第七章參數(shù)估計-預(yù)覽頁
【正文】 ? ? ? ? ????(2) 由 于211 11 ( ) 1 ( )81()1 ( 0 . 3 5 ) 1 0 . 6 3 6 8 0 . 3 6 3 2niixxxn??? ? ? ? ??? ? ? ? ? ??所 以 P(X1) 的 矩 估 計 值 為P(X1) ＝由第五章關(guān)于依概率收斂的序列的性質(zhì)知 1 2 1 2( , , , ) ( , , , ) ,Pkkg A A A g n? ? ???? ? ?.是連續(xù)函數(shù)其中 g11 ( ) , 1 , 2 , 。? ? ?? ? ? ?X f x11, , , ,nnX X X x x從 總 體 中 取 得 樣 本 ， 其 觀 察 值 為 ，?? ? ?? ?111111X x , ,( 。()? ?L? ?,若 總 體 為 連 續(xù) 型 的 ， 其 概 率 密 度 為 ，其 中 ， 為 未 知 參 數(shù) 。 。 0 1 , 1 , 2 , ,解 ： 似 然 函 數(shù)??? ? ? ????? ? ???? ? ? ????? ? ? ?? ? ?nn n ni i ii i iiL f x x xx i n? ? ? ?11 l n2niinlnL ln x? ? ??? ? ? ?? ?111 l n 0 2 2niid l n L n xd??? ? ?? ? ? ??令 1 lnniin x? ??? ?即 ： ? ?1 0 1 0 0 Xxxfx ?? ??? ????????設(shè) 總 體 的 密 度 為 ：為 未 知 參 數(shù) ，其 他:M L E微 分 法 求 解? ? ? ?? ? ? ?1211211.( ) 。 。niiniiiL n xnn x x i n? ? ? ???? ? ?????? ? ? ?? ? ? ? ???對 數(shù) 似 然 函 數(shù) 為 ：＝? ?111, 0 , , 1 , 2 , 。0 xX f x???? ???? ???因 的概率密度為：其它? ? 121 0 , , ,0 nn x x xL ????? ???? ???故參數(shù) 的似然函數(shù)為：其它? ?ln ?0,M L EdL nd? ??? ? ? ?由 于 不 能 用 微 分 法 求? ? 12n l n , 0 , , ,ln 0 , 故 對 數(shù) 似 然 函 數(shù) 為 ： 其 它??? ? ? ??? ??nx x xL? ? 121 0 , , ,0 參 數(shù) 的 似 然 函 數(shù) 為 ：其 它????? ???? ???nn x x xL? :M L E?從 義 發(fā)以 下 定 出 求? ? ? ? ? ?12) 0 , 0 , 1 , 2 , ..., , , , .innnx i nx x m ax x x x? ? ??? ? ? ?? ? ?因 為 L( 需 故 此 時 的 取 值范 圍 為 0 ， 其 中? ? ? ?? ?1又 對 的 是 減 函 數(shù) ， 越 小 ， 越 大 ，故 取 為 時 ， 最 大 ；? ? ? ????? nnnL x LxL? ? 0 1 2E X x d x? ?????由? ?2 矩 估 計? ?? ? ? ?12? , , , .所 以 的 極 大 似 然 估 計 量 為其 中?? ??M L E nnnXX m a x X X X? 2 X???, 0 ,2 1 2 3例 6 ： 設(shè) 總 體 的 概 率 分 布 率 為 ： 其 中 未 知2 1 3現(xiàn) 得 到 樣 本 觀 測 值 2 ， 3 ， 2 ， 1 ， 3 ， 求 的 矩 估 計 值 與 最 大 似 然 估 計 值 。? ?12, 0 , , , ,22設(shè) 總 體 N( ) 都 存 在 ， 且 ， 均 未知 ， 是 取 自 的 一 個 樣 本 ， 試 求（ 1 ） P(X1) 的 最 大 似 然 估 計 量 ；（ 2 ） 若 抽 取 了 容 量 為 6 的 樣 本 ， 樣 本 觀 察 值 為（ 2 ， 5,1,0),P(X1) 的 最 大補(bǔ) 充似 然 估 計 。 無偏性 通常用三條標(biāo)準(zhǔn)檢驗(yàn)： 無偏性 ， 有效性 ， 相合性 ? ? ? ? 2226 , ,例 ： 設(shè) 總 體 的 一 階 和 二 階 矩 存 在 ， 分 布 是 任 意 的 ， 記 證 明 ： 樣 本 均 值 和 樣 本 方 差 分 別 是 和 的 無 偏 估 計 。 糾偏方法 ? ?? ?? ?? ?? ?? ?1?, , , 01 ?17,?,?nnnnE a b a b abanX X XnXX? ? ?????????? ? ? ? ????如 果 其 中 是 常 數(shù) ， 且則 是 的 無 偏 估 計 。? ?? ?11 2 1 28 0 , , , ,12 , 7 2(n)例 ： 設(shè) 總 體 是 取 自 的 樣 本 ， 已 知 的 兩 個 無 偏 估 計 為 見 例 ， 判 別 與 哪 個 有 效 時 ？??? ? ? ??? ? ?????nX U X X XnX X nn ? ? ? ? 221 42 1 2 3D D X nn??? ? ? ? ?解 ：? ?? ?1 0 0 nnnXnx xfx???????? ???由 其它? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ?? ?2 222 2 1 nnnD E X E Xn? ? ???? ??于 是? ? ? ? ? ?221 2 2 1 3 2DD n nn??? ? ? ?? ? ? ??因 為 比 更 有 效? ?? ?1220 2nn nn x nE X d x n? ?? ?? ? ? ??? ?22nn???相合性 ? ?? ?1,0 , 0nnnnnXXnl i m P???? ? ?? ? ? ??? ? ?? ? ? ??? ? ? ? ?設(shè) 為參數(shù) 的估計量， 若對于任意 ，當(dāng) 時， 依概率收斂于 ， 定義：則稱 為 即的相有： 成立， 合估計量或一 致估計量一 般 用 Chebyshev 不 等 式 或 大 數(shù) 律 驗(yàn) 證 ，有 時 還 結(jié) 合 依 概 率 收 斂 的 性 質(zhì) 。2 2 2 2 22 1 2 212 2 2 221( ) ( )1niiD X B X X A XnnS B S S Sn? ? ? ????? ? ? ? ? ? ?????因 為 ， 所 以 是 的 相 合 估 計 ，注 意 到 ， 因 此 也 是 的 相 合 估 計 ； 是 的 相 合 估 計
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