最大公因式(高等代數(shù))-預(yù)覽頁(yè)
【正文】 的最大公式為零 。 最大公因式 定理 2 對(duì) ，在 中存在 一個(gè)最大公因式 ，且 可表成 的一個(gè)組合，即 ，使 ． ( ) ( ) [ ]f x g x P x??、 []Px()dx ()dx ( ) ( )、f x g x( ) ( ) [ ]u x v x P x??、( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .d x u x f x v x g x?=167。 最大公因式 1( ( ) ( ) )= ( ( ) ( ) )f x g x g x r x,s 1 s= ( ( ) ( ) )r x r x? ,s ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .r x u x f x v x g x?=從而有 12= ( ) ( ) )r x r x,=… s= ( ( ) 0 )rx ,再由上面倒數(shù)第二個(gè)式子開(kāi)始往回迭代，逐個(gè)消去 s 1 1( ) , , ( )r x r x? 再并項(xiàng)就得到 說(shuō)明 : 定理２中用來(lái)求最大公因式的方法， 通常稱為 輾轉(zhuǎn)相除法 ． 167。 最大公因式 例 1 4 3 2( ) 2 4 2 ,f x x x x x? ? ? ?4 3 2( ) 2 ,g x x x x x? ? ? ?2求 ，并求 使 ( ( ) ( ) )、f x g x( ), ( )u x v x( ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) .f x g x u x f x v x g x??、167。 最大公因式 但是，在不同數(shù)域內(nèi)公因子可能有變化。 最大公因式 定理 4 若 ，且 ， 則 ? ?( ) , ( ) 1f x g x ?( ) | ( ) ( )f x g x h x( ) | ( ) .f x h x? ?( ) , ( ) 1 ,f x g x ?( ) , ( ) [ ] ,u x v x P x? ? ?證： 使 ( ) ( ) ( ) ( ) 1u x f x v x g x??( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )u x f x h x v x g x h x h x??于是有 又 ( ) | ( ) ( ) ,f x g x h x( ) | ( ) ( )f x f x h x( ) | ( ) .f x h x?167。 最大公因式 注： ? ?12( ) , ( ) , , ( )sf x f x f x???表示首 1最大公因式． ? ?1 2 1 1,.s s sf f f u f u f? ? ? ? ? ? ? ?,=② ，使 12, [ ]su u u P x? ? ? ? ?? ? ? ?? ?1 2 1 2 1, , , , ,s s sf f f f f f f?? ?? ? ? ?=,③ ? ? ? ?? ?11, , , , , , 1 1k k sf f f f k s?? ? ? ? ? ? ? ? ?=① 的最大公因式一定存在． 12( ) , ( ) , , ( )sf x f x f x???11 f u f? ? ? ? ? ?④ 互素 使 12, , , sf f f??? 12, , , [ ] ,su u u P x? ? ? ? ? ?167。 最大公因式 ? ? ? ?32 , 1 2f x x x x g x x i? ? ? ? ? ?例 1．求 除 的商式和余式 ? ?gx ? ?fx解 : 由 ＋ ) 12i? １ －１ －１ ０ 12i? 42i?? 98i??98i??52i??2i?１ 有 ? ?2( ) ( ) 2 5 2 9 8 .f x g x x i x i i? ? ? ? ? ?
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