量子力學(xué)習(xí)題解答-第2章-預(yù)覽頁
【正文】 其中厄米多項式，可由母函數(shù)生成 厄米多項式多項式滿足遞推關(guān)系 定義產(chǎn)生算符與湮滅算符 則有 當(dāng)處于能量本征態(tài)時 （c）一維自由粒子（連續(xù)譜，散射態(tài)）： 定態(tài)薛定諤方程為 能量本征函數(shù)和本征值為 能量本征函數(shù)滿足函數(shù)正交歸一性 定態(tài)波函數(shù)為 定態(tài)不是物理上可實現(xiàn)的態(tài)（不可歸一化），它代表一個向右傳播的正弦波（）或向左傳播的正弦波（），波的傳播速度(相速度)為 盡管定態(tài)不是物理上可實現(xiàn)的態(tài)，但是定態(tài)疊加成的波包 可以是物理上可實現(xiàn)（可歸一化）的態(tài)。由幾率流密度定義 （三維情況為） 計算出 反射系數(shù)和透射系數(shù)之和為1. * 證明下列三個定理解：（a） 證：假設(shè)在定態(tài)解把實數(shù)改為復(fù)數(shù)，則若在時刻，波函數(shù)是歸一化的，即 在以后時刻 所以要求在任何時候都有必須有，即必須為實數(shù)。所以當(dāng)勢能是偶函數(shù)，定態(tài)薛定諤方程的解總可以取為有確定宇稱的解。我們還可以從另一個方面討論這個問題。這對歸一化的解是不可能的。 （c） 利用 ， 或者 由Ehrenfest’s定理 代入諧振子勢能，及，有 顯然滿足Ehrenfest’s定理如果用替代，則有 其中，重復(fù)上面的計算，有顯然此時，仍然滿足（也必須滿足）?，F(xiàn)在體系基態(tài)的能量為，所以測量能量得到的幾率是，由 代入 （注意在時刻，體系的能量期待值不是，因為體系的哈密頓是頻率為的諧振子哈密頓。在處，由積分 得到 其中 為波函數(shù)導(dǎo)數(shù)在處的躍變。下面求出兩種情況下的波函數(shù)。除了能量與時不同外，形式上這個波函數(shù)與時，能量為的波函數(shù)一樣。對于，代入透射波，可以求出（透射波是指數(shù)衰減波，它不能傳到無限遠處，透射波是實函數(shù)，幾率流密度公式中的兩項相互抵消），所以。 其中 坐標(biāo)的期待值為 代入 最后得到 *： 解：（a） 體系的初始波函數(shù)為 當(dāng)右阱壁從移到后，體系的能量本征函數(shù)和本征值為 所以我們需要把用現(xiàn)在的本征函數(shù)展開 展開系數(shù)可以由傅里葉技巧求出 對能量進行測量得到的幾率為 顯然是最可幾幾率，所以測量得到的幾率最大，注意這個能量與勢阱壁沒有移動時的基態(tài)能量一樣。能量本征值為 基態(tài)為的態(tài)，這比諧振子基態(tài)能量高。時，中心的勢壘把勢阱分割成兩個孤立的阱寬為的無
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