉(zhuǎn)的性質(zhì) 旋轉(zhuǎn)改變了圖形的位置，但不改變圖形的形狀和大小，這說明旋轉(zhuǎn)前后的兩個圖形是全等的，因此得到如下性質(zhì)： （ 1）對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等。 【例 1】如圖 1 所示， △ ABC 繞 O 點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)后，頂點 A 旋轉(zhuǎn)到了點 D，試確定旋轉(zhuǎn)后的三角形。后的三角形 △ A′B′C′ 89 旋轉(zhuǎn)作圖的條件 （ 1）原圖形的位置 （ 2）旋轉(zhuǎn)中心 （ 3）旋轉(zhuǎn)方向 （ 4）旋轉(zhuǎn)角度 三、鐘表的旋轉(zhuǎn) 秒針勻速旋轉(zhuǎn)一周需要 1 分鐘，恰好轉(zhuǎn)過 360176。； 時針勻速旋轉(zhuǎn)一大格需要 60 分鐘，恰好轉(zhuǎn)過 30176。這個點叫做它們 的對稱中心。 （ 3）成中心對稱的兩個圖形中，對應(yīng)角相等。 如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形。 （ 2）任何一條經(jīng)過對稱中心的直線都把一個中心對稱圖形分成全等的兩部分。旋轉(zhuǎn)的角度叫做旋轉(zhuǎn)角。 旋轉(zhuǎn)對稱圖形的性質(zhì) （ 1）旋轉(zhuǎn)對稱圖形上的每一對對應(yīng)點到對稱中 心的距離都相等。 【例 1】欣賞圖 1 中的圖案，并分析這個圖案形成的過程。 （ 2）具體作圖 根據(jù)草圖，運用尺規(guī)作圖的方法準確地作出圖案，有條件的可用幾何畫板或用專業(yè)的畫圖軟件在電腦上繪制出滿意的圖案。 解：如 下 圖 所示 ， ①②③ 既體現(xiàn) 平移關(guān)系，又能體現(xiàn)軸對稱關(guān)系； ④ 反映軸對稱關(guān)系； ⑤⑥體現(xiàn)的是旋轉(zhuǎn)關(guān)系 。 如 a2－ b2＋ 1＝ (a＋ b)(a－ b)＋ 1 是恒等變形，而不是因式分解。 （ 2）利用整式乘法可以檢驗因式分解的結(jié)果是否正確。 公因式的確定 （ 1）確定公因式的數(shù)字因數(shù)。 二、提公因式法 提公因式法的概念 如果一個多項式的各項含有公因式，那么就可以把這個公因式提出來，從而將 多項式化成兩個 因式乘積的形式，這種因式分解的方法叫做提公因式法。 【說明】 ① 多項式有幾項，提公因式后所剩的因式也有幾項。 2ab＋ b2＝ (a177。 B可以表示成 AB 的形式。 （ 2）對于任意一個分式，分母都不能為零。 二、分式有、無意義及分式的值為 0 的條件 分式有意義的條件： 分母不等于 0 分式無意義的條件：分母等于 0 分式的值為 0 的條件：分 子等于 0 且分母不等于 0 三、分式的基本性質(zhì) 內(nèi)容：分式的分子與分母都乘（或除以）同一個不等于零的整式，分式的值不變。 約分的要求 ： 使結(jié)果成為 最簡分式或整式。 字母表示 b d b c bca c a d ad? ? ? ? 四、分式的乘除法的混合運算 在一個算式 中含有分式的乘方、乘法、除法時，先算乘方，再算乘除，有多項式時應(yīng)先因式分解，再約分。 ③ 如果分式的分子 （ 或分母 ） 的符號是負號時，應(yīng)把負號提到分式的前面。 （ 2） 通分的方法（步驟） ①將所有分式的分母化成積的形式，當(dāng)分母為多項式時，應(yīng)因式分解。 【例 2】已知 20mn??，求代數(shù)式 (1 ) (1 )n m n mm m n m m n? ? ? ? ???的值。 ③ 檢驗：有兩個方法。若等于零，則是增根，若不等于零，則是原方程的根。 二、 分式方程的應(yīng)用 列分式方程解應(yīng)用題的一般步驟 （ 1） 審：審題。 （ 3） 找：找等量關(guān)系。 （ 5） 解：解方程。 （ 7） 答：檢驗所求的根是否符合題意，寫出答案（包括單位）。 解：設(shè)小剛在平地上的速度為 x km/h，根據(jù)題意，得 30 50 402 2( 1 )60xx? ? ? 解這個方程，得 30x? 經(jīng)檢驗， 30x? 是所列分式方程的根且符合題意。 對角線：平行四邊形不相鄰的兩個頂點連成的線段叫做它的對角線。 平行四邊形的對角相等，鄰角互補。 一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。 性質(zhì)：平行線之間的距離處處相等。 二、三角形的中位線定理 三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半。 第 4 節(jié) 多邊形的內(nèi)角和與外角和 一、認識多邊形 定義 在同一平面內(nèi)，由 n 條不在同一直線上的線段首尾順次相接組 成的 圖 形叫做 n 邊 形。 180176。 （ 3） 在平面內(nèi)，內(nèi)角都相等、邊也都相等的多邊形叫做正多邊形。 【說明】① 多邊形內(nèi)角的一邊與另一 邊的反向延長線所組成的角叫做這個多邊形的外角。所以正 n 邊形的每一個外角 都 等于 360n? 。 180176。所以 x＝ 130， n＝ 18 【例 2】已知一個多邊形的一個外角與和它不相鄰的各內(nèi)角的度數(shù)的和為 600176。－ x176。－ (180176。＜ x176。