【正文】 （ b ） 0 . 6 0 . 4 0 . 20 . 00 . 20 . 40 . 62 4 6 8 10 12 14 16 18R A N D O M 1 0 .8 0 .40 .00 .40 .81 .22 4 6 8 10 12 14 16 18R A N D O M 1 A C ? 由于該序列由一隨機(jī)過(guò)程生成，可以認(rèn)為不存在序列相關(guān)性，因此 該序列為一白噪聲。 ? 序列 Random2是由一隨機(jī)游走過(guò)程 Xt=Xt1+?t 生成的一隨機(jī)游走時(shí)間序列樣本。 該隨機(jī)游走序列是非平穩(wěn)的。 ? 從滯后 18期的 QLB統(tǒng)計(jì)量看 ： QLB(18)==? 拒絕 ：該時(shí)間序列的自相關(guān)系數(shù)在滯后 1期之后的值全部為 0的假設(shè)。 圖 9 . 1 . 6 1 9 8 1 ~ 1 9 9 6 中國(guó)居民人均消費(fèi)與人均 G D P 時(shí)間序列及其樣本自相關(guān)圖 01 0 0 02 0 0 03 0 0 04 0 0 05 0 0 06 0 0 082 84 86 88 90 92 94 96GD PP C C PC 0 .4 0 .20 .00 .20 .40 .60 .81 .01 .21 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15G D P P C C P C 原圖 樣本自相關(guān)圖 ? 從圖形上看： 人均居民消費(fèi)（ CPC）與人均國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值（ GDPPC） 是非平穩(wěn)的 。 ? 不過(guò)， 167。 （ *）式可變形式成差分形式： ?Xt=(1?)Xt1+ ?t =?Xt1+ ? t (**) 檢驗(yàn)（ *）式是否存在單位根 ?=1，也可通過(guò)（ **）式判斷是否有 ? =0。 在第二節(jié)中將證明，（ *）式中的參數(shù) ?1或?=1時(shí)，時(shí)間序列是非平穩(wěn)的 。 ? 然而，在零假設(shè)（序列非平穩(wěn)）下，即使在大樣本下 t統(tǒng)計(jì)量也是有偏誤的（向下偏倚），通常的 t 檢驗(yàn)無(wú)法使用。 ?注意：在不同的教科書上有不同的描述，但是結(jié)果是相同的。 ADF檢驗(yàn) 另外 ， 如果時(shí)間序列包含有明顯的隨時(shí)間變化的某種趨勢(shì) （ 如上升或下降 ） ， 則也容易導(dǎo)致上述檢驗(yàn)中的 自相關(guān)隨機(jī)誤差項(xiàng)問(wèn)題 。 ? 檢驗(yàn)的假設(shè)都是：針對(duì) H1: ?0,檢驗(yàn) H0： ?=0，即存在一單位根 。 檢驗(yàn)原理 與 DF檢驗(yàn)相同，只是對(duì)模型 3進(jìn)行檢驗(yàn)時(shí)，有各自相應(yīng)的臨界值。 這里所謂 模型適當(dāng)?shù)男问?就是在每個(gè)模型中選取適當(dāng)?shù)臏蟛罘猪?xiàng) ， 以使模型的殘差項(xiàng)是一個(gè)白噪聲 （ 主要保證不存在自相關(guān) ） 。 ? 時(shí)間 T的 t統(tǒng)計(jì)量小于 ADF分布表中的臨界值，因此 不能拒絕不存在趨勢(shì)項(xiàng)的零假設(shè) 。 ? 常數(shù)項(xiàng)的 t統(tǒng)計(jì)量小于 AFD分布表中的臨界值 ，不能拒絕不存常數(shù)項(xiàng)的零假設(shè)。 ? 可斷定中國(guó)支出法 GDP時(shí)間序列是非平穩(wěn)的。 ? 結(jié)論： 人均國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值 （ GDPPC） 是非平穩(wěn)的 。 ⒈單整 ? 一般地，如果一個(gè)時(shí)間序列經(jīng)過(guò) d次差分后變成平穩(wěn)序列，則稱原序列是 d 階單整（ integrated of d） 序列 ，記為 I(d)。 ? 大多數(shù)非平穩(wěn)的時(shí)間序列一般可通過(guò)一次或多次差分的形式變?yōu)槠椒€(wěn)的 。 經(jīng)過(guò)試算 ， 發(fā)現(xiàn) 中國(guó)支出法 GDP是 1階單整的 ，適當(dāng)?shù)臋z驗(yàn)?zāi)Ｐ蜑椋? 1212 1 7 4 ?? ??????? ttt G D PG D PtG D P ( 1 . 9 9 ) ( 4 . 2 3 ) （ 5 . 1 8 ） ( 6 . 4 2 ) 2R = 0 . 7 5 0 1 L M ( 1 ) = 0 . 4 0 L M ( 2 ) = 1 . 2 9 例 中國(guó)人均居民消費(fèi)與人均國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值的單整性 。 為了避免這種虛假回歸的產(chǎn)生 ， 通常的做法是引入作為趨勢(shì)變量的時(shí)間 ， 這樣包含有時(shí)間趨勢(shì)變量的回歸 ， 可以消除這種趨勢(shì)性的影響 。 這種趨勢(shì)稱為 隨機(jī)性趨勢(shì) （ stochastic trend） 。 3) 如果 ?=1， ??0，則 Xt包含有 確定性與隨機(jī)性兩種趨勢(shì)。 (2)如果沒(méi)有單位根，且時(shí)間變量前的參數(shù)顯著地異于零，則該序列顯示出確定性趨勢(shì)。 隨機(jī)時(shí)間序列分析模型 一、 時(shí)間序列模型的基本概念及其適用性 二、 隨機(jī)時(shí)間序列模型的平穩(wěn)性條件 三、 隨機(jī)時(shí)間序列模型的識(shí)別 四、 隨機(jī)時(shí)間序列模型的估計(jì) 五、 隨機(jī)時(shí)間序列模型的檢驗(yàn) 說(shuō)明 ? 經(jīng)典計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型與時(shí)間序列模型 ? 確定性時(shí)間序列模型與隨機(jī)性時(shí)間序列模型 一、時(shí)間序列模型的基本概念及其適用性 時(shí)間序列模型的基本概念 ? 隨機(jī)時(shí)間序列模型 （ time series modeling）是指僅用它的過(guò)去值及隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)所建立起來(lái)的模型 ， 其一般形式為 : Xt=F(Xt1, Xt2, … , ?t) ? 建立具體的時(shí)間序列模型 ， 需解決如下三個(gè)問(wèn)題： (1)模型的具體形式 (2)時(shí)序變量的滯后期 (3)隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)的結(jié)構(gòu) 例如 ， 取線性方程 、 一期滯后以及白噪聲隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng) （ ?t =?t） ， 模型將是一個(gè) 1階自回歸過(guò)程 AR(1)： Xt=?Xt1+ ?t， 這里 ， ?t特指 一白噪聲 。 這也正是隨機(jī)時(shí)間序列分析模型的優(yōu)勢(shì)所在。 例如 ， 時(shí)間序列過(guò)去是否有明顯的增長(zhǎng)趨勢(shì) ，如果增長(zhǎng)趨勢(shì)在過(guò)去的行為中占主導(dǎo)地位 ， 能否認(rèn)為它也會(huì)在未來(lái)的行為里占主導(dǎo)地位呢 ？ 或者時(shí)間序列顯示出循環(huán)周期性行為 ， 我們能否利用過(guò)去的這種行為來(lái)外推它的未來(lái)走向 ？ ? 另一條預(yù)測(cè)途徑 ： 通過(guò)時(shí)間序列的歷史數(shù)據(jù)，得出關(guān)于其過(guò)去行為的有關(guān)結(jié)論，進(jìn)而對(duì)時(shí)間序列未來(lái)行為進(jìn)行推斷 。 Ct與 Yt作為內(nèi)生變量 ， 它們的運(yùn)動(dòng)是由作為外生變量的投資 It的運(yùn)動(dòng)及隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng) ?t的變化決定的 。 關(guān)于這幾類模型的研究 ， 是 時(shí)間序列分析的重點(diǎn)內(nèi)容 ： 主要包括 模型的平穩(wěn)性分析 、 模型的識(shí)別 和 模型的估計(jì) 。 ? 考慮 p階自回歸模型 AR(p) Xt=?1Xt1+ ?2Xt2 + … + ?pXtp +?t (*) 引入 滯后算子（ lag operator ） L： LXt=Xt1, L2Xt=Xt2, …, L pXt=Xtp (*)式變換為 ： (1?1L ?2L2? ?pLp)Xt=?t 記 ?(L)= (1?1L ?2L2… ?pLp),則稱多項(xiàng)式方程： ?(z)= (1?1z ?2z2… ?pzp)=0 為 AR(p)的 特征方程 (characteristic equation)。 如果該模型穩(wěn)定 ， 則有 E(Xt2)=E(Xt12)， 從而上式可變換為： 2220 1 ???? ???? X在穩(wěn)定條件下，該方差是一非負(fù)的常數(shù)，從而有 |?|1。它是一頂點(diǎn)分別為（ 2,1），（ 2,1），（ 0,1）的三角形 。 因此 :有限階移動(dòng)平均模型總是平穩(wěn)的 。 因此， 如果我們將一個(gè)非平穩(wěn)時(shí)間序列通過(guò) d次差分，將它變?yōu)槠椒€(wěn)的，然后用一個(gè)平穩(wěn)的 ARMA(p,q)模型作為它的生成模型，則我們就說(shuō)該原始時(shí)間序列是一個(gè) 自回歸單整移動(dòng)平均（ autoregressive integrated moving average）時(shí)間序列，記為 ARIMA(p,d,q)。 所使用的工具 主要是 時(shí)間序列的 自相關(guān)函數(shù) （ autocorrelation function， ACF） 及 偏自相關(guān)函數(shù) （ partial autocorrelation function， PACF ） 。 Xt=?1Xt1+ ?2Xt2 + ?t 該模型的方差 ?0以及滯后 1期與 2期的自協(xié)方差 ?1, ?2分別為： ? ２階自回歸模型 AR(2) 22210 ???????0211212023??????????????類似地 ,可寫出一般的 k期滯后自協(xié)方差 ： 22112211 ))(( ????? ????? kktttktk rXXXE ??????? (K=2,3,…) 于是 ,AR(2)的 k 階自相關(guān)函數(shù) 為 ： 2211 ?? ?? kkk ????? (K=2,3,…) 其中 :?1=?1/(1?2), ?0=1 如果 AR(2)穩(wěn)定，則由 ?1+?21知 |?k|衰減趨于零，呈拖尾狀。 事實(shí)上，自相關(guān)函數(shù) ： pkpkkk ??? ???? ?????? ?2211是一 p階差分方程，其通解為： ???pikiik zC1? 其中： 1/zi是 AR(p)特征方程 ?(z)=0的特征根 ， 由 AR(p)平穩(wěn)的條件知 ， |zi|1。 與之相反 ， Xt與 Xtk間的 偏自相關(guān)函數(shù)(partial autocorrelation，簡(jiǎn)記為 PACF)則是消除了中間變量 Xt1， ? ， Xtk+1 帶來(lái)的間接相關(guān)后的直接相關(guān)性，它是在已知序列值 Xt1， ? ，Xtk+1的條件下， Xt與 Xtk間關(guān)系的度量。 在實(shí)際識(shí)別時(shí)，由于樣本偏自相關(guān)函數(shù)rk*是總體偏自相關(guān)函數(shù) ?k*的一個(gè)估計(jì)，由于樣本的隨機(jī)性，當(dāng) kp時(shí)， rk*不會(huì)全為 0，而是在 0的上下波動(dòng)。 MA(1)過(guò)程可以等價(jià)地寫成 ?t關(guān)于無(wú)窮序列Xt， Xt1， … 的線性組合的形式： ????? ?? 221 tttt XXX ???或 ： tttt XXX ??? ????? ?? ?221（ *） (*)是一個(gè) AR(?)過(guò)程，它的偏自相關(guān)函數(shù)非截尾但卻趨于零，因此 MA(1)的偏自相關(guān)函數(shù)是非截尾但卻趨于零的。 于是： 可以根據(jù)自相關(guān)系數(shù)是否從某一點(diǎn)開始一直為 0來(lái)判斷 MA(q)模型的階 。但可以證明，當(dāng) kq時(shí)， rk服從如下漸近正態(tài)分布 : rk~N(0,1/n) 式中 n表示樣本容量。 表 9 . 2 . 1 A R M A ( p , q ) 模型的 AC F 與 P AC F 理論模式 模型 AC F P AC F 白噪聲 0?k? 0*?k? AR ( p ) 衰減趨于零（幾何型或振蕩型） P 階后截尾： 0*?k? ， k p M A ( q ) q 階后截尾：， 0?k? ， k q 衰減趨于零（幾何型或振蕩 型） AR M A ( p , q ) q 階后衰減趨于零（幾何型或振蕩型） p 階后衰減趨于零（幾何型或振蕩型） 圖 9. 2 . 2 A R M A ( p , q ) 模型的 ACF 與 P A C F 理論模式 A C F P A C F 模型 1 ： tttXX ???? 10 . 00 . 20 . 40 . 60 . 81 2 3 4 5 6 7 8A C F10 . 00 . 20 . 40 . 60 . 81 2 3 4 5 6 7 8P A C F 1 模型 2 ： tttXX ????? 1 模型 3 ： 1???tttX ?? 0 . 8 0 . 6 0 . 4 0