高一數(shù)學(xué)必修1函數(shù)知識總結(jié)及例題-預(yù)覽頁
【正文】 兩個函數(shù)的單調(diào)性； ⅳ 若兩個函數(shù)在對應(yīng)的區(qū)間上的單調(diào)性相同（即都是增函數(shù)，或都是減函數(shù)），則復(fù)合后的函數(shù) ))(( xgfy? 為增函數(shù)； 若兩個函數(shù)在對應(yīng)的區(qū)間上的單調(diào)性相異（即一個是增函數(shù)， 而另一個是減函數(shù)），則復(fù)合后的函數(shù) ))(( xgfy? 為減函數(shù)。 （ 2）單調(diào)增區(qū)間是 ]1,1[? ，減區(qū)間是 ]3,1[ 。 一． 指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù) ． 同底的指數(shù)函數(shù) xya? 與對數(shù)函數(shù) logayx? 互為反函數(shù) ； （二）主要方法： 1．解決與 對數(shù)函數(shù)有關(guān)的問題，要特別 重視 定義域 ； 2． 指數(shù)函數(shù)、對數(shù) 函數(shù) 的單調(diào)性決定于底數(shù)大于 1 還是小于 1，要注意對底數(shù)的討論； 3．比較幾個數(shù)的大小的常用方法有：①以 0 和 1為橋梁；②利用函數(shù)的單調(diào)性；③作差 ． （三）例題分析： 例 1．（ 1）若 2 1a b a? ? ? ，則 logbba， logba ， logab 從小到大依次為 ； （ 2）若 2 3 5x y z??，且 x ， y ， z 都是正數(shù)，則 2x ， 3y ， 5z 從小到大依次為 ； （ 3）設(shè) 0x? ，且 1xxab??（ 0a? ， 0b? ），則 a 與 b 的大小關(guān)系是 （ ） （ A ） 1ba?? （ B ） 1ab?? （ C ） 1 ba?? （ D ） 1 ab?? 解：（ 1）由 2 1a b a? ? ? 得 b aa? ，故 logbba? logba 1??logab ． （ 2）令 2 3 5x y z t? ? ? ，則 1t? ， lglg2tx?， lglg3ty?， lglg5tz?， ∴ 2 lg 3 lg lg ( lg 9 lg 8 )2 3 0lg 2 lg 3 lg 2 lg 3t t txy ??? ? ? ? ??， ∴ 23xy? ； 同理可得： 2 5 0xz??， ∴ 25xz? ，∴ 3 2 5y x z??．（ 3）取 1x? ，知選 （ B ） ． 例 2．已知函數(shù) 2() 1x xf x a x??? ?( 1)a? ， 求證：（ 1）函數(shù) ()fx在 ( 1, )? ?? 上為增函數(shù)； （ 2）方程 ( ) 0fx? 沒有負(fù)數(shù)根． 證明：（ 1）設(shè) 121 xx? ? ? ， 則121212 22( ) ( ) 11xxxxf x f x a a??? ? ? ? ??? 1 2 1 21 2 1 21 2 1 22 2 3 ( )1 1 ( 1 ) ( 1 )x x x xx x x xa a a ax x x x? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?， ∵ 121 xx? ? ? ，∴ 1 10x?? ， 2 10x ?? ， 120xx??， ∴ 12123( ) 0( 1)( 1)xxxx? ???； 高中 數(shù)學(xué)輔導(dǎo)網(wǎng) 京翰教育 1 對 1 家教 ∵ 121 xx? ? ? ，且 1a? ，∴ 12xxaa? ，∴ 120xxaa??， ∴ 12( ) ( ) 0f x f x??，即 12( ) ( )f x f x? ，∴ 函數(shù) ()fx在 ( 1, )? ?? 上為增函數(shù)； （ 2）假設(shè) 0x 是 方程 ( ) 0fx? 的負(fù)數(shù)根，且 0 1x?? ，則0 002 01x xa x ???? ， 即0 000 0 02 3 ( 1 ) 3 11 1 1x xxa x x x? ? ?? ? ? ?? ? ?， ① 當(dāng) 010x? ? ? 時， 00 1 1x? ? ? ，∴03 31x ?? ，∴03 121x ??? ，而由 1a? 知 0 1xa ? ， ∴①式不成立； 當(dāng) 0 1x?? 時， 0 10x ?? ，∴03 01x ?? ，∴03 111x ? ??? ，而 0 0xa ? ， ∴①式不成立． 綜上所述，方程 ( ) 0fx? 沒有負(fù)數(shù)根． 例 3．已知函數(shù) ( ) log ( 1)xaf x a??（ 0a? 且 1a? ） ．（ 《高考 A 計(jì)劃》考點(diǎn) 15，例 4）． 求證：（ 1）函數(shù) ()fx的圖象在 y 軸的 一側(cè)； （ 2）函數(shù) ()fx圖象上任意兩點(diǎn)連線的斜率都大于 0 ． 證明：（ 1）由 10xa ?? 得： 1xa? ， ∴當(dāng) 1a? 時， 0x? ，即 函數(shù) ()fx的定義域?yàn)?(0, )?? ，此時函數(shù) ()fx的圖象在 y 軸的右側(cè) ； 當(dāng) 01a??時， 0x? ，即 函數(shù) ()fx的定義域?yàn)?( ,0)?? ，此時函數(shù) ()fx的圖象在 y 軸的左側(cè)． ∴ 函數(shù) ()fx的圖象在 y 軸的一側(cè)； （ 2）設(shè) 11( , )Ax y 、 22( , )Bx y 是函數(shù) ()fx圖象上任意兩點(diǎn)，且 12xx? ， 則直線 AB 的斜率 1212yyk xx?? ? ， 1122121l o g ( 1 ) l o g ( 1 ) l o g 1xxxa a a xay y a a a ?? ? ? ? ? ? ?， 當(dāng) 1a? 時，由（ 1）知 120 xx??， ∴ 121 xxaa??，∴ 12020xxaa? ? ? ?， ∴ 121011xxaa ???? ，∴ 120yy??，又 120xx??，∴ 0k? ； 當(dāng) 01a??時，由（ 1）知 120xx??， ∴ 121xxaa??，∴ 121 1 0xxaa? ? ? ?， ∴ 121 11xxaa ? ?? ，∴ 120yy??，又 120xx??，∴ 0k? ． ∴函數(shù) ()fx圖 象上任意兩點(diǎn)連線的斜率都大于 0 ．
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