第七講泰勒（taylor）級(jí)數(shù)羅朗（laurent）級(jí)數(shù)-預(yù)覽頁(yè)
【正文】 表示。)()(2)(39。)0(39。正向封閉路線的積分為鄰域內(nèi)的任一條的某一鄰域內(nèi)連續(xù)且沿在點(diǎn)方程。 知 , f (z) 在 z0 解析 ，則 f (z)總可以 在 z0 的某一個(gè)圓域 ?z z0?R 內(nèi) 展開(kāi)成 z z0 的冪級(jí)數(shù)。 在 ?z z0?=R 2外發(fā)散。且和收斂稱，此時(shí)，區(qū)域即圓環(huán)域：有公共收斂及時(shí)，級(jí)數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)??????????????? )()()(,)()3()2(020121zszszszzcRzzRRRnnn.)()4( 2022以逐項(xiàng)求積和逐項(xiàng)求導(dǎo)和函數(shù)是解析的而且可內(nèi)的在級(jí)數(shù) RzzRzzcnnn ?????????? ???????02100)3(zzRR：，收斂域?yàn)榇藭r(shí)可以可以。?? ???????????nnzzzzzzzz )()()(10102000??00000 111)(11zzzzzzzzz?????????? ???)2(*)()()()()(2)()()(2)()(2)()(21020210110010201021111??????????????????????????????????????????nnknnkkkzzczzczzcdzfizzdzfizzdfizzdzfiI???????????????:,2 )( 1 逐項(xiàng)積分得并沿兩邊乘以 kif ??式 (*1),(*2)中系數(shù) 的積分分別是在 k2， k1上進(jìn) 行的，在 D內(nèi)取繞 z0的簡(jiǎn)單閉曲線 c，由復(fù)合閉路 定理可將 寫成統(tǒng)一式子： ),2,1,0()( )(2 1 10?????? ? ? ndzfick nn?? ??????????nnn zzczf )()( 0證畢！ 級(jí)數(shù)中正整次冪部分和負(fù)整次冪部分分別稱為 洛朗級(jí)數(shù)的解析部分和主要部分。 事實(shí)上 ， )6()()(:)(0201???????????nnn zzazfRzzRDzf可表示為內(nèi)解析，在設(shè)????????nnn zaf )()( 0??D z0 R1 R2 c czDc?? ?的簡(jiǎn)單閉曲線，內(nèi)任何一條繞為設(shè) 0的正向積分得：并沿為任一整數(shù)將上式兩邊乘以cPzP),()(110???D z0 R1 R2 c ??????????dzfiaiadzadzfc pppnc npnc p?? ????????????????101010)()(212)(1)()(解得：.,級(jí)數(shù)就是展開(kāi)成級(jí)數(shù)在圓環(huán)域內(nèi)解析的函數(shù)由此可知L a u r e n t????????nnn zaf )()( 0??? 由唯一性，將函數(shù)展開(kāi)成 Laurent級(jí)數(shù)，可 用間接法。＋在求 ??? zz z 0s i n???????012)!12()1(1s i nnnnnzzzz ???? z0?? ???????????? ????!5!31!5!31 4253 zzzzzz .03 級(jí)數(shù)內(nèi)展開(kāi)成＋在將 L a ur e ntzzez???)!!21(1!123033 ?? ??????? ??? nzzzznzzze nnnz例 2 解 例 3 解 .01 級(jí)數(shù)內(nèi)展成在將 La u r e n tze z ??????? ?????? nt tntte !1!211 2在復(fù)平面上，?? ??????? nznzzezt z !1!2 111,1 21令)0( ???? z?? ???????? !!4!31!2 111 23 nzzzzzn 例 4 級(jí)數(shù)。、逐次求導(dǎo)、逐泰勒展開(kāi)式，經(jīng)過(guò)代換基本初等函數(shù)的展開(kāi)式，可以利用已知等函數(shù)的洛朗對(duì)于無(wú)理函數(shù)及其他初)1((2)對(duì)于 有理函數(shù) 的 洛朗展開(kāi)式，首先把有理 函數(shù)分解成多項(xiàng)式與若干個(gè)最簡(jiǎn)分式之和，然后利用已知的幾何級(jí)數(shù)，經(jīng)計(jì)算展成需要的形式。不同的區(qū)域上的展式，級(jí)數(shù)展式，這是因?yàn)樵跀?shù)由許多種不同的由此可以看出同一個(gè)函)1((2)根據(jù)區(qū)域判別級(jí)數(shù)方式： 在圓域內(nèi)需要把 f (z) 展成泰勒 (Taylor)級(jí)數(shù)， 在環(huán)域內(nèi)需要把 f (z)展成洛朗 ( Laurent
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