高中數(shù)學(xué) 212 空間中直線與直線之間的位置關(guān)系教案 新人教a版必修2-預(yù)覽頁
【正文】 公理 4是：判斷空間兩條直線平行的依據(jù)，不必證明，可直接應(yīng)用 . ⑤ 等角定理：空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ) . ⑥ 怎么定義兩條異面直線所 成的角呢？能否轉(zhuǎn)化為用共面直線所成的角來表示呢？ 可以把異面直線所成角轉(zhuǎn)化為平面內(nèi)兩直線所成角來表示 .如圖 3，異面直線 a、 b，在空間中任取一點(diǎn) O，過點(diǎn) O分別引 a′∥a ， b′∥b ，則 a′ ， b′ 所成的銳角（或直角）叫做兩條異面直線所成的角 . 圖 3 針對這個(gè)定義，我們來思考兩個(gè)問題 . 問題 1：這樣定義兩條異面直線所成的角，是否合理？對空間中的任一 點(diǎn) O有無限制條件？ 答：在這個(gè)定義中，空間中的一點(diǎn)是任意取的 .若在空間中，再取一點(diǎn) O′ （圖 4），過點(diǎn) O′ 作 a″∥a ， b″∥b ，根據(jù)等角定 理， a″ 與 b″ 所成的銳角（或直角）和 a′ 與 b′ 所成的銳角（或直角）相等，即過空間任意一點(diǎn)引兩條直線分別平行于兩條異面直線，它們所成的銳角（或直角）都是相等的，值是唯一的、確定的，而與所取的點(diǎn)位置無關(guān)，這表明這樣定 義兩條異面直線所成角的合理性 .注意：有時(shí)，為了方便，可將點(diǎn) O取在 a或 b上（如圖 3） . 圖 4 問題 2：這個(gè)定義與平面內(nèi)兩相交直線所成角是否矛盾？ 答：沒有矛盾 .當(dāng) a、 b相交時(shí)，此定義仍適用，表明此定義與平面內(nèi)兩相交直線所成角的概念沒有矛盾，是相交直線所成角概念的推廣 . ⑦ 在定義中，兩條異面直線所成角的范圍是（ 0176。. （ 3）直線 AB、 BC、 CD、 DA、 A′B′ 、 B′C′ 、 C′D′ 、 D′A′ 分別與直線 AA′ 垂直 . 變式訓(xùn)練 如圖 8，已知正方體 ABCD— A′B ′C′D′. 圖 8 （ 1）求異面直線 BC′ 與 A′B′ 所成的角的度數(shù)； （ 2） 求異面直線 CD′ 和 BC′ 所成的角的度數(shù) . 解： （ 1）由 A′B′∥C′D′ 可知， ∠BC′D′ 是異面直線 BC′ 與 A′B′ 所成的角， ∵BC′⊥C′D′ ， ∴ 異面直線 BC′ 與 A′B′ 所成的角的度數(shù)為 90176。. 點(diǎn)評： 本題的平移點(diǎn)是 AC 中點(diǎn) G，按定義過 G 分別作出了兩條異面直線的平行線，然后在 △EFG 中求角 .通常在出現(xiàn)線段中點(diǎn)時(shí)，常取另一線段中點(diǎn)，以構(gòu)成中位線，既可 用平行關(guān)系，又可用線段的倍半關(guān)系 . 變式訓(xùn)練 設(shè)空間四邊形 ABCD， E、 F、 G、 H分別是 AC、 BC、 DB、 DA的中點(diǎn)，若 AB= 212 ， CD= 24 ，且 HGsin∠EHG= 612 sin∠EHG. ∴ 612 sin∠EHG= 312 . ∴sin∠EHG= 22 .故 ∠EHG=45
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