高二數(shù)學(xué)空間向量-預(yù)覽頁
【正文】 向量分別為 n 為兩平面的法向量所成的角 (或其補(bǔ)角 )就等于平面 α、 β所成的銳二面角 θ， 所以 cosθ＝ |cos〈 n1， n2〉 |.(注：其中的 〈 n1， n2〉 表示向量n1與 n2所成的角 )． 例 2 在底面是直角梯形的四棱錐 S － ABCD中， ∠ ABC ＝ 90176。 n| AD→|| n | ＝1212 1 ＋14＋14＝63. 設(shè)二面角為 θ ，即 c o s θ ＝63， ∴ t a n θ ＝22. 【 名師點(diǎn)評(píng) 】 此題所求的二面角是一個(gè)無棱二面角 ， 對(duì)于這種求無棱二面角的問題 ，用空間向量求解時(shí) ， 無需作出二面角的平面角 ， 從而體現(xiàn)了空間向量的重要作用 ． 利用空間向量求距離 求點(diǎn)到平面的距離有三種方法：定義法、等體積法及向量法． 設(shè)點(diǎn) A 到平面 α 的距離為 d ，點(diǎn) B 是平面 α 內(nèi)的任意一點(diǎn)， AB→不是平面 α 的法向量，則 d ＝| AB→ n ＝ 0， ∴????? 2 x － 2 y ＋ z ＝ 04 x ＋ 5 z ＝ 0， ∴ x ＝－54z ， y ＝－34z ， ∴ n ＝????－54z ，－34z ， z ， 令 z ＝ 4 ，得 n ＝ ( － 5 ，－ 3 , 4 ) ． 又 AD→＝ ( － 7 ，－ 7 , 7 ) ， ∴ 點(diǎn) D 到平面 AB C 的距離 d ＝| AD→ n ＝ 3 x ＋ 3 y ＝ 0 ，M N→ S→|＝13.( 〈 n ， OS→〉為向量 n與 OS→所成的角 ) ∵ N 的射影落在平面 BCM 上， 故二面角 N CM B 為銳二面角， ∴ 二面角 N CM B 的余弦值為13. ( 3 ) 由 ( 1 ) ( 2 ) 得 M B→＝ ( － 1 ， 3 ， 0) ， n ＝ ( 2 ，－ 6 ，1) 為平面 C M N 的一個(gè)法向量， ∴ 點(diǎn) B 到平面 C M N 的距離 d ＝| n n1＝ 0 ， 得????? － 4 x1－ ＋ 3 λ y1＋ － 4 λ z1＝ 0 ，－ 8 x1＝ 0 ， 即????? x1＝ 0 ，z1＝2 ＋ 3 λ4 － 4 λy1，可取 n1＝??????0 ， 1 ，2 ＋ 3 λ4 － 4 λ. 由????? AP→2 ＋ 3 λ4 － 4 λ＝ 0 ， 解得 λ ＝25，故 AM ＝ 3. 綜上所述，存在點(diǎn) M 符合題意， AM ＝ 3. 【 名師點(diǎn)評(píng) 】 本題考查空間點(diǎn) 、 線 、 面位置關(guān)系 、 二面角的求法以及空間向量的應(yīng)用 ，也涉及空間想象能力和運(yùn)算求解能力 ． 難度適中 ．
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