【正文】 養(yǎng)老金收支平衡精算模型摘要本文針對企業(yè)退休職工養(yǎng)老金的問題，通過建立合理的假設(shè)，綜合運(yùn)用Logistic阻滯增長模型、傅立葉級數(shù)擬合、折現(xiàn)率、精算模型等方法討論影響職工養(yǎng)老金的各因素，并對影響?zhàn)B老金的各個(gè)因素作了詳細(xì)的分析和提供了較為實(shí)際的建議。針對問題一，假設(shè)在未來中國經(jīng)濟(jì)發(fā)展穩(wěn)定增長的情況下，根據(jù)附件提供的數(shù)據(jù)，運(yùn)用曲線擬合和Logistic增長模型，建立年均工資預(yù)測模型。首先對原數(shù)據(jù)進(jìn)行簡單的曲線擬合，結(jié)果成指數(shù)趨勢增長，而指數(shù)的增長趨勢與經(jīng)濟(jì)發(fā)展規(guī)律和國家經(jīng)濟(jì)發(fā)展戰(zhàn)略不符，屬于理想狀況；之后通過引進(jìn)與經(jīng)濟(jì)發(fā)展相關(guān)的Logistic增長模型對山東省職工的年均工資進(jìn)行預(yù)測，并采用四點(diǎn)法求得Logistic增長趨勢方程的最大上限值，確定Logistic增長模型的趨勢方程式，最后采用R方檢驗(yàn)法進(jìn)行檢驗(yàn)。，在2021年實(shí)現(xiàn)年均工資翻一番（），2035年時(shí)年均工資翻兩番，整體上符合國家的經(jīng)濟(jì)發(fā)展戰(zhàn)略。針對問題二，建立養(yǎng)老金替代率計(jì)算模型。首先根據(jù)養(yǎng)老金原理得出基礎(chǔ)養(yǎng)老金和個(gè)人賬戶養(yǎng)老金公式，運(yùn)用問題一的Logistic增長模型，并在考慮職工年齡階段性跳層的基礎(chǔ)上，引用傅立葉級數(shù)擬合6064歲階段的月均工資，獲得20002034年各年齡段年均工資，在此基礎(chǔ)上，借助MATLAB編程解出各繳費(fèi)年齡段的替代率。最后對替代率進(jìn)行靈敏度分析。 針對問題三，建立養(yǎng)老保險(xiǎn)基金缺口分析模型。首先分別從基礎(chǔ)養(yǎng)老金和個(gè)人賬戶養(yǎng)老金兩方面討論缺口情況，并在引進(jìn)折現(xiàn)率的基礎(chǔ)上綜合討論養(yǎng)老保險(xiǎn)基金的缺口情況，主要針對社會(huì)統(tǒng)籌基金和個(gè)人賬戶基金兩方面進(jìn)行分析，最后推算繳存的養(yǎng)老保險(xiǎn)基金和領(lǐng)取的養(yǎng)老金之間的平衡點(diǎn)。針對問題四，建立養(yǎng)老保險(xiǎn)收支平衡精算模型。首先對影響?zhàn)B老保險(xiǎn)收支平衡的因素進(jìn)行取舍，忽略社會(huì)統(tǒng)籌基金中其他相關(guān)因素對收支平衡的影響，只重點(diǎn)考慮影響個(gè)人賬戶的收入和支出的相關(guān)因素。通過考慮社會(huì)平均退休年齡、平均余命、生存概率等因素，并根據(jù)未來給付精算現(xiàn)值等于未來繳費(fèi)精算現(xiàn)值的精算平衡方法，對個(gè)人賬戶養(yǎng)老金在計(jì)算時(shí)點(diǎn)的繳費(fèi)現(xiàn)值和未來給付精算現(xiàn)值進(jìn)行比較，得到收支平衡時(shí)的替代率與退休年齡和工資增長率的關(guān)系，并算出當(dāng)滿足目標(biāo)替代率時(shí)退休年齡和工資增長率的范圍。然后針對本問題養(yǎng)老金平衡模型的影響因素作了分析和提供了建議措施。
最后，通過對中國養(yǎng)老保險(xiǎn)的現(xiàn)狀和弊端做了簡單的分析和提出相應(yīng)的建議。
關(guān)鍵詞：Logistic 傅立葉級數(shù)擬合 折現(xiàn)率 靈敏度分析 養(yǎng)老保險(xiǎn)平衡精算模型目 錄摘要 I問題重述 1問題假設(shè) 1符號(hào)說明 2問題分析 3 背景分析 3 問題一分析 3 問題二分析 3 問題三分析 4 問題四分析 4模型建立與求解 4 問題一 4 工資增長指數(shù)模型 4 工資增長Logistic模型 6 模型結(jié)果比較與分析 9 問題二 10 基礎(chǔ)養(yǎng)老金 10 個(gè)人賬戶養(yǎng)老金 11 替代率 11 靈敏度分析 13 問題三 14 基礎(chǔ)養(yǎng)老金缺口分析 14 個(gè)人賬戶養(yǎng)老金缺口分析 15 養(yǎng)老保險(xiǎn)基金缺口分析 16 問題四 16 17 關(guān)于養(yǎng)老金體系的思考 20模型優(yōu)化與推廣 20 養(yǎng)老金平衡精算模型的敏感性分析 20 20 21模型的優(yōu)缺點(diǎn) 21 模型的優(yōu)點(diǎn) 21 模型的缺點(diǎn) 21參考文獻(xiàn) 21問題重述養(yǎng)老金也稱退休金，是一種根據(jù)勞動(dòng)者對社會(huì)所作貢獻(xiàn)及其所具備享受養(yǎng)老保險(xiǎn)的資格，以貨幣形式支付的保險(xiǎn)待遇，用于保障職工退休后的基本生活需要。我國企業(yè)職工基本養(yǎng)老保險(xiǎn)實(shí)行“社會(huì)統(tǒng)籌”與“個(gè)人賬戶”相結(jié)合的模式，即企業(yè)把職工工資總額按一定比例（20%）繳納到社會(huì)統(tǒng)籌基金賬戶，再把職工個(gè)人工資按一定比例（8%）繳納到個(gè)人賬戶。這兩個(gè)賬戶我們合稱為養(yǎng)老保險(xiǎn)基金。退休后，按職工在職期間每月（或年）的繳費(fèi)工資與社會(huì)平均工資之比（繳費(fèi)指數(shù)），再考慮到退休前一年的社會(huì)平均工資等因素，從社會(huì)統(tǒng)籌賬戶中撥出資金（基礎(chǔ)養(yǎng)老金），加上個(gè)人工資賬戶中一定比例的資金（個(gè)人賬戶養(yǎng)老金），作為退休后每個(gè)月的養(yǎng)老金。養(yǎng)老金會(huì)隨著社會(huì)平均工資的調(diào)整而調(diào)整。如果職工死亡，社會(huì)統(tǒng)籌賬戶中的資金不退給職工，個(gè)人賬戶中的余額可繼承。個(gè)人賬戶儲(chǔ)存額以銀行當(dāng)時(shí)公布的一年期存款利率計(jì)息，為簡單起見，利率統(tǒng)一設(shè)定為3%。養(yǎng)老金的發(fā)放與職工在職時(shí)的工資及社會(huì)平均工資有著密切關(guān)系；工資的增長又與經(jīng)濟(jì)增長相關(guān)。近30年來我國經(jīng)濟(jì)發(fā)展迅速，工資增長率也較高；而發(fā)達(dá)國家的經(jīng)濟(jì)和工資增長率都較低。我國經(jīng)濟(jì)發(fā)展的戰(zhàn)略目標(biāo)，是要在21世紀(jì)中葉使我國人均國民生產(chǎn)總值達(dá)到中等發(fā)達(dá)國家水平?，F(xiàn)在我國養(yǎng)老保險(xiǎn)改革正處于過渡期。養(yǎng)老保險(xiǎn)管理的一個(gè)重要的目標(biāo)是養(yǎng)老保險(xiǎn)基金的收支平衡，它關(guān)系到社會(huì)穩(wěn)定和老齡化社會(huì)的順利過渡。影響?zhàn)B老保險(xiǎn)基金收支平衡的一個(gè)重要因素是替代率。替代率是指職工剛退休時(shí)的養(yǎng)老金占退休前工資的比例。按照國家對基本養(yǎng)老保險(xiǎn)制度的總體思路，%. 替代率較低，退休職工的生活水準(zhǔn)低，養(yǎng)老保險(xiǎn)基金收支平衡容易維持；替代率較高，退休職工的生活水準(zhǔn)就高，養(yǎng)老保險(xiǎn)基金收支平衡較難維持，可能出現(xiàn)缺口。所謂缺口，是指當(dāng)養(yǎng)老保險(xiǎn)基金入不敷出時(shí)出現(xiàn)的收支之差。附件1是山東省職工歷年平均工資數(shù)據(jù)；附件2是2009年山東省某企業(yè)各年齡段職工的工資分布情況，附件3是養(yǎng)老金的計(jì)算辦法。建立數(shù)學(xué)模型，解決如下問題：問題一：對未來中國經(jīng)濟(jì)發(fā)展和工資增長的形勢做出你認(rèn)為是簡化、合理的假設(shè)，并參考附件1，預(yù)測從2011年至2035年的山東省職工的年平均工資。問題二：根據(jù)附件2計(jì)算2009年該企業(yè)各年齡段職工工資與該企業(yè)平均工資之比。如果把這些比值看作職工繳費(fèi)指數(shù)的參考值，考慮該企業(yè)職工自2000年起分別從30歲、40歲開始繳養(yǎng)老保險(xiǎn)，一直繳費(fèi)到退休（55歲，60歲，65歲），計(jì)算各種情況下的養(yǎng)老金替代率。問題三：假設(shè)該企業(yè)某職工自 2000年起從30歲開始繳養(yǎng)老保險(xiǎn)，一直繳費(fèi)到退休（55歲，60歲，65歲），并從退休后一直領(lǐng)取養(yǎng)老金，至75歲死亡。計(jì)算養(yǎng)老保險(xiǎn)基金的缺口情況，并計(jì)算該職工領(lǐng)取養(yǎng)老金到多少歲時(shí)，其繳存的養(yǎng)老保險(xiǎn)基金與其領(lǐng)取的養(yǎng)老金之間達(dá)到收支平衡。問題四：如果既要達(dá)到目標(biāo)替代率，又要維持養(yǎng)老保險(xiǎn)基金收支平衡，你認(rèn)為可以采取什么措施。請給出你的理由。問題假設(shè)假設(shè)21世紀(jì)中葉我國人均國民生產(chǎn)總值達(dá)到中等發(fā)達(dá)國家水平。假設(shè)職工繳納養(yǎng)老保險(xiǎn)基金過程不會(huì)中斷，直到該職工退休。假設(shè)所有的職工都是從每年的1月份開始繳費(fèi)，每年繳足12個(gè)月，而退休后也是從每年的1月份開始領(lǐng)取養(yǎng)老金。假設(shè)社會(huì)經(jīng)濟(jì)發(fā)展過程中無經(jīng)濟(jì)危機(jī)產(chǎn)生，國民經(jīng)濟(jì)增長穩(wěn)定，并忽略老齡化影響。假設(shè)中等發(fā)達(dá)國家的人均收入標(biāo)準(zhǔn)為900010000美元[1]。符號(hào)說明符號(hào)符號(hào)定義(單位)職工退休時(shí)養(yǎng)老金(元)職工退休時(shí)基礎(chǔ)養(yǎng)老金(元)職工退休時(shí)基礎(chǔ)個(gè)人賬戶養(yǎng)老金(元)職工退休時(shí)個(gè)人賬戶儲(chǔ)存額(元)個(gè)人賬戶養(yǎng)老金計(jì)發(fā)月數(shù)(月)某企業(yè)上年度在崗職工月平均工資(元)本人指數(shù)化月平均繳費(fèi)工資(元)職工實(shí)際繳納基本養(yǎng)老保險(xiǎn)費(fèi)的年限(年)職工實(shí)際繳納基本養(yǎng)老保險(xiǎn)費(fèi)的月數(shù)(月)退休前第年本人繳費(fèi)工資額(元) 退休前第年企業(yè)職工平均工資 (元) 退休前第年的繳費(fèi)指數(shù)第年職工參加養(yǎng)老保險(xiǎn)的平均工資()職工個(gè)人工資繳納到個(gè)人賬戶的比例（8%）企業(yè)職工年均工資與全省職工年均工資的比值第i個(gè)年齡階段的企業(yè)各年齡段職工工資與該企業(yè)平均工資比值替代率問題分析 背景分析養(yǎng)老金也稱退休金、退休費(fèi)，是一種最主要的養(yǎng)老保險(xiǎn)待遇。1997年國務(wù)院發(fā)布的《國務(wù)院關(guān)于建立統(tǒng)一的企業(yè)職工基本養(yǎng)老保險(xiǎn)制度的決定》和2005年12月3日國務(wù)院發(fā)布的《國務(wù)院關(guān)于完善企業(yè)職工基本養(yǎng)老保險(xiǎn)制度的決定》等國家有關(guān)文件規(guī)定，在勞動(dòng)者年老或喪失勞動(dòng)能力后，根據(jù)他們對社會(huì)所作的貢獻(xiàn)和所具備的享受養(yǎng)老保險(xiǎn)資格或退休條件，按月或一次性以貨幣形式支付的保險(xiǎn)待遇，主要用于保障職工退休后的基本生活需要?，F(xiàn)在我國養(yǎng)老保險(xiǎn)改革正處于過渡期，在養(yǎng)老保險(xiǎn)中養(yǎng)老金過低則退休職工的生活水準(zhǔn)低，但養(yǎng)老保險(xiǎn)基金收支平衡容易維持；養(yǎng)老金過高則退休職工的生活水準(zhǔn)高，但養(yǎng)老保險(xiǎn)基金收支平衡較難維持，有時(shí)還會(huì)出現(xiàn)缺口。故需要對養(yǎng)老保險(xiǎn)進(jìn)行管理，維持養(yǎng)老保險(xiǎn)基金的收支平衡，穩(wěn)定退休職工的正常生活，促進(jìn)社會(huì)穩(wěn)定發(fā)展，穩(wěn)定養(yǎng)老保險(xiǎn)基金可持續(xù)發(fā)展，穩(wěn)定社會(huì)經(jīng)濟(jì)發(fā)展。 問題一分析根據(jù)山東省19782010年全省職工年平均工資，首先通過繪制散點(diǎn)圖，分析變化趨勢，滿足指數(shù)函數(shù)增長趨勢。假設(shè)在理想狀況下，沒有其它因素的影響，通過擬合得到指數(shù)函數(shù)，并檢驗(yàn)該指數(shù)函數(shù)，且進(jìn)行預(yù)測和制圖。顯然在現(xiàn)實(shí)實(shí)際中這種爆炸式的指數(shù)增長模式顯然是不合理的，在經(jīng)濟(jì)增長的影響下，年均工資在未來發(fā)展過程中會(huì)受到阻滯而發(fā)生變化，以“S”型增長方式增長應(yīng)更為合理。在這種情況下，無法得知年均工資受到阻滯后會(huì)發(fā)生何種變化，故引入人均GDP值。首先通過搜索2011年山東省統(tǒng)計(jì)年鑒，得到19782010年的人均GDP，對此進(jìn)行擬合，發(fā)現(xiàn)人均GDP在此時(shí)間階段也是呈現(xiàn)指數(shù)增長。所以將人均GDP和理想年均工資進(jìn)行相關(guān)性分析，且得到結(jié)果是兩者的相似度很高，說明了兩者的增長趨勢幾乎一致。則可通過人均GDP的總體增長趨勢，來間接體現(xiàn)年均工資的總體增長趨勢。從