【正文】 ,可測(cè)集的范圍大于閉集 .第二 ,從分割方法來(lái)看 , Riemann 積分將定義域分割為自變量很接 6 近的若干個(gè)小區(qū)間 ,而 Lebesgue 積分 將定義域分割為函數(shù)值很接近的若干個(gè)小集合 .第三 ,從測(cè)度的選取來(lái)看 , Riemann 積分采取的是約當(dāng)測(cè)度 ,而 Lebesgue 積分采取的是 Lebesgue 測(cè)度 .第四 ,從被積函數(shù)來(lái)看 ,在 Riemann 積分理論中被積函數(shù)是有界的 ,而在 Lebesgue 積分理論中被積函數(shù)是可測(cè)的 .第五 ,Lebesgue 積分中 , )(xf 有界 , ??mE 這一條件可以忽略 ,而在Riemann 積分則不可以 . (二） Riemann 積分 與 Lebesgue 微積分在積分基本定理中的比較 1. Riemann 積分中微積分基本定理 Riemann 積分要求 )(xf 在閉區(qū)間 ],[ ba 上是可微的 ,并且 )(39。T 與 T ,使得 ? ??39。 TTT ?? ,它是對(duì) ],[ ba 的一個(gè)分割 ,且有 ?? ? ????? 39。 T iiT T iiii xxx ??? . 7 由此證得 , )(xf 在 ],[ ba 上可積 . [必要性 ] 已知 )(xf 在 ],[ ba 上可積 ,故任給 0?? ,存在對(duì) ],[ ba 的某分割 T ,使得? ??T ii x ?? ,在 T 上在增加一個(gè)分點(diǎn) c ,得到一個(gè)新的分割 *T ,則 ? ? ????* .**T T iiii xx ??? 分割 *T 在 ],[ ca 與 ],[ bc 上的部分 ,分別對(duì) ],[ ca 與 ],[ bc 的分割 ,記為 39。 T T iiiiT T iiii xxxx ?????? . 所以 )(xf 在 ],[ ca 與 ],[ bc 上都可積 . 以上述證明為基礎(chǔ) ,下面我們開(kāi)始證明 dxxfxfdxxf bcba ca ?? ? ?? )()()(.為此對(duì) ],[ ba做分割 T ,恒使點(diǎn) c 為此區(qū)間上的一個(gè)分點(diǎn) ,則 T 在 ],[ ca 與 ],[ bc 上的部分各自構(gòu)成相應(yīng)的分割 39。 ? ?? ????? T T iiiiT ii xfxfxf ???所以當(dāng) 0?T 時(shí) ,對(duì)上式取極限 ,就能得到 dxxfxfdxxf bcba ca ?? ? ?? )()()(. 性質(zhì) 3 單調(diào)性：若 )(xf 與 )(xg 為 ],[ ba 上的兩個(gè)可積函數(shù) ,且 ],[),()( baxxgxf ??則有 ?? ? baba dxxgdxxf )()(. 證 令 ],[,0)()()( baxxfxgxF ???? ,根據(jù)積分的可加性知 , )(xF 在 ],[ ba 也是可積的 ,則有 ?? ? ??? baba ba dxxfdxxgdxxF )()()(0.所以 ?? ? baba dxxgdxxf )()(. 性質(zhì) 4 絕對(duì)值不等式：若 )(xf 為 ],[ ba 上的可積函數(shù) ,則 )(xf 在 ],[ ba 也可積 ,并且dxxfdxxf baba ?? ? )()( . 證 )(xf 為 ],[ ba 上的可積函數(shù) ,故任給 0?? ,存在某分割 T ,使得 ?? ???T ifi x ,根據(jù)絕對(duì)值不等式 ,)()39。,0)(上為線性的及在閉區(qū)間的中點(diǎn)在區(qū)間上在，）（，nnnnnnnnExf???????? 此函數(shù) Riemann 可積還是 Lebesgue 可積？求在 ]1,0[ 上 )(xf 的 Lebesgue 積分值 . 下面先介紹一下 Levi 定理：設(shè) )1(, ?nff n 均為可測(cè)集 nRE? 上的非負(fù)可測(cè)函數(shù) ,并且在 E 上有 ,2,1),()( 1 ??? ? nxfxf nn 對(duì)所有的 ,Ex? ? ?)(xfn 收斂于 ),(xf 則 .)()(lim ?? ??? EE nn dxxfdxxf 解 因?yàn)?)(xf 在一正測(cè)度上間斷 ,所以它不是 Riemann可積 ,但是它是 Lebesgue可積的 .且有 .)()()()()()(110 ????????nn dxxfLdxxfLdxxfL nE?? 又 ? ???E EmxfL .0)(0)()( 在 ),( nn ?? 上 )(xf Riemann 可積 ,故 ,12)()()()( ?? ???? nnnnnndxxfRdxxfL ???? ?? .2)()( 110 ?? ?? ?? n nndxxfL ?? 由題設(shè)知 ??? ?1 )(n nn ??是鄰接區(qū)間長(zhǎng)度 ,等于 CE 的測(cè)度 21 ,所以 ? ?? 10 .41)()( xfL 例 6 計(jì)算定義在 )1,0( 上的 Riemann 函數(shù) ????? ??為無(wú)理數(shù)時(shí)當(dāng)時(shí)為互質(zhì)的整數(shù)當(dāng)，xqpqpxqxR0),(,1)( 的積分值 . 14 解 令 ? ?，中有理數(shù)為 )1,0(: xxA ? ? ?中無(wú)理數(shù)為 )1,0(: xxB ? ,則有 .0)(10)(1)()()()()( )1,0(10 ?????? ???? AmqdxLdxqLdxxRLdxxfR BA 例 7 證明： ],[ ba 上廣義 Riemann 可 積函數(shù) )(xf Lebesgue 可積的充要條件 )(xf 廣義Riemann 可積 .且此時(shí)兩個(gè)積分的值相等 .[10] 證 設(shè) )(xf 在 ],[ ba 上廣義 Riemann 可積 ,且在點(diǎn) b 無(wú)界 . [必要性 ] 設(shè) )(xf Lebesgue 可積 ,則當(dāng) ba ??? 時(shí) , )(xf 在 ],[ ?a 上有界 Riemann 可積 , )(xf 也 在 ],[ ?a 上有界 Riemann 可積 ,從而 )(xf 在 ],[ ?a 上 Lebesgue 可積 ,有 .)()()()()()( ???? ?? ? b dxxfLdxxfLdxxfR ??? ?? 由 ? 的任意性可知 , )(xf 在 ],[ ba 上廣義 Riemann 可積 . [充分性 ] 設(shè) )(xf 也是廣義 Riemann 可積 ,則因?yàn)?)(xf 廣義 Riemann 可積 ,且由所設(shè)有 ? ??? ? ?? ab dxxfRA .)()(lim 選點(diǎn)列 ??,n? 使 ba ??? ,且 .21 bnn ?? ????? ????? ? 作函數(shù) ??? ?? ??? .,0 ,),()( bx xxfxfnnn ? ?? 因?yàn)?)(xfn 顯然在 ],( bn? 上 Lebesgue 可積 ,且 ? ?b nn dxxf? .0)( 由積分的區(qū)間可加性質(zhì) , )(xfn 在 ],[ ba 上 Lebesgue 可積 ,從而 )(xfn 在 ],[ ba 上 Lebesgue 可積 ,且有 .)()()( ?? ?? naba AdxxfRdxxfL ? 因?yàn)?)(xfn 是 ],[ ba 上的單調(diào)增加函數(shù)列 ,故由 Levi 定理 , )(lim)( xfxfnn ???在 ],[ ba 上Lebesgue 可積 .由于對(duì)任何 ,n ,)()( xfxfn ? 故取 )(xfn 的控制函數(shù) ,則依據(jù)控制收斂定理 ,有 ???? ??? ???? baanbanba dxxfRdxxfRdxxfLdxxfL n .)()()()(l i m)()(l i m)()( ? 15 類(lèi)似可證有無(wú)窮極限的廣義 Riemann 可 積函數(shù)情形 .只需將所取的 ??n? ,使 ??n? 即可 . 五、總結(jié) 通過(guò)對(duì) Riemann 積分和 Lebesgue 積分的關(guān)聯(lián)性的研究 ,我們知道 Riemann 積分在應(yīng)用領(lǐng)域取得了巨大的成功 ,但是 Riemann 積分的應(yīng)用范圍因?yàn)槠涠x的局限而受到限制 .由于Riemann 可積函數(shù)主要是連續(xù)函數(shù)或不連續(xù)點(diǎn)不太多的函數(shù) ,使得 Riemann 積分在許多問(wèn)題的應(yīng)用中遇到了瓶頸 .而 Lebesgue 積分是對(duì) Riemann 積分的拓展與提升 ,在數(shù)學(xué)分析中有舉足輕重的地位 .Lebesgue 積分可積函數(shù)類(lèi)廣泛 ,并且還具備良好的性質(zhì) ,理論也相當(dāng)完備 . 第一，擴(kuò)大了微積分基本定理的使用范圍 ,Lebesgue 提出當(dāng) ??fx? 有界時(shí) ,證明微積分定理相對(duì)容易 .但是在 ??fx? 有限值且無(wú)界時(shí) ,只要 ??fx? 是可積的 ,微積分基本定理依然成立．在 Lebesgue 積分的意義下 ,任何絕對(duì) 連續(xù)函數(shù)都可積的．所以在微積分基本定理中只需滿(mǎn)足 ??fx是 ? ?,ab 上的絕對(duì)連續(xù)函數(shù) ,則 ( ) ( ) ( )???? xaf x f a f t dt. 第二， Lebesgue 積分將積分的幾何意義進(jìn)一步推廣 ,將 Riemann 積分中曲邊梯形面積推廣至 )(xf 在 E 上的下方圖 形集的測(cè)度問(wèn)題上 . 第三，遇到有關(guān)重積分的計(jì)算時(shí) ,重積分化為累次積分的條件發(fā)生減弱 .在 Lebesgue 積分理論下 ,只需可測(cè)且有一個(gè)累次積分存在 ,就可以將重積分化為累次積分 .然而在 Riemann 積分理中 ,重積分與兩個(gè)累次積分都存在時(shí)才相等 . 第四，在二重積分與累次積分的關(guān)系問(wèn)題上 ,把積分推廣于無(wú)界函數(shù)的情形時(shí) ,用Riemann 積分理論無(wú)法應(yīng)對(duì) .而 Lebesgue 重積分理論 ,擴(kuò)大了用累次積分計(jì)算二重積分函數(shù)范圍 . 第五， Lebesgue 積分理論在數(shù)學(xué)分析中十分有用 ,特別是是在三角級(jí)數(shù)問(wèn)題中 ,得到了廣泛的應(yīng)用 . 16 參考文獻(xiàn) [1] 華東師大數(shù)學(xué)系 .數(shù)學(xué)分析 [M].北京 :高等教育出版社 ,20xx. 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