數(shù)字圖像頻域變換-預覽頁
【正文】 第二章數(shù)字圖象處理基礎(chǔ) 第三節(jié) 頻域變換 第三節(jié) 頻域變換 :二維傅立葉變換特性 ? 共軛對稱性證明 以一維傅立葉變換為例證明 ： F(u) =∫ f(x)exp[j2?ux]dx =∫ f(x)exp[j2?(u)x]dx =∫ f(x)exp[j2?(u)x]*dx（ 取共軛復數(shù) ） = F*(u) 第二章數(shù)字圖象處理基礎(chǔ) 第三節(jié) 頻域變換 第三節(jié) 頻域變換 :二維傅立葉變換特性 ? 旋轉(zhuǎn)特性 – 旋轉(zhuǎn)特性描述：如果 f(x,y)旋轉(zhuǎn)了一個角度 ? ，那么 f(x,y)旋轉(zhuǎn)后的圖象的傅立葉變換也旋轉(zhuǎn)了相同的角度 ? 。 y = 0, 1, 2, ...N1 第二章數(shù)字圖象處理基礎(chǔ) 第三節(jié) 頻域變換 第三節(jié) 頻域變換 :傅立葉變換 ?離散傅立葉變換的計算與顯示 – 離散傅立葉變換的計算舉例 – 離散傅立葉變換的顯示 第二章數(shù)字圖象處理基礎(chǔ) 第三節(jié) 頻域變換 第三節(jié) 頻域變換 :傅立葉變換 ? 離散傅立葉變換的計算舉例 x f(x0)=f(x0+?x) 0 1 2 3 1 2 3 4 第二章數(shù)字圖象處理基礎(chǔ) 第三節(jié) 頻域變換 第三節(jié) 頻域變換 :傅立葉變換 F(0) = 1/4Σ f(x)exp[0] = 1/4[f(0) + f1(1) + f(2) + f(3)] = 1/4(2 + 3 + 4 + 4) = F(1) = 1/4Σ f(x)exp[j2π x/4)] = 1/4(2e0 + 3e –j2π/4 + 4e –j2π2/4 + 4e –j2π3/4) = 1/4(2 + j) F(2) = 1/4(1 + j0) F(3) = 1/4(2 + j) 第二章數(shù)字圖象處理基礎(chǔ) 第三節(jié) 頻域變換 第三節(jié) 頻域變換 :傅立葉變換 ? 離散傅立葉變換的計算舉例 – 因為，函數(shù) f(x,y)的傅立葉變換是 f(x,y)積分的函數(shù)，因此計算每一個傅立葉變換值，原函數(shù) f(x,y)的每一個點都需要參予 第二章數(shù)字圖象處理基礎(chǔ) 第三節(jié) 頻域變換 第三節(jié) 頻域變換 :傅立葉變換 ? 離散傅立葉變換的顯示 通過對 傅立葉變換模 ，來顯示傅立葉變換圖象。 第二章數(shù)字圖象處理基礎(chǔ) 第三節(jié) 頻域變換 第三節(jié) 頻域變換 :傅立葉變換 ? 二維連續(xù)傅立葉變換 如果 f(x,y)連續(xù)可積 ， 并且 F(u,v)可積 ，則存在以下傅立葉變換對 ， 其中 u,v為頻率變量： ? F{f(x,y)}=F(u,v)=??f(x,y)exp[j2?(ux+vy)]dxdy ? ? F{F(u,v)}=f(x,y)=??F(u,v)exp[j2?(ux+vy)]dudv ? 第二章數(shù)字圖象處理基礎(chǔ) 第三節(jié) 頻域變換 第三節(jié) 頻域變換 :傅立葉變換 ? 二維連續(xù)傅立葉變換 二維傅立葉模 、 相位和模平方分別為： 模： |F(u,v)| = [R2(u,v) + I2(u,v)]1/2 相位： ? (u,v) = tan1 (I(u,v) / R(u,v)) 模平方： P(u,v) = |F(u,v)|2 = R2(u,v) + I2(u,v) 第二章數(shù)字圖象處理基礎(chǔ) 第三節(jié) 頻域變換 第三節(jié) 頻域變換 :傅立葉變換 ? 離散傅立葉變換 假設(shè)連續(xù)函數(shù) f(x),通過取 N個 ?x單位的采樣點 ， 被離散化為一個序列： {f(x0), f(x0+?x) , f(x0+2?x), … ,f(x0+[N–1]? x)} 無論將 x作為離散的或連續(xù)的變量 ， 在子序列中來研究都將是方便的 ， 僅僅依賴于討論的上下文 。第二章數(shù)字圖象處理基礎(chǔ) 第三節(jié) 頻域變換 數(shù)字圖象處理 北京大學計算機研究所 陳曉鷗 第二章數(shù)字圖象處理基礎(chǔ) 第三節(jié) 頻域變換 第三節(jié) 頻域變換 ? 傅立葉變換導言 – 理論基礎(chǔ)、連續(xù)與離散的傅立葉變換 ? 二維傅立葉變換特性 – 可分離性、周期與共軛對稱、平移性、 – 旋轉(zhuǎn)特性、線性與相似性 、均值性、 – 拉普拉斯、卷積與相關(guān) ? 快速傅立葉變換 – FFT算法 、逆向 FFT算法、算法實現(xiàn) 第二章數(shù)字圖象處理基礎(chǔ) 第三節(jié) 頻域變換 第三節(jié) 頻域變換 傅立葉變換導言 – 理論基礎(chǔ) – 連續(xù)與離散的傅立葉變換 第二章數(shù)字圖象處理基礎(chǔ) 第三節(jié) 頻域變換 第三節(jié) 頻域變換 :理論基礎(chǔ) ? 理論基礎(chǔ) – 線性系統(tǒng) – 卷積與相關(guān) 第二章數(shù)字圖象處理基礎(chǔ) 第三節(jié) 頻域變換 第三節(jié) 頻域變換 :理論基礎(chǔ) ?線性系統(tǒng) – 系統(tǒng) 的定義： 接受一個輸入，并產(chǎn)生相應(yīng)輸出的任何實體。 但一個實函數(shù)的傅立葉變換可能為復函數(shù)： F(u) = R(u) + jI(u) （ 1） f(x)的傅立葉 模 記為： |F(u)| |F(u)| = [R2(u) + I2(u)]1/2 （ 2） f(x)的傅立葉 模平方 記為： P(u) P(u) = |F(u)|2 = R2(u) + I2(u) 第二章數(shù)字圖象處理基礎(chǔ) 第三節(jié) 頻域變換 第三節(jié) 頻域變換 :傅立葉變換 ? 一維連續(xù)傅立葉變換：幾個概念 （ 3） f(x)的傅立葉 相位 記為： ?(u) ?(u) = tan1 (I(u) / R(u)) （ 4） 傅立葉變換中的變量 u通常稱為 頻率變量 這個名稱源于尤拉公式中的指數(shù)項 exp[j2?ux] = cos2?ux jsin2?ux 如果把傅立葉變換的積分解釋為離散項的和 ，則易推出 F(u)是一組 sin和 cos函數(shù)項的無限和 ， 其中 u的每個值決定了其相應(yīng) cos, sin函數(shù)對的頻率 。 v = 0, 1, 2, ...N1 M1 N1 f(x,y) = ? ? F(u,v)exp[j2?(ux/M+vy/N)] u=0 v=0 x = 0, 1, 2, ...N1。 v = 0, 1, 2, ...N1 M1 N1 f(x,y)=? [?F(u,v)e(j2?vy/N)] e(j2?ux/M) u=0 v=0 x = 0, 1, 2, ...N1。 為方便起見我們用下式表達離散傅立葉變換公式 N1 F(u)=1/N∑f(x) (WN)ux x=0 這里 WN = exp(j2?/N) 是一個常數(shù) 第二章數(shù)字圖象處理基礎(chǔ) 第三節(jié) 頻域變換 第三節(jié) 頻域變換 :快速傅立葉變換 ? FFT算法 ——基本思想 假設(shè) N為： N = 2n 其中 n是一個正整數(shù) ， 因此 N可表示為： N = 2M 這里 M仍然是一個正整數(shù) 。 且不需要額外的變
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