必學5第二章數(shù)列知識、題型、訓(xùn)練大全-預(yù)覽頁
【正文】 差。(1) 求數(shù)列的通項公式； （2）判斷數(shù)列的增減性。例已知數(shù)列的通項公式是，試問該數(shù)列有沒有最大項？若有，求出這個最大項；若沒有，說嗎理由。 表示相鄰兩項關(guān)系的遞推公式稱為一階遞推式，如，若已知首項，就可以確定這個數(shù)列；表示相鄰三項關(guān)系的遞推公式稱為二階遞推式，如，若已知前兩項，就可以確定這個數(shù)列； 數(shù)列的通項公式：如果數(shù)列的第項與項數(shù)之間的關(guān)系可以用一個式子來表示，那么這個公式叫做這個數(shù)列的通項公式：。 必修5 第二章 數(shù)列河南省淮陽第一高級中學 蘇繼付 編寫167。 數(shù)列的單調(diào)性：（1） 遞增數(shù)列：；（2）遞減數(shù)列:；（3）常數(shù)列：；（4）擺動數(shù)列（略）。 數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系：數(shù)列是特殊的函數(shù)，數(shù)列可以看成以正整數(shù)集(或它的有限子集)為定義域的函數(shù)當自變量按從小到大的順序取值時所對應(yīng)的一列函數(shù)值。例分別在下列情況下求數(shù)列的通項公式：（1） ； （2） 【點評】（1）對于遞推關(guān)系形如的數(shù)列，且為可求和數(shù)列，采用累加法求其通項公式；（2）對于遞推關(guān)系形如的數(shù)列，且為可求和數(shù)列，采用累乘法求其通項公式。1 已知函數(shù)，數(shù)列滿足，且。1 寫出下面幾個數(shù)列的通項公式：（5） ；（6） ；（7） ，、.，，167。 通項公式： ，變形：，推廣：，由此可得 （的幾何意義：數(shù)列圖像所在直線的斜率）。(同學們可以自己完成證明)【難點釋疑】 證明數(shù)列是等差數(shù)列，除了定義式之外，也可以用中項公式；若數(shù)列的通項公式是，可以證明是等差數(shù)列，也可以作為等差數(shù)列的一種判定方法，但不能用于證明。結(jié)論：若數(shù)列是等差數(shù)列，則是常數(shù)列；反之，也成立?！军c評】本體的解答告訴我們：形如的遞推關(guān)系，可以采用“倒數(shù)法”，化為等差數(shù)列，求其通項公式；也可以化為的形式，兩邊同除以轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列，求其通項公式。例（1）已知三個數(shù)成等差數(shù)列，它們的和為18，它們的平方和為116，求這三個數(shù)；（2） 已知成等差數(shù)列的四個數(shù)之和為26，第二個數(shù)與第三個數(shù)之積為40，求這個等差數(shù)列?！军c評】形如的遞推關(guān)系式，可以兩邊同除以，化為等差數(shù)列來處理。（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列； （2）求的通項公式。 設(shè)是等差數(shù)列的前項和，則，所以數(shù)列也是等差數(shù)列，其首項等于的首項，公差是公差的一半。設(shè)是數(shù)列的前項和，若，可以證明是等差數(shù)列；若，也可以證明是等差數(shù)列?！军c評】利用公式?！军c評】采用“倒序求和”，整體求出。例已知各項都是正數(shù)的數(shù)列，其前項和為，若，（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）若，求。（1） 求公差的取值范圍； （2）指出中哪一個值最大，并說明理由。【點評】“消項保和”，再由求出。若，則_______.1設(shè)等差數(shù)列的前項和為，若,則______________.1設(shè)等差數(shù)列的前項和為，且，則_____________。（1）求及。（1） 設(shè)，求和的值；（2） 設(shè)，求的值。數(shù)列滿足，且其前9項和為153.（1） 求，的通項公式；（2） 設(shè)，數(shù)列的前項和為，求使不等式對一切都成立的最大正整數(shù)的值。（1） 求數(shù)列的通項公式； （2）試求所有的正整數(shù)，使得為數(shù)列中的項。 等比中項：如果在和之間插入一個數(shù)，使成等比數(shù)列，那么叫做和的等比中項?！镜湫屠}】例已知數(shù)列的前項和，求證：是等比數(shù)列.【點評】可以利用例在數(shù)列中，令.（1） 求證：數(shù)列是等比數(shù)列； （1）求的通項公式.【思路點撥】形如的遞推關(guān)系式，可化為的形式，利用是等比數(shù)列求的通項公式.例已知數(shù)列滿足：.（2） （1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列； （2）求的通項公式；（3） 若數(shù)列滿足：,證明：數(shù)列是等差數(shù)列.【思路點撥】當利用一階遞推式無法證明一個等差數(shù)列時，就用二階遞推式.例已知數(shù)列是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，.求證：數(shù)列是等比數(shù)列.【思路點撥】先求，再求，利用定義證明?！镜湫屠}】例已知等比數(shù)列的公比。例已知是公差不為零的等差數(shù)列，且成等比數(shù)列。練習：已知是首項為，公差為的等差數(shù)列，是數(shù)列的前項和。解法如下：。 錯位相減法求和例求和.例已知數(shù)列的前項和為，且，數(shù)列滿足.（1） 求，； （2）求數(shù)列的前項和.練習：已知是等差數(shù)列，其前項和為，是等比數(shù)列，且，.(1) 求數(shù)列和的通項公式； (2) 記，證明：。具體做法如下：，再驗證時是否成立。題型三、構(gòu)造法例已知數(shù)列滿足：，求.【方法歸納】當題目中出現(xiàn)的形式時，把變形為，即，令，解得，從而構(gòu)造出等比數(shù)列.練習：已知數(shù)列滿足：，求.例（1）已知函數(shù)，數(shù)列滿足：，求.（2） 已知數(shù)列滿足：，求.【方法歸納】當題目中出現(xiàn)的形式時，兩邊取倒數(shù)，得到，從而構(gòu)造出等差數(shù)列；當題目中出現(xiàn)的形式時，兩邊同除以，得到，從而構(gòu)造出等差數(shù)列。 設(shè)數(shù)列的前項和為，且，求的通項公式. 設(shè)數(shù)列的前項和為，數(shù)列的前項和為，滿足. 求的值；（2）求的通項公式.26
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