【正文】 (2) 稱其為一個小波序列。 離散 小波變換 在實際運用中，尤 其是在計算機(jī)上實現(xiàn)時，連續(xù)小波必須加以離散化。在連續(xù)小波中，考慮函數(shù)： )()( 2/1, a btatba ?? ? ?? 這里 Rb? ， ??Ra ，且 0?a ， ? 是容許的，為方便起見，在離散化中，總限制 a 只 3 取正值，這樣相容性條件就變?yōu)? ????? ????? dC 0 )(? (8) 通常，把連續(xù)小波變換中尺度參數(shù) a 和平移參數(shù) b 的離散公式分別取作 jaa 0? ，00bkab j? ， 這里 Zj? ，擴(kuò)展步長 10?a 是固定值，為方便起見，總是假定 10?a （由于 m可取正也可取負(fù)，所以這個假定無關(guān)緊要）。多分辨分析可以對信號進(jìn)行有效的時頻分解，但由于其尺度是按二進(jìn)制變化的，所以在高頻頻段其頻率分辨率較差，而在低頻頻段其時間分辨率較差，即對信號的頻帶進(jìn)行指數(shù)等間隔劃分（具有等 Q 結(jié)構(gòu)）。一般簡寫為 dbN， N 是小波的階數(shù)。但 ??kh 的傳遞函數(shù)的模的平方有顯式表達(dá)式。 (4)Coiflet（ coifN）小波系 coiflet 函數(shù)也是由 Daubechies 構(gòu)造的一個小波函數(shù)，它具有 coifN（ N=1， 2， 3， 4， 5）這一系列， coiflet 具有比 dbN 更好的對稱性。 (6)Morlet（ morl）小波 Morlet 函數(shù)定義為 xCex x 5co s)( 2/2??? ，它的尺度函數(shù)不存在，且不具有正交性。 ????????????? ??0))123(2c o s ()2())123(2s i n ()2()(? 2/2/12/2/1??????????? ??jjee ]38,32[38343432?????????????? (15) 其中， )(a? 為構(gòu)造 Meyer 小波的輔助函數(shù)，且有 ????????? ??0))12 3(2c o s ()2()2()(? 2/12/1???????? 34343232??????????? (16) 4 小波分析在圖像處理中的應(yīng)用 小波分析用于圖像壓縮 基于小波變換的圖像局部壓縮 基于離散余弦變換的圖像壓縮算法，其基本思想是在頻域?qū)π盘栠M(jìn)行分解，驅(qū)除信號 6 點之間的相關(guān)性，并找出重要系數(shù)，濾掉次要系數(shù)，以達(dá)到壓縮的效果，但該方法在處理過程中并不能提供時域的信息，在我們比 較關(guān)心時域特性的時候顯得無能為力。 load wbarb ％ 使用 sym4小波對信號進(jìn)行一層小波分解 [ca1,ch1,cv1,cd1]=dwt2(X,39。 codch1=wcodemat(ch1,192)。 rch1=ch1。 rcv1(33:97,33:97)=zeros(65,65)。 codrcv1=wcodemat(rcv1,192)。)。原始圖像 39。title(39。image(wcodemat(rx,192)),colormap(map)。 subplot(224)。)。而且，作用的閾值可以是方向相關(guān)的，即在三個不同方向的細(xì)節(jié)系數(shù)上作用不同的閾值。 下面給出一個圖像信號（即一個二維信號，文件名為 ），利用二維小波分析對圖像進(jìn)行壓縮。圖像壓縮可按如下程序進(jìn)行處理。colormap(map) title(39。壓縮前圖像 X的大小 ： 39。) %對圖像用 2層小波分解 [c,s]=wavedec2(X,2,39。39。,c,s,1)。 cd1=detcoef2(39。a39。 h1=wrcoef2(39。,1)。39。,c,s,39。v1,d1]。分解后低頻和高頻信息 39。,1)。 %改變圖像的高度 ca1=*ca1。 axis square title(39。第一次壓縮圖像的大小為： 39。) %保留小波分解第二層低頻信息，進(jìn)行圖像的壓縮，此時壓縮比更大 %第二層的低頻信息即為 ca2，顯示第二層的低頻信息 ca2=appcoef2(c,s,39。mat39。image(ca2)。)。 9 whos(39。這是一種最簡單的壓縮方法，只保留原始圖像中低頻信息，不經(jīng)過其 他處理即可獲得較好的壓縮效果。 %裝入一個二維信號 load tire。原始圖像 39。)。wv39。,c,s,39。image(Xp)。 axis square disp(39。壓縮后圖像剩余能量百分比 ： 39。 基于小波包變換的圖像壓縮 小波分析之所以在信號處理中有著強(qiáng)大的功能，是基于其分離信息的思想，分離到各個小波域的信息除了與其他小波域的關(guān)聯(lián)，使得處理的時候更為靈活。 下面我通過一個例子來說明小波包分析在圖像壓縮中的應(yīng)用，并給出性能參數(shù)以便于同基于小波分析的壓縮進(jìn)行比較。,39。,crit,thr*2,keepapp)。title(39。image(wcodemat(xd,nbc))。 xlabel([39。,39。])。根據(jù)這個標(biāo)準(zhǔn)確定的最優(yōu)小波樹可以使得壓縮過程的零系數(shù)成分最高，并且自動降低計算量。二維模型可以表述為 s(i,j)=f( i,j)+δ （ 2）對高頻系數(shù)進(jìn)行閾值量化。 在這 3 個步驟中，重點是如何選取閾值和閾值的量化 下面給出一個二維信號（文件名為 ），并利用小波分析對信號進(jìn)行去噪處理。seed39。 subplot(2,2,1)。) axis square subplot(2,2,2)。)。 %下面進(jìn)行圖像的去噪處理 %使用 ddencmp函數(shù)來計算去噪的默認(rèn)閾值和熵標(biāo)準(zhǔn) %使用 wdencmp函數(shù)來實現(xiàn)圖像的壓縮 [thr,sorh,keepapp]=ddencmp(39。,Xnoise)。sym539。 title(39。 原始圖像 X50 100 150 20050100150200含噪聲的圖像 X n o i s e50 100 150 20050100150200去噪后的圖像50 100 150 20050100150200 圖 7 去噪一 再給定一 個有較大白噪聲的圖像。 %畫出原始圖像 subplot(221)。原始圖像 39。seed39。colormap(map)。 axis square。 %提取小波分解中第一層的低頻圖像，即實現(xiàn)了低通濾波去噪 a1=wrcoef2(39。)。第一次去噪圖像 39。a39。 %畫出去噪后的圖像 subplot(224)。)。 下面再給出定一個喊有較少噪聲的 圖像。 %畫出原始圖像 subplot(221)。原始圖像 39。seed39。colormap(map)。 axis square %下面進(jìn)行圖像的去噪處理 %用小波畫數(shù) coif3對 x進(jìn)行 2層小波分解 [c,s]=wavedec2(x,2,39。 %對三個方向高頻系數(shù)進(jìn)行閾值處理 nc=wthcoef2(39。)。s39。,c,s,n,p,39。coif339。colormap(map)。 axis square 輸出結(jié)果如圖 原始圖像50 100 150 200 25050100150200250含噪聲圖像50 100 150 200 25050100150200250去噪后的圖像50 100 150 200 25050100150200250 16 圖 9 去噪三 二維信號在應(yīng)用中一般表現(xiàn)為圖像信號，二維信號在小波域中的 降噪方法的基本思想與一維情況一樣，在閾值選擇上，可以使用統(tǒng)一的全局閾值，有可以分作三個方向，分別是水平方向、豎直方向和對角方向，這樣就可以把在所有方向的噪聲分離出來，通過作用閾值抑制其成分。這兩種方法的優(yōu)劣很明顯，時域方法方便快速但會丟失很多點之間的相關(guān)信息，頻域方法可以很詳細(xì)地分離出點之間的相關(guān)，但需要做兩次數(shù)量級為 nlogn 的傅立葉變換和逆變換的操作，計算量大得多。由于圖像經(jīng)二維小波分解后，圖像的輪廓主要體現(xiàn)在低頻部分，細(xì)節(jié)部分體現(xiàn)在高頻部分，因此可以通過對低頻分解系數(shù)進(jìn)行增強(qiáng)處理，對高頻分解系數(shù)進(jìn)行衰減處理，從而達(dá)到圖像增強(qiáng)的效果。title(39。sym439。 else c(i)=*c(i)。 %畫出重構(gòu)后的圖像 subplot(122)。增強(qiáng)圖像 39。 圖像鈍化 圖像鈍化在時域中的處理相對簡單，只需要對圖像作用一個平滑濾波器，使得圖像中的每個點與其相鄰點做平滑即可，這里不做詳細(xì)介紹，我們來介紹一下基于傅立葉變換的頻域處理方法。 ％對原圖像做二維離散余弦變換 ff1=dct2(X)。db339。 if(c(i)300) c(i)=c(i)*2。)。title(39。,18)。title(39。,18)。title(39。,18)。 在時域（空域）中，銳化的方法不外乎是作用掩碼或做差分，同鈍化的道理一樣，無論是掩碼和差分都很難識別點之間的關(guān)聯(lián)信息，我們下面的例子同樣是在頻域完成的，用傳統(tǒng)的傅立葉分析方法（這里采用的是 DCT 變換）得到的頻域系數(shù)。 ％對原圖像做二維離散余弦變換 ff1=dct2(X)。db339。 if(abs(c(i))300) c(i)=c(i)*2。)。title(39。,18)。title(39。,18)。title(39。,18)。這一技術(shù) 可應(yīng)用于多頻譜圖像理解以及醫(yī)學(xué)圖像處理等領(lǐng)域。程序清單： load woman。image(X1)。)。 for i=1:256 for j=1:256 if (X2(i,j)100) 21 X2(i,j)=*X2(i,j)。colormap(map2)。 axis square %用小波函數(shù) sym4對 X1進(jìn)行 2層小波分解 [c1,s1]=wavedec2(X1,2,39。 for i=1:sizec1(2) c1(i)=*c1(i)。 %下面進(jìn)行小波變換域的圖像融合 c=c1+c2。)。融合圖像 39。這樣分解的結(jié)果仍然是四組圖像、近似圖像、水平細(xì)節(jié)圖像、豎直細(xì)節(jié)圖像和對角圖像，與離散小波變換不同的只是靜態(tài)小波分解得到的四幅圖像與原圖像尺寸一致，道理與一維情況相同。db139。 for i=1:3 subplot(3,4,kp+1),image(wcodemat(swa(:,:,i),192))。 title([39。 level39。,num2str(i)]) kp=kp+4。 為了便于比較，本例接上面的二維靜態(tài)分解的例子，直接利用對 noiswom的分解結(jié)果，從中重建各級系數(shù)。 ％使用 db1 小波對 noiswom 圖像進(jìn)行三層小波分解 mzero=zeros(size(swd))。)。D=mzero。 H(:,:,i)=iswt2(mzero,swcfs,mzero,mzero,39。swcfs(:,:,i)=swv(:,:,i)。 swcfs=mzero。)。 for i=1:3 subplot(3,4,kp+1),image(wcodemat(A(:,:,i),192))。層近似系數(shù)圖像 39。,num2str(i),39。第 39。 title([39。]) kp=kp+4。 第二個重點是研究小波分析和小波變換在圖像處理中的