構(gòu)造法與放縮法在不等式證明中的運(yùn)用-預(yù)覽頁
【正文】 35。(x)0，f(x)在 (1,0)上單調(diào)遞增；由f39。).（2）由（1）得，當(dāng)x=0時(shí)，f(x)163。)上單調(diào)遞減，x由0mn有g(shù)(m)g(n)，所以ln(1+n)ln(1+m)，所以 nmmnmnmln(1+n)nln(1+m)，所以ln(1+n)ln(1+m)，所以(1+n)(1+m).（3）從已知的條件中會(huì)讓我們聯(lián)想到柯西不等式179。即(++L+)n179。1246。247。231。232。230。x故231。1+x1+x1+x1+x2013232。2n1n12012xnx12x21++L+179。(x)，其中f39。(0,+165。(x)=(1xxlnx)，x206。(1,+165。(0,1)時(shí)，f39。(x)0，因此f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1)，單調(diào)遞減區(qū)間為(1,+165。(0,+165。230。=2lnx=lne2lnx=lnxlne2，x206。()當(dāng)0xe時(shí)，h39。222222所以當(dāng)x=e時(shí)，h(x)的最大值為he=1eelne=1+e()因此h(x)163。(0,+165。)時(shí)，j(x)=e(x+1)0，即ex+1亦即x+1xx所以1xxlnx163。一、不等式的初等證明方法：由因?qū)Ч?。：正難則反。有些不等式通過變量替換可以改變問題的結(jié)構(gòu)，便于進(jìn)行比較、分析，從而起到化難為易、化繁為簡、化隱蔽為外顯的積極效果。放縮方法靈活多樣，要能想到一個(gè)恰到好處進(jìn)行放縮的不等式，需要積累一定的不等式知識(shí)，同時(shí)要求我們具有相當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)思維能力和一定的解題智慧。關(guān)鍵是你有沒有培養(yǎng)起良好的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣，有沒有掌握正確的數(shù)學(xué)解題方法。沒有自信就會(huì)畏難，就會(huì)放棄。【重點(diǎn)、難點(diǎn)】重點(diǎn)：放縮法證明不等式。如t2+2t2,t22t2等?！竞献魈骄俊孔C明下列不等式(1)(2)，已知a0，用放縮法證明不等式:loga(a1)1111++...+2(n206。現(xiàn)例析如下，供大家討論。由例例2也可知運(yùn)用放縮法前先要觀察目標(biāo)式子的符號(hào)?！?+a+b=xyz+x3+y3∴x3+y3(x2y+xy2)=x2(xy)+y2(yx)=(xy)2(x+y)≥0 ∴x3+y3≥x2y+xy2∴1+a+b=xyz+x3+y3≥xyz+xy(x+y)=xy(x+y+z)∴1z1=≤xy(x+y+z)x+y+z1+a+byx11≤，≤ ∴+y+zx+y+z1+b+c1+c+a同理：由對(duì)稱性可得[評(píng)析]：本題運(yùn)用了排序不等式進(jìn)行放縮，后用對(duì)稱性。2223833∴左邊=(a+b+c)22(ab+bc+ca)+abc23434 =92a(b+c)+bc(a)≥92a(3a)+(3a)2(a)2383341633=9+(3a)[(3a)(a)a]=9(3a)[a2=a+4]=9(a3+2a2a+12)83388=99393+a(a22a+1)=+a(a1)2≥2282893 ∴a2+b2+c2+abc≥22[評(píng)析]：本題運(yùn)用對(duì)稱性確定符號(hào)，在使用基本不等式可以避開討論。所謂的“放”即把A放大到C，再把C放大到B，反之，所謂的“縮”即由B縮到C，再把C縮到A。本文以通過對(duì)幾道實(shí)例的分析，就證明不等式的過程中如何進(jìn)行“放”或“縮”作些淺談。例2：對(duì)于一切大于1的自然數(shù)n，證明(1+)(1+)L(1+13151)2n12n+12解說：本題的常見證明方法是數(shù)學(xué)歸納法。L=312(n1)12n132本題是95年上海的一道高考題，本題通過對(duì)待證式子的變形，然后在假分?jǐn)?shù)的分子、分母上加上同一個(gè)常數(shù)，分?jǐn)?shù)的值縮小，以達(dá)到能夠約分的目的，進(jìn)而得到所證的結(jié)果。N)。N)是否合理。經(jīng)嘗試可得： 4111111==()，于是(2k+1)24k2+4k+14k(k+1)4kk+1左邊41212***)]=(1)。R，a+b=1，求證：(a+12125)+(b+)2179。失敗的根源在于②、③中的21等號(hào)無法取得。121111)+(b+)2179。2(a+)(b+)=2(ab+abababbaab證法1：(a+119491159=2[(ab+)+(+4)]179。
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