【正文】 DGO∽ △ EFO, ∴ S△ DGO∶ S△ EFO=? =? ,∴ (ab)2, ∴∠ FAE+∠ CAB=90176。, ∴ △ ABC≌ △ FEA(AAS),∴ AB=FE=4,∴ S△ ABF=? AB得到△ DGH,HG交 AB于點(diǎn) E,連接 DE交 AC于點(diǎn) F,連接 FG,則下列結(jié)論 : ①四邊形 AEGF是菱形 。,∠ DGH=∠ DCB=90176。, 又 ∵∠ DBA=45176。,∴∠ DFG=176。 (2)若點(diǎn) G在 AD上 ,且 ∠ GCE=45176。, 在△ ECG和△ FCG中 , ? ∴ △ ECG≌ △ FCG, ∴ GE=GF,∴ GE=DF+GD=BE+GD.? (10分 ) ,C E C FG C E G C FG C G C???? ? ?????考點(diǎn)一 矩形 B組 20222022年 全國 中考題組 1.(2022陜西 ,8,3分 )如圖 ,在矩形 ABCD中 ,AB=2,BC= E是邊 CD的中點(diǎn) ,連接 AE,過點(diǎn) B作 BF ⊥ AE交 AE于點(diǎn) F,則 BF的長為 ? ( ) ? A.? B.? C.? D.? 3 1 023 1 0510355答案 B 由題意得 ∠ AFB=∠ D=∠ BAD=90176。,AB39。CD =AE =CE 答案 D 由折疊知 ,∠ EAC=∠ BAC,∵ AB∥ CD,∴∠ ECA=∠ BAC, ∴∠ EAC=∠ ECA,∴ AE= D. 3.(2022山東臨沂 ,12,3分 )如圖 ,四邊形 ABCD為平行四邊形 ,延長 AD到 E,使 DE=AD,連接 EB,EC, ,? 使四邊形 DBCE成為矩形的是 ? ( ) ? =BE ⊥ DC C.∠ ADB=90176。,則平行四邊形 DBCE是矩形 .當(dāng) BE⊥ DC時 ,平行四邊形 DBCE是菱形 .故選 B. 4.(2022安徽 ,9,4分 )如圖 ,矩形 ABCD中 ,AB=8,BC=4,點(diǎn) E在 AB上 ,點(diǎn) F在 CD上 ,點(diǎn) G、 H在對角線 AC上 ,若四邊形 EGFH是菱形 ,則 AE的長是 ? ( ) ? ? ? 55答案 C 連接 EF交 GH于點(diǎn) O,由四邊形 EGFH為菱形 ,可得 EF⊥ GH,OH=OG,因?yàn)樗倪呅? ABCD為矩形 ,所以 ∠ B=90176。h=? AB, ∴ △ ADE∽ △ MAB.∴ ? =? ,即 ? =? . ∴ AE= AE=2EM可設(shè) AE=2x,EM=x(x0),則 BM=2x, 在 Rt△ ABM中 ,由勾股定理可知 (2x+x)2=12+(2x)2, 解得 x=? (舍負(fù) ),∴ BM=2x=? . AEDEAB1155 57.(2022黑龍江哈爾濱 ,19,3分 )在矩形 ABCD中 ,AD=5,AB=4,點(diǎn) E,F在直線 AD上 ,且四邊形 BCFE 為菱形 ,若線段 EF的中點(diǎn)為點(diǎn) M,則線段 AM的長為 . 答案 解析 如圖① ,依題意知 BE=BC=5, 則 AE=3,又 EF=5,M是 EF的中點(diǎn) ,則 EM=, ∴ AM=3+=. ? 圖① 如圖② ,同理 ,FD=3,MF=, 則 DM=DF+FM=3+=, AM=DMDA==. ? 圖② 綜上 ,線段 AM的長為 . 8.(2022福建 ,24,12分 )如圖 ,矩形 ABCD中 ,AB=6,AD=8,P,E分別是線段 AC,BC上的點(diǎn) ,且四邊形 PEFD為矩形 . (1)若△ PCD是等腰三角形 ,求 AP的長 。DC=? AC, ∴ 2∠ OCP+2∠ OCF=180176。,∴∠ PAD=∠ FCD. ∴ △ ADP∽ △ CDF,∴ ? =? =? .∵ AP=? ,∴ CF=? . ? 12 CDAD34 2324易錯警示 在第 (1)問中 ,分三種情況 CP=CD、 PD=PC、 DP=DC討論 ,不能丟解 . 一題多解 在第 (2)問中 ,連接 PF,DE,PF與 DE相交于點(diǎn) O,連接 OC. ∵ 四邊形 DPEF是矩形 ,∴ OP=OE=OD=OF. ∵ △ ECD是直角三角形 ,∴ OC=OE=OD. ∴ D、 P、 E、 C、 F都在以 O為圓心 , OC為半徑的圓上 . ∴∠ PCF=∠ BCD=90176。a因?yàn)?CD∥ AB,所以 ∠ 2=∠ DCA,再由 ∠ 1=∠ 2,可得 ∠ 1=∠ DCA,所以 AD=CD,由一組鄰邊相等的平行四邊 形是菱形 ,得 ?ABCD是菱形 ,D正確 .故選 C. 4.(2022寧夏 ,5,3分 )菱形 ABCD的對角線 AC,BD相交于點(diǎn) O,E,F分別是 AD,CD邊上的中點(diǎn) ,連接 EF=? ,BD=2,則菱形 ABCD的面積為 ? ( ) ? ? ? ? ? 22222答案 A 因?yàn)?E,F分別是 AD,CD邊上的中點(diǎn) ,所以 EF∥ AC,且 EF=? AC,所以 AC=2EF=2? .所 以 S菱形 ABCD=? AC=? , ∴ S菱形 ABCD=AB, 所以 EM=EB (2)連接 AC,若 AC平分 ∠ BAD,BC=1,求 AC的長 . ? 解析 (1)證明 :∵ E為 AD的中點(diǎn) , ∴ AD=2ED.∵ AD=2BC, ∴ ED=BC. ∵ AD∥ BC,∴ 四邊形 BCDE為平行四邊形 . 又 ∵ 在△ ABD中 ,E為 AD的中點(diǎn) ,∠ ABD=90176。 (2)當(dāng) EF與 AC滿足什么條件時 ,四邊形 AFCE是菱形 ?并說明理由 . ? 解析 (1)證明 :∵ 在 ?ABCD中 ,AD∥ BC, ∴∠ EAO=∠ FCO.? (1分 ) ∵ 點(diǎn) O是 AC的中點(diǎn) , ∴ AO=CO.? (2分 ) 又 ∵∠ EOA=∠ FOC,? (3分 ) ∴ △ AOE≌ △ COF.? (4分 ) (2)當(dāng) EF⊥ AC時 ,四邊形 AFCE是菱形 .? (5分 ) 理由如下 : 由 (1)知△ AOE≌ △ COF, ∴ OE=OF. 又 ∵ AO=CO, ∴ 四邊形 AFCE是平行四邊形 .? (7分 ) ∴ 當(dāng) EF⊥ AC時 ,四邊形 AFCE是菱形 .? (8分 ) 考點(diǎn)三 正方形 1.(2022天津 ,11,3分 )如圖 ,在正方形 ABCD中 ,E,F分別為 AD,BC的中點(diǎn) ,P為對角線 BD上的一個 動點(diǎn) ,則下列線段的長等于 AP+EP最小值的是 ? ( ) ? 答案 D 在正方形 ABCD中 ,連接 CE、 PC. ? ∵ 點(diǎn) A與點(diǎn) C關(guān)于直線 BD對稱 , ∴ AP=CP, ∴ AP+EP的最小值為 EC. ∵ E,F分別為 AD,BC的中點(diǎn) , ∴ DE=BF=? AD. ∵ AB=CD,∠ ABF=∠ ADC=90176。F39。,則 CE39。M⊥ DC于點(diǎn) M,過點(diǎn) E39。,DE39。是正方形 , ∴∠ G39。=DE39。=60176。=60176。. 又 ∵ G39。=? ,CD=DM+CM=1+? . 在 Rt△ DE39。,可得 E39。=? . ∴ CE39。若 AC=BD,則 ?ABCD是矩形 ,選項(xiàng) C正確 。ON39?；?150176。,∴∠ AEB=∠ ABE=15176。,∠ AED=∠ DAE=60176。, 則 ∠ BEC=360176。. 解題關(guān)鍵 熟記正方形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)并準(zhǔn)確作圖是解題的關(guān)鍵 . 易錯警示 此題沒有給出圖形 ,需按點(diǎn) E的位置分類討論 ,學(xué)生往往只畫出點(diǎn) E在正方形外而導(dǎo) 致漏解 . 6.(2022江西 ,12,3分 )在正方形 ABCD中 ,AB=6,連接 AC,BD,P是正方形邊上或?qū)蔷€上一點(diǎn) ,若 PD=2AP,則 AP的長為 . 答案 2,? ? 或 2? 1423解析 ∵ 四邊形 ABCD是正方形 ,AB=6,∴ AC⊥ BD,AC=BD=6? ,OA=OD=3? . 有三種情況 :①點(diǎn) P在 AD上時 , ? ∵ AD=6,PD=2AP,∴ AP=? AD=2。, ? ∴ AP=ADtan 30176。, ∠ BCE=3x176。. ∵ 四邊形 ABCD為菱形 , ∴ 四邊形 ABCD為正方形 . 思路分析 (1)先證四邊形 ABCD為平行四邊形 ,再由一組鄰邊相等 ,便可證得四邊形 ABCD為 菱形 . (2)證菱形 ABCD的一角為直角 ,便可證得菱形 ABCD為正方形 . 考點(diǎn)一 矩形 C組 教師專用題組 1.(2022甘肅蘭州 ,15,4分 )如圖 1,在矩形 ABCD中 ,動點(diǎn) E從 A點(diǎn)出發(fā) ,沿 AB→ BC的方向運(yùn)動 ,當(dāng)點(diǎn) E到達(dá)點(diǎn) C時停止運(yùn)動 ,過點(diǎn) E作 FE⊥ AE,交 CD于 F點(diǎn) .設(shè)點(diǎn) E運(yùn)動的路程為 x,FC=y,圖 2表示的是 y與 x的函數(shù)關(guān)系的大致圖象 。, ∴ △ CFE∽ △ BEA. ∴ ? =? .(*) 易知當(dāng)點(diǎn) E運(yùn)動到 BC的中點(diǎn)時 , CF取最大值 ,此時 CF=? , CE=BE=x? . 52 52CFCEBA2552∴ 由 (*)知 ? =? . 解得 x1=? (舍 ),x2=? . ∴ CE=BE=1. ∴ BC=2. 由 AB=? ,BC=2可得矩形 ABCD的面積為 5. 2552x ?5252x ?32 72522.(2022江西南昌 ,5,3分 )如圖 ,小賢為了體驗(yàn)四邊形的不穩(wěn)定性 ,將四根木條用釘子釘成一個矩 形框架 ABCD,B與 D兩點(diǎn)之間用一根 ? 拉直固定 ,然后向右扭動框架 ,觀察所得四邊形的變 化 .下列判斷 ? 的是 ? ( ) ? ABCD由矩形變?yōu)槠叫兴倪呅? ABCD的面積不變 ABCD的周長不變 ???橡 皮 筋??錯 誤答案 C 向右扭動框架 ABCD的過程中 ,AD與 BC的距離逐漸減小 ,即 ?ABCD的高發(fā)生變化 , 所以面積改變 ,選項(xiàng) C錯誤 ,故選 C. 3.(2022甘肅蘭州 ,7,4分 )下列命題中正確的是 ? ( ) 答案 B 有一組鄰邊相等的 ? 四邊形是菱形 ,故 A錯誤 。, ∵∠ ADB=30176。為線段 MN 的三等分點(diǎn)時 ,BE的長為 . ? 答案 ? 或 ? 322355解析 ∵ AD∥ BC,AB⊥ BC,MN⊥ AD,∴ 四邊形 ABNM為矩形 , ∴ MN=AB=3,∵ B39。,∴∠ AB39。N+∠ B39。EN. 又 ∵∠ AMB39。∽ △ B39。N=2,在 Rt△ AMB39。N=1,在 Rt△ AMB39。BEBN2239。②△ DEF∽ △ ABG。,①正確 。落在 ∠ ABC的角平分線上時 ,DE的長為 . ? 答案 ? 或 ? 5352解析 作 BF平分 ∠ ABC交 CD于點(diǎn) F, 作 AG⊥ BF于點(diǎn) G,由題意知 AG=AB中 ,D39。F=BFD39。=1, ∴ DH=DF+FH=3,設(shè) DE=x,則 D39。E2, 即 (3x)2+12=x2,解得 x=? ,即 D39。ED=? ,則矩形 ABCD的面積為 . ? AB3543答案 5 解析 連接 BE,設(shè) AB=3k(k≠ 0),則 BC= Rt△ ABE中 ,根據(jù)勾股定理可求出 AE=4k,故 ED=k,由 題意可得 4k、 D39。F與 BE交于點(diǎn) AB=t,那么△ EFG的周長為 (用含 t的代數(shù)式表示 ). ? 答案 2? t 3解析 連接 BD39。C39。E, ∴ BE=2CE=2C39。=60176。. ∴∠ AFG=60176。DF=? 54=10 cm2. 綜上所述 ,剪下的等腰三角形的面積為 ? cm2或 5? cm2或 10 cm2. 12 252 22EF EB?612 1 66 D12 12 25611.(2022廣西桂林 ,17,3分 )如圖 ,在矩形 ABCD中 ,對角線 AC,BD交于點(diǎn) O,過點(diǎn) A作 EA⊥ CA交 DB 的延長線于點(diǎn) E,若 AB=3,BC=4,則 ? 的值為 . ? AOAE答案 ? 724解析 作 BH⊥ OA于 H,如圖 , ? ∵ 四邊形 ABCD為矩形 , ∴ OA=OC=OB,∠ ABC=90176。,將 △ ADP沿 AP翻折得到△ AD39。 (2)請判斷四邊形 PMBN的形狀 ,并說明理由 。, ∴∠ CPB+∠ APD=90176。PC.? (3分 ) (2)四邊形 PMBN為菱形 ,理由如下 :? (4分 ) 在矩形 ABCD中 ,CD∥ AB, ∵ BN∥ PM, ∴ 四邊形 PMBN為平行四邊形 , ∵ △ ADP沿 AP翻折得到△ AD39。, 又 ∵∠ APM=∠ PAM, ∴∠ PBA=∠ BPM, ∴ PM=MB. 又 ∵ 四邊形 PMBN為平行四邊形 , ∴ 四邊形 PMBN為菱形 .? (7分 ) (3)解法一 :∵∠ APM=∠ PAM,