二次函數(shù)的性質(zhì)-預覽頁
【正文】 x)min＝ f(－ 1)＝ 3＋ 2a. 綜上可知 ， f ( x ) m i n ＝????? 3 － 2 a a 1 ，2 － a 2 － 1 ≤ a ≤ 1 ，3 ＋ 2 a a － 1. 題型三 二次函數(shù)與二次方程的關系 (本題滿分 12分 )已知關于 x的函數(shù) y＝ (m＋ 6)x2＋ 2(m－ 1)x＋ m＋ 1的圖像與 x軸總有交點 ． (1)求實數(shù) m的取值范圍； (2)當函數(shù)圖像與 x軸有兩個交點且兩交點的橫坐標的倒數(shù)之和等于－ 4時 ， 求 m的值； (3)當函數(shù)圖像恒在 x軸上方時 ， 求 m的范圍 . 例 3 【 思路點撥 】 函數(shù)圖像與 x軸交點個數(shù)問題 ， 等價于方程 y＝ 0的根的個數(shù)問題 ， 須分m＋ 6＝ 0和 m＋ 6≠ 0討論 (審題時切勿認為就是二次函數(shù) ) 【解】 ( 1 ) 當 m ＋ 6 ＝ 0 時，函數(shù) y ＝－ 14 x － 5與 x 軸有一個交點 . 1 分 當 m ＋ 6 ≠ 0 且 Δ ＝ 4( － 9 m － 5) ≥ 0 時，解得m ≤59， ? 3 分 即當 m ≤ －59，且 m ≠ － 6 時，拋物線與 x 軸有交點． 綜合 m ＋ 6 ＝ 0 和 m ＋ 6 ≠ 0 可知，當 m ≤ －5 9時，此函數(shù)的圖像與 x 軸有交點 .4 分 ? 2 ? 設 x1， x2是方程 ? m ＋ 6 ? x2＋2 ? m － 1 ? x ＋ m ＋ 1 ＝ 0 的兩個根，則 x1＋ x2＝－2 ? m － 1 ?m ＋ 6， x1x2＝m ＋ 1m ＋ 6. ∵1x1＋1x2＝－ 4 ，即x1＋ x2x1x2＝－ 4 ， ∴ －2 ? m － 1 ?m ＋ 1＝－ 4 ，解得 m ＝－ 3. 7 分 當 m ＝－ 3 時， m ＋ 6 ≠ 0 ， Δ 0 ，符合題意， ∴ m 的值是－ 3. ??????? ? 8 分 ( 3) 要使函數(shù)圖像恒在 x 軸上方，則方程 y ＝ 0 無實根且 m ＋ 6 0 ， ∵????? Δ 0 ，m ＋ 6 0 ，∴????? m －59，m － 6 ，∴ m －59， 10 分 ∴ 當函數(shù)圖像恒在 x 軸上方時， m －59. 12 分 名師微博 利用根與系數(shù)的關系，建立關于 m的方程． 【 思維總結(jié) 】 研究二次方程根時 ， 常與二次函數(shù)圖像性質(zhì)結(jié)合起來 ， 此題容易失誤的地方是不討論 m＋ 6＝ 0. 變式訓練 3． 若拋物線 y＝ x2＋ bx＋ 8的頂點在 x軸的負半軸上 ， 求 b的值 ． 解： ∵ 頂點在 x 軸的負半軸上，即方程 x2＋ bx＋ 8 ＝ 0 只有一個負根． ∴????? Δ ＝ b2－ 32 ＝ 0 ，x ＝－b20 ，∴??? b ＝ 1
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