【正文】 家水平。替代率是指職工剛退休時(shí)的養(yǎng)老金占退休前工資的比例。建立數(shù)學(xué)模型，解決如下問題：?jiǎn)栴}一：對(duì)未來中國經(jīng)濟(jì)發(fā)展和工資增長(zhǎng)的形勢(shì)做出你認(rèn)為是簡(jiǎn)化、合理的假設(shè)，并參考附件1，預(yù)測(cè)從2011年至2035年的山東省職工的年平均工資。計(jì)算養(yǎng)老保險(xiǎn)基金的缺口情況，并計(jì)算該職工領(lǐng)取養(yǎng)老金到多少歲時(shí)，其繳存的養(yǎng)老保險(xiǎn)基金與其領(lǐng)取的養(yǎng)老金之間達(dá)到收支平衡。假設(shè)職工繳納養(yǎng)老保險(xiǎn)基金過程不會(huì)中斷，直到該職工退休。符號(hào)說明符號(hào)符號(hào)定義(單位)職工退休時(shí)養(yǎng)老金(元)職工退休時(shí)基礎(chǔ)養(yǎng)老金現(xiàn)在我國養(yǎng)老保險(xiǎn)改革正處于過渡期，在養(yǎng)老保險(xiǎn)中養(yǎng)老金過低則退休職工的生活水準(zhǔn)低，但養(yǎng)老保險(xiǎn)基金收支平衡容易維持；養(yǎng)老金過高則退休職工的生活水準(zhǔn)高，但養(yǎng)老保險(xiǎn)基金收支平衡較難維持，有時(shí)還會(huì)出現(xiàn)缺口。顯然在現(xiàn)實(shí)實(shí)際中這種爆炸式的指數(shù)增長(zhǎng)模式顯然是不合理的，在經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)的影響下，年均工資在未來發(fā)展過程中會(huì)受到阻滯而發(fā)生變化，以“S”型增長(zhǎng)方式增長(zhǎng)應(yīng)更為合理。則可通過人均GDP的總體增長(zhǎng)趨勢(shì)，來間接體現(xiàn)年均工資的總體增長(zhǎng)趨勢(shì)。比較理想狀況下和經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)影響下的年均工資預(yù)測(cè)值，結(jié)合中等發(fā)達(dá)國家的人均收入標(biāo)準(zhǔn)為900010000美元[1]，和我國經(jīng)濟(jì)發(fā)展的戰(zhàn)略目標(biāo)，是要在21世紀(jì)中葉使我國人均國民生產(chǎn)總值達(dá)到中等發(fā)達(dá)國家水平，即在2050年左右達(dá)到中等發(fā)達(dá)國家水平。由于一個(gè)企業(yè)的狀況是不可能穩(wěn)定不變的，所以題目提供的2009年的狀況不能代表其它年份的企業(yè)情況，從題目提供的數(shù)據(jù)中可得到2009年山東省某企業(yè)職工的月平均工資和全省職工的年平均工資，而且全省職工的年平均工資是符合Logistic增長(zhǎng)模型的，那么可以通過對(duì)兩者進(jìn)行做比例處理，間接說明了企業(yè)職工月均工資也是符合Logistic增長(zhǎng)趨勢(shì)的。并對(duì)影響替代率的因素進(jìn)行簡(jiǎn)單的靈敏度分析。根據(jù)個(gè)人賬戶養(yǎng)老金計(jì)算原理得到個(gè)人賬戶養(yǎng)老金總額，通過引進(jìn)折現(xiàn)率計(jì)算個(gè)人賬戶基金總額。在分析個(gè)人賬戶對(duì)養(yǎng)老金平衡影響的因素上，考慮社會(huì)平均退休年齡、平均余命和生存概率等因素，在現(xiàn)實(shí)的養(yǎng)老保險(xiǎn)平衡問題上引用溫利民在《工程數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)》建立的個(gè)人賬戶養(yǎng)老金精算模型，通過利用整體的養(yǎng)老金在計(jì)算時(shí)點(diǎn)的繳費(fèi)現(xiàn)值及未來給付精算現(xiàn)值比較，得出在養(yǎng)老保險(xiǎn)基金收支平衡時(shí)，影響替代率的因素，詳細(xì)分析相關(guān)因素的影響并給出相應(yīng)的建議和措施等應(yīng)對(duì)情況。 指數(shù)增長(zhǎng)模型檢驗(yàn)誤差圖利用（）式，預(yù)測(cè)20112035年山東省職工年均工資，得到具體數(shù)據(jù)如下表： 2011年2035年山東省職工平均工資預(yù)測(cè)表年份20112012201320142015預(yù)測(cè)年均工資 年份20162017201820192020預(yù)測(cè)年均工資 年份20212022202320242025預(yù)測(cè)年均工資 年份20262027202820292030預(yù)測(cè)年均工資 年份20312032203320342035預(yù)測(cè)年均工資 隨著年份的增長(zhǎng)，職工的平均工資持續(xù)上升，當(dāng)2035年時(shí)，年均工資高達(dá)914013元，平均每個(gè)月的工資約為76168元，相對(duì)于2011年，幾乎增長(zhǎng)了30倍，達(dá)到甚至超過了高等發(fā)達(dá)國家水平，這與經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)規(guī)律和國家經(jīng)濟(jì)發(fā)展綱要不相符。養(yǎng)老金的發(fā)放與職工在職時(shí)的工資及社會(huì)平均工資有著密切關(guān)系，工資的增長(zhǎng)又與經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)相關(guān)，所以從經(jīng)濟(jì)發(fā)展對(duì)工資增長(zhǎng)的影響入手。而人均GDP符合從整個(gè)社會(huì)發(fā)展趨勢(shì)來看是滿足Logistic增長(zhǎng)模型的，搜索可得19502002年美國人均GDP的增長(zhǎng)趨勢(shì)，也是呈現(xiàn)“S”型增長(zhǎng)，那么就可以間接說明年均工資的增長(zhǎng)趨勢(shì)也是符合Logistic增長(zhǎng)模型。這與前面的分析相符合。根據(jù)題目提供數(shù)據(jù)，并結(jié)合公式（），通過計(jì)算解得r=，代入各個(gè)參數(shù)值，得到年均工資的Logistic增長(zhǎng)函數(shù)如下： （）借助MATLAB對(duì)公式（）進(jìn)行均方根誤差（R方）檢驗(yàn)，檢驗(yàn)得到R方=1。為了能夠明確的看出年均工資的增長(zhǎng)趨勢(shì)，將數(shù)據(jù)制成折線圖如下： 1978年2035年山東省職工平均工資Logistic擬合圖由折線圖可以明顯看出年均工資的增長(zhǎng)趨勢(shì)，2010年2022年間呈現(xiàn)快速增長(zhǎng)，而2026年后慢慢趨向平緩增長(zhǎng)，與19502002年美國人均GDP的增長(zhǎng)趨勢(shì)相似，符合Logistic增長(zhǎng)模型的發(fā)展趨勢(shì)。而通過Logistic增長(zhǎng)模型預(yù)測(cè)的情況，在2019年開始進(jìn)入中等發(fā)達(dá)國家行列，并逐年緩慢增長(zhǎng)。職工退休時(shí)的養(yǎng)老金由兩部分組成：P為養(yǎng)老金，為基礎(chǔ)養(yǎng)老金，為退休時(shí)的個(gè)人賬戶養(yǎng)老金，故本文從基礎(chǔ)養(yǎng)老金和個(gè)人賬戶養(yǎng)老金兩方面討論職工退休時(shí)的養(yǎng)老金。我國企業(yè)職工基本養(yǎng)老保險(xiǎn)是企業(yè)把職工工資總額按一定比例（20%）繳納到社會(huì)統(tǒng)籌基金賬戶，再把職工個(gè)人工資按一定的比例（8%）繳納到個(gè)人賬戶中。從題目附件提供的數(shù)據(jù)，僅可以得知2009年山東省某企業(yè)分年齡職工數(shù)量及薪酬分布表、19782010年山東省職工平均工資。人的年齡會(huì)隨著時(shí)間的增長(zhǎng)而增長(zhǎng)，即要考慮工資也會(huì)隨著時(shí)間的增長(zhǎng)而改變，在本題中，主要考慮員工年齡階段性地跳層。而其余繳納養(yǎng)老保險(xiǎn)的年齡和領(lǐng)取養(yǎng)老金的年齡假設(shè)都在這個(gè)假設(shè)范圍內(nèi)，因此有必要進(jìn)行預(yù)測(cè)到2034年的數(shù)據(jù)。本文在此將退休前一年的月平均工資作為退休前的工資，并根據(jù)退休前的工資，進(jìn)行兩者比例: ()其中H為替代率，Z代表退休前的工資，結(jié)合式子（）和（），借助MATLAB軟件編程求出各繳費(fèi)年齡段的基礎(chǔ)養(yǎng)老金、個(gè)人賬戶養(yǎng)老金和替代率，具體數(shù)據(jù)見下表。通過MATLAB可獲得兩種情況的影響情況圖，.. 投保年齡和退休年齡對(duì)替代率的影響情況圖，在控制投保年齡的情況下，替代率會(huì)隨著退休年齡的增長(zhǎng)而呈現(xiàn)曲線增長(zhǎng)；在控制退休年齡的情況下，替代率會(huì)隨著投保年齡的增長(zhǎng)而出現(xiàn)波動(dòng)性下降。 基礎(chǔ)養(yǎng)老金缺口分析從問題二的模型中可得知基礎(chǔ)養(yǎng)老金的計(jì)算公式（）如下： （）在問題二中已經(jīng)推算出全省職工年平均工資符合Logistic增長(zhǎng)趨勢(shì)，那么全省上年度在崗職工月平均工資同樣是符合Logistic增長(zhǎng)趨勢(shì)的，即可通過與該曲線的關(guān)系計(jì)算出來，通過MATLAB求解得出55歲退休前全省上年度在崗職工月平均工資為79211元。我國企業(yè)職工基本養(yǎng)老保險(xiǎn)實(shí)行“社會(huì)統(tǒng)籌”與“個(gè)人賬戶”相結(jié)合的模式，即企業(yè)把職工工資總額按一定比例（20%）繳納到社會(huì)統(tǒng)籌基金賬戶，再把職工個(gè)人工資按一定比例（8%）繳納到個(gè)人賬戶?；A(chǔ)養(yǎng)老金是從社會(huì)統(tǒng)籌基金賬戶中調(diào)撥出來的，而某職工退休后領(lǐng)取的基礎(chǔ)養(yǎng)老金總額和退休前繳納的社會(huì)統(tǒng)籌基金總額都可計(jì)算出來，那么通過比較退休前后的數(shù)額差距，來說明職工在基礎(chǔ)養(yǎng)老金方面是否達(dá)到收支平衡。當(dāng)退休年齡為65歲時(shí)，退休前繳納社會(huì)統(tǒng)籌基金總額為429840元，退休后領(lǐng)取基礎(chǔ)養(yǎng)老金總額為376070元，不出現(xiàn)缺口，少獲得53770元。而G則為個(gè)人賬戶儲(chǔ)存額，是每個(gè)月職工工資的8%的累加和，同樣由于員工每個(gè)月的平均工資是可計(jì)算的，那么該職工個(gè)人工資賬戶總額為124760元。在此，本論文把銀行的利率看作成現(xiàn)金增值的量，即為折現(xiàn)率。當(dāng)退休年齡為55歲時(shí)，退休前繳納個(gè)人賬戶資金總額為124760元，退休后領(lǐng)取個(gè)人賬戶養(yǎng)老金總額為134950元，缺口10191元。在這種情況下則需要將社會(huì)統(tǒng)籌基金和個(gè)人賬戶基金相加起來分析。當(dāng)退休年齡為60歲時(shí)，養(yǎng)老保險(xiǎn)基金低于平衡，出現(xiàn)缺口，說明該職工從退休開始那年起的第12年（即該職工72歲）會(huì)達(dá)到養(yǎng)老保險(xiǎn)基金平衡點(diǎn)，第12年后則會(huì)有缺口出現(xiàn)。1）對(duì)模型的假設(shè)①假設(shè)記賬利率在建立賬戶時(shí)給定并且不變。②工資的增長(zhǎng)率。⑦平均余命：退休職工還能存貨的平均年數(shù)。未來給付精算現(xiàn)值是個(gè)人賬戶承諾的所有未來給付在計(jì)算時(shí)點(diǎn)的現(xiàn)值。則 () ()由于影響社會(huì)統(tǒng)籌的因素相對(duì)復(fù)雜，基礎(chǔ)養(yǎng)老金與上年度的平均工資和退休前繳費(fèi)指數(shù)有關(guān)，對(duì)于大部分人群來說，它的變化比較小。設(shè)，考慮工資增長(zhǎng)率分別為5%，6%的情況下，作出替代率隨著退休年齡的變化趨勢(shì)圖，如下圖：：精算平衡方程下替代率隨退休時(shí)間變化圖： 結(jié)論2：(1)、控制工資增長(zhǎng)率不變時(shí)，養(yǎng)老金替代率隨著退休年齡的增加而提高。 4）關(guān)于本問題的建議及措施
根據(jù)上面的結(jié)論，我們提出以下建議
(1)、根據(jù)結(jié)論一可知，在其他情況相同條件下, 繳費(fèi)比率與月養(yǎng)老金領(lǐng)取標(biāo)準(zhǔn)成正相關(guān), 與替代率成正相關(guān)，而繳費(fèi)基數(shù)的變化并不會(huì)影響替代率的大小。在職工開始繳費(fèi)的時(shí)間相差不多的情況下，推遲法定退休年齡是提高替代率的一種途徑，但推遲退休年齡，在一定程度上將加大就業(yè)壓力，所以如何逐步的制動(dòng)科學(xué)合理的退休年齡是我們需要解決的問題。
（2）、基金保值增值的幅度太小，彈性收繳與剛性支出的矛盾日趨突顯。假設(shè)實(shí)際工資增長(zhǎng)率在精算假設(shè)水平上增長(zhǎng)后的年收入，以表示年實(shí)際工資增長(zhǎng)率在精算假設(shè)水平上增長(zhǎng)后的年收入，表示年在精算假設(shè)水平下的年收入，表示在精算假設(shè)水平下的年成本。當(dāng)利率水平提高時(shí)，長(zhǎng)期內(nèi)一系列年收入現(xiàn)值、年成本現(xiàn)值、工資現(xiàn)值均減少，使長(zhǎng)期綜合收入率、長(zhǎng)期綜合成本率和長(zhǎng)期精算平衡變動(dòng)的幅度減少。分析個(gè)人賬戶基金時(shí)引入折現(xiàn)率。主觀采用取中值估算各工資段的工