拉普拉斯變換1-4節(jié)-預(yù)覽頁(yè)
【正文】 t 軸向右平移 a個(gè)單位 。)0()1( ???? ?nffff),2,1()()]([ )( ??? npFptfL nn ，（ 77） 利用這個(gè)性質(zhì)，可將 f(t) 的微分方程轉(zhuǎn)化為 F(p) 的代數(shù)方程． 第七章 拉普拉斯變換 例 711 利用微分性質(zhì)求 和 ][sin tL ? ][co s tL ?解 令 ttf ?s in)( ? 則 ttfff ??? s in)()0(0)0( 2??????? ， ，由 76式，得 )]([]s in[ 2 tfLtL ???? ?? )0()0()]([2 fpftfLp ????即 ???? ??? ][ s i n][ s i n 22 tLptL移項(xiàng)化簡(jiǎn)得 22][ s in ????? ptL利用上述結(jié)果， 及（ 75）式，可得 )( s in1co s ?? tt ???])( s in1[][ co s ?? tLtL ??? }0s in][ s i n{1])[ ( s in1 ???? tpLtL ????2222 }0{1???? ?????? pppp第七章 拉普拉斯變換 性質(zhì) 5（積分性質(zhì)） 若 ，且 設(shè)連續(xù)，則 )()]([ pFtfL ? )0( ?p )(tf? ?t p pFdxxfL 0 )(])([ （ 78） 證明 令 ，顯見(jiàn) ，且因 ，由微分性質(zhì)，得 ??t dxxft0 )()(? ??t dxxft0 )()(?)()( tft ???)0()]([)]([ ??? ??? tpLtL 而 ，所以有 )()]([)]([ pFtfLtL ????])([)]([)( 0??? t dxxfpLtpLpF ? 即 )(1])([0 pFpdxxfLt ?? 積分性質(zhì)表明：一個(gè)函數(shù)積分后再取拉氏變換，等于這個(gè)函數(shù)的象函數(shù)除以參數(shù) p ． 例 712 求 （ n是正整數(shù)）． ][ ntL 解 因?yàn)椋? ， … ， 所以由（ 78）式即得 ??? ??? ttt dxxtx d xtdxt 0 23020 321 ， ? ?? t nn dxnxt 0 1第七章 拉普拉斯變換 ,!3][3]3[][,!2][2]2[][,!1]1[]1[][42023302210pptLdxxLtLpptLx d xLtLpppLdxLtLttpt????????????? …………………… 一般地，有 1101 !][][][??? ??? ?nnt nnpnptnLdtxnLtL性質(zhì) 6 若 L［ f（ t）］ =F（ p），則 a0 時(shí) )(1)]([ apFaatfL ? （ 79） 性質(zhì)７ 若 L［ f（ t）］ =F（ p），則 )()1()]([ )( pFtftL nnn ?? （ 710） 性質(zhì)８ 若 L［ f（ t）］ =F（ p），且 存在則 ttft)(lim0?? ??? p dppFt tfL )(])([ （ 711） 第七章 拉普拉斯變換 例 713 求 ． ]sin[ ttL ?解 因?yàn)? ，由（ 710）式可得 22][ s in ????? ptL22222 )(2)()1(]s i n[?????????? pppdpdttL例 714 求 ． ]sin[ttL解 因?yàn)? ，而且 ，所以由（ 711）式可得 11][ si n 2 ?? ptL 1sinlim0 ?? tttpar c t gpar c t gdppt tLp p????? ? ?? ?? 2|11]s i n[ 2 ?即 ．因此，當(dāng) p=0時(shí) ，得到一個(gè)廣義積分的值 pa rct gdtett pt ??? ?? ?2s in0?? ?? ?0 2si n ?dtt t這個(gè)結(jié)果用原來(lái)的廣義積分的計(jì)算方法是得不到的． 第七章 拉普拉斯變換 現(xiàn)將拉氏變換的八個(gè)性質(zhì)和在實(shí)際應(yīng)用中常用的一些函數(shù)的象函數(shù)分別列表如下： 表 71 拉氏變換的性質(zhì) 序號(hào) 設(shè) １ ２ ３ （ a0） ４ ５ ６ （ a0） ７ ８ )()]([ pFtfL ?)]([)]([)]()([ 22112211 tfLatfLatfatfaL ???)()]([ apFtfeL at ??)()]()([ pFeatuatfL ap????)0()()](39。同時(shí)把常用的拉氏變換的性質(zhì)用逆變換形式一一列出。 本章的重點(diǎn)： 拉氏變換的概念和性質(zhì) 5； 象原函數(shù)的求法。
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