【正文】 始時間。需要指出的是，嵌入維 12 ?? md 只是相空間重構的充分條件，而非必要條件，確定嵌入維有很多種方法，比較常用的是 GrassbergerProcaccia相關積分法 [13]。 QR 分解 在實際應用中，由于（ 210）式 定義的矩陣存在著指數(shù)和分數(shù)冪，此矩陣往往是病態(tài)的，難以直接精確計算它的全部本征值。而系統(tǒng)雅科比矩陣具有（ 26）式所示形式，所以問題 的關鍵在于確定每個雅科比矩陣的最后一行矩陣元。小波神經(jīng)網(wǎng)絡的輸入層節(jié)點數(shù)和輸出層節(jié)點數(shù)由具體問題決定，隱含層數(shù)及每層節(jié)點數(shù)的選取目前還沒有確切的理論方法，通常是憑對學習樣本和測試樣本的誤差交叉評價的試錯法選取。 式（ 34）的連續(xù)形式可寫為： ??? ?? ?? kTk kk xwxf ),()( 1 (218) 上式表明框架 ? 在 )(2 RL 中是稠密的。在小波分解中，如果基函數(shù)固定，則只有系數(shù) kw 是可調(diào)參數(shù)，而在小波網(wǎng)絡中， kw ， ka 和 kb 均為可調(diào)參數(shù)，這使得網(wǎng)絡學習非線性函數(shù)較為靈活，可以滿足較高的逼近精度要求，這也恰恰體現(xiàn)了小波逼近的精髓。 ixux lni kil ??? (229) 令 kkln a bxt ?? 39。39。 1) xp() i n() xp() os (knnknnnk attattta ?????? ? (231) knnknnnk attatttb 1) xp () i n () xp () os ( 239。39。239。 （５） 計算誤差和： 2))(( ?? ???l lll l yxfEE (238) （６） 返回第（ 2）步，向網(wǎng)絡加下一個模式對，直到 N 個模式對均循環(huán)一遍，再進行第（ 7）步； 若 maxEE? （預先設定的某值）或達到最大訓練步數(shù)，則停止訓練；否則，令 0?E ，返回第（ 2）步。 若小波網(wǎng)絡已經(jīng)訓練完成，就可以計算輸出函數(shù)對自變量的一階偏導數(shù)： （ 240） ???????????? ??????? kdikijkiTkkdjjj abxuwxxxy 1,1,2,1, ),( ?? ??)()([ 2,1, ikjikjTk kij ttwx y ????? ??kikikjikjikj auttt ,2, )]()( ?? 11 其中 (241) 這樣，通過（ 240）式可計算雅科比矩陣（ 246）式中最后一行矩陣元的數(shù)值。 for t=1:Taomax I(t)=((X(1+t:L)mean(X))39。 for i=1:Taomax if I(i)1/ It=i。 for m=1:M Y=[]。J=1。 end end end if norm(Y(i,m)Y(J,m),inf)~=0 E(m)=E(m)+norm(Y(i,m+1)Y(J,m+1),inf) rm(Y(i,m)Y(J,m),inf)。*39。)。 R = []。 gam = 10000。 for i = 1:N for j = 1:N Q(i,j) = exp(norm(X(i,:)X(j,:))^2/(2*delta^2))。*P*e)。 for i = 1:d1 J(i,i+1) = 1。 end for j = 1:d J(d,j) = L0*(X(i,j)*ones(N,1)X(:,j))/delta^2。 Logistic映射的表達式為： ))(1)(()1( kxkxkx ??? ? (242) 取 4?? ，此時為標準混沌， Lyapunov指數(shù)為 。分別進行如下三種情況下實驗。結果如表 2－ 3所示。當在樣本數(shù) 100和訓練次數(shù)不變（ 500次）情況下分別加入 ),0(N 和),0(N 計算的結果與真實值相差 %和 5%。 實驗二 以 Henon映射為例，按上述方法計算它的 Lyapunov指數(shù)譜。在計算中均取 ?? 。結果如表 2－ 5 所示。 （２） 由表 2－ 5可見，在序列中加入一定的白噪聲，計算 Lyapunov指數(shù)的值與真實值有一定的差異，加入噪聲方差越大 則計算值偏離真實值越大。 （４） 比較文獻 [14]中用 BP網(wǎng)絡計算的結果來看，達到同樣的計算精度，所需的樣本數(shù)大約減少一半，且計算時間大大小于用 BP網(wǎng)絡逼近的時間。滿足了實際應用中樣本數(shù)少的限制，以及對混沌現(xiàn)象的快速判定的要求。 19 總 結 通過跟蹤鄰近點的演化軌跡實現(xiàn)當前點的狀態(tài)預測，短期預測可以達到提高預測精度。 本文的基于 Lyapunov指數(shù)的時間序列預測也是很有社會經(jīng)濟效益的。而且混沌時間序列預測與分析在混沌研究（包括混沌控制和混沌應用）中起到了非常重要的作用，混沌時間序列預測的目標也是為了準確預測混沌系統(tǒng)的近期演變。 20 參考文獻 參考文獻： [1] 劉秉正 ,彭建華 .非線性動力學 [M].高等教育出版社 .20xx:403413 [2] 羅利軍 ,李銀山 ,李彤 ,董青田 .李雅普諾夫指數(shù)譜的研究與仿真 [J].計算機仿真 .20xx,22(12):285288 [3] Hubertus F. von Bremen, Firdaus E. Udwadia, Wlodek Proskurowski. An efficient QR based method for the putation of Lyapunov exponents[J]. Physica D. 1997, 101:116 [4] Firdaus E. Udwadia, Huertus Bremen. Computation of Lyapunov characteristic exponents for continuous dynamical systems[J]. Z. angew. Math. Phys. 20xx, 53:123146 [5] Alan Wolf, Jack B Swift, Harry L. Swinney, John A. Vastano. Determining Lyapunov exponents from a time series[J]. Physica D. 1985, 16:285317 [6] 田寶國，姜璐，谷可 .基于神經(jīng)網(wǎng)絡的 Lyapunov指數(shù)譜的計算 [J]．系統(tǒng)工程理論與實踐． ， 913． [7] 李冬梅，王正歐．基于 RBF網(wǎng)絡的動力系統(tǒng) Lyapunov指數(shù)的計算方法 [J]．信息與控制． 20xx， 5， 523526． [8] 賀國光，萬興義．基于最大 Lyapunov指數(shù)的交通流仿真數(shù)據(jù)混沌狀態(tài)識別[J]．自動化技術與應用 .20xx， 22（ 4）， 810． [9] Greene J M， Kim J S． The calculation of Lyapunov spectra [J] Physical D． 1987，24： 213225． [10] 趙學智，鄒春華，陳統(tǒng)堅，葉邦彥，彭永紅．小波神經(jīng)網(wǎng)絡的參數(shù)初始化研究 [J]．華南理工大學學報． 20xx， 2， 31（ 2）： 7779． [11] Brown R , Bryant P , Abarbanel . Computing the Lyapunov exponents of a dynamical system from observed time series[J ] . Phys ReA ,1991 ,34(4) :2787 2806. [12] Takens F． Detecting strange attractors in turbulence： Dynamical systems and turbulence [M] 作 者 簽 名： 日 期： 指導教師簽名： 日 期： 使用授權說明 本人完全了解 大學關于收集、保存、使用畢業(yè)設計（論文）的規(guī)定，即：按照學校要求提交畢業(yè)設計（論文）的印刷本和電子版本；學校有權保存畢業(yè)設計（論文）的印刷本和電子版，并提供目錄檢索與閱覽服務；學?？梢圆捎糜坝　⒖s印、數(shù)字化或其它復制手段保存論文；在不以贏利為目的前提下，學?？梢怨颊撐牡牟糠只蛉績?nèi)容。本人完全意識到本聲明的法律后果由本人承擔。 作者簽名： 日期： 年 月 日 導師簽名： 日期： 年 月 日 24 注 意 事 項 （論文）的內(nèi)容包括： 1）封面（按教務處制定的標準封面格式制作） 2）原創(chuàng)性聲明 3）中文摘要（ 300 字左右）、關鍵詞 4）外文摘要、關鍵詞 5）目次頁（附件不統(tǒng)一編入） 6）論文主體部分：引言（或緒論）、正文、結論 7）參考文獻 8）致謝 9）附錄（對論文支持必要時） ：理工類設計（論文）正文字數(shù)不少于 1 萬字（不包括圖紙、程序清單等），文科類論文正文字數(shù)不少于