【正文】 意，價(jià)格的相對(duì)性使我們能夠把價(jià)格向量的變化限制在價(jià)格空間的子集合之中：于是，瓦爾拉一般經(jīng)濟(jì)均衡的存在性可用下述定理表述：命題A. 對(duì)于任何一個(gè)連續(xù)映射，如果對(duì)一切都成立，則必存在滿足。本節(jié)剩余部分就是來(lái)說(shuō)明命題A和命題B的等價(jià)性。易見，對(duì)任何的，都有，并且這種調(diào)整結(jié)果關(guān)于原價(jià)格體系是連續(xù)的。于是。命題A得證。對(duì)于每個(gè)，不外乎或。由此可知，即，故是的不動(dòng)點(diǎn)。經(jīng)過(guò)許多人的努力，于1954年才由阿羅和德布羅共同重建了一般經(jīng)濟(jì)均衡的理論大廈，對(duì)一般經(jīng)濟(jì)均衡存在性，給出了令人滿意的嚴(yán)格數(shù)學(xué)證明，樹起了經(jīng)濟(jì)學(xué)史上的一塊新的里程碑。本節(jié)就來(lái)介紹納什均衡向經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的推廣，即應(yīng)用博弈論來(lái)研究一般經(jīng)濟(jì)均衡問(wèn)題。由于市場(chǎng)價(jià)格體系從背后對(duì)人們的經(jīng)濟(jì)行為進(jìn)行調(diào)節(jié)，因而可把市場(chǎng)也看作是一個(gè)局中人，亦即是說(shuō)，把亞當(dāng)注意，函數(shù)對(duì)價(jià)格的偏導(dǎo)數(shù)為：因此，只要商品存在著超額需求，就有，此時(shí)市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)人的目標(biāo)就是提高商品的價(jià)格。這種情況下，約束條件可看作是策略集合。這是因?yàn)楫?dāng)是的競(jìng)爭(zhēng)均衡時(shí)，必然是消費(fèi)者的收益函數(shù)在約束條件下的最大值點(diǎn)，也必然是生產(chǎn)者的最大利潤(rùn)點(diǎn)，同時(shí)由于，因而對(duì)任何，都有，這說(shuō)明是市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)人的最優(yōu)選擇。當(dāng)每個(gè)消費(fèi)者的偏好都是無(wú)滿足的凸偏好時(shí)，從第三章的討論可知消費(fèi)者需求滿足瓦爾拉法則?？磥?lái)，需要對(duì)無(wú)滿足性條件作修改。事實(shí)上，當(dāng)是博弈的納什均衡時(shí)，顯然滿足條件(EFD1)和(EFD2)?？梢?，當(dāng)時(shí)，博弈的納什均衡也必然是經(jīng)濟(jì)的自由處置均衡。第八章第九節(jié)關(guān)于帶約束條件的納什均衡存在性定理，給出了該問(wèn)題的答案。可以把(D3)中的向量理解為消費(fèi)者的最小需要向量，于是條件(D3)說(shuō)明消費(fèi)者擁有的資源都比他的最小需要為大，即消費(fèi)者的最基本的生活需要是能夠得到滿足的。為此，設(shè)為的任一有自由處置的均衡。二. 阿羅德布羅均衡模型上面提出的德布羅定理，給出了自由處置均衡存在的條件，但它不能令人滿意。因此，需要對(duì)一般經(jīng)濟(jì)均衡存在性問(wèn)題進(jìn)行進(jìn)一步深入研究。則經(jīng)濟(jì)的競(jìng)爭(zhēng)均衡存在，即存在經(jīng)濟(jì)狀態(tài)滿足如下三個(gè)條件：(1) 是消費(fèi)者在價(jià)格和收入下的均衡向量；(2) 是生產(chǎn)者在價(jià)格下的均衡向量；(3) 。我們把滿足條件(AD1)至(AD8)的經(jīng)濟(jì)，叫做阿羅德布羅經(jīng)濟(jì)。這樣，集合和的意義就是明顯的了。證明：包含式和的成立是明顯的，因而當(dāng)為閉集時(shí)。則。命題3. 設(shè)是閉凸集，且，則對(duì)任何及整數(shù), 存在常數(shù)使得只要且, 就有。顯然。注意，是緊集。這就說(shuō)明?，F(xiàn)在可以完成命題3的證明了。命題4. 設(shè)是的下有界子集，且為任一整數(shù)。令，易見滿足命題3的條件，且對(duì)每個(gè)，都有。命題4得證。既然與的總生產(chǎn)集合和消費(fèi)集合都相同，從而也有相同的可達(dá)消費(fèi)集合。這樣，便是總消費(fèi)集合的下界。則(這是因?yàn)椋瑥亩?，并且。從命題4可知，對(duì)于這個(gè)向量和正整數(shù)，存在常數(shù)使得只要且，就有。命題6得證。這個(gè)經(jīng)濟(jì)叫做的伴隨經(jīng)濟(jì)。其次，原來(lái)在上連續(xù)、凸的偏好關(guān)系，現(xiàn)在在上當(dāng)然也是連續(xù)凸的，更是連續(xù)弱凸的，條件(D2)得到滿足。再?gòu)臈l件(AD4)知。從偏好的無(wú)滿足性知，不是消費(fèi)者在中的滿足消費(fèi)，即存在使得。條件(D6)得到滿足。這些性質(zhì)將能保證競(jìng)爭(zhēng)均衡的存在性。再記，則從知。于是，存在使得。事實(shí)2：是消費(fèi)者在價(jià)格與收入下的均衡。又給出，從而只有對(duì)一切成立。對(duì)于這個(gè)點(diǎn)，當(dāng)然也有。這就說(shuō)明是生產(chǎn)者在價(jià)格體系下在生產(chǎn)集合中的利潤(rùn)最大的凈產(chǎn)出方案，即是生產(chǎn)者在價(jià)格體系下的均衡，事實(shí)1得到證明。既然在的內(nèi)部，可以在線段內(nèi)找到一點(diǎn)使得?？梢?，不能成立，故只有。第四節(jié) 均衡的福利含義前一節(jié)通過(guò)把一般均衡的存在性問(wèn)題, 轉(zhuǎn)化成為博弈的納什均衡存在性問(wèn)題，應(yīng)用角谷靜夫的不動(dòng)點(diǎn)定理，得到了一般經(jīng)濟(jì)均衡存在性的嚴(yán)格證明。經(jīng)濟(jì)效率一詞就是專門用來(lái)表達(dá)經(jīng)濟(jì)資源的有效利用程度的。如果生產(chǎn)要素的組合使用方式已經(jīng)使經(jīng)濟(jì)達(dá)到了最有效率的狀態(tài)，即按照其他任何組合方式來(lái)使用生產(chǎn)要素，都會(huì)使(某些)消費(fèi)者的滿足程度有所降低，那么就說(shuō)此時(shí)的經(jīng)濟(jì)效率最大，資源配置最優(yōu)，社會(huì)福利最大。如果一種可行經(jīng)濟(jì)狀態(tài)已經(jīng)不存在帕累托改進(jìn)，那么就說(shuō)這種經(jīng)濟(jì)狀態(tài)是帕累托有效的(Pareto efficient)，或者說(shuō)是經(jīng)濟(jì)有效的(economically efficient)。這些總資源是過(guò)去留給現(xiàn)在的一切有用的物品，它們可能作為生產(chǎn)要素用于生產(chǎn)，也可能作為消費(fèi)品直接用于消費(fèi)。公有制經(jīng)濟(jì)第一福利定理．設(shè)公有制經(jīng)濟(jì)中諸消費(fèi)者的偏好關(guān)系都是局部無(wú)滿足的。這是因?yàn)?，假若，則從偏好的的局部無(wú)滿足性可知存在使得且，這與是消費(fèi)者在價(jià)格體系和收入下的均衡(效用最大化向量)相矛盾。我們指出：且。再注意，是生產(chǎn)者在價(jià)格體系下的均衡(利潤(rùn)最大化向量)，因此?？梢姷姆桥晾弁杏行灾俣ú荒艹闪ⅲ匆欢ㄊ桥晾弁杏行У?。證明．本定理的證明要用到凸集分離性定理(見第二章)。(i). 事實(shí)上，對(duì)于任何，令，則由和定理中的條件(2)可知，即，從而, 。假定，則存在使得。所以，是的帕累托改進(jìn)，這與的帕累托有效性相矛盾。事實(shí)上，(i)保證了非空，(ii)說(shuō)明了。下面，我們來(lái)說(shuō)明是經(jīng)濟(jì)的市場(chǎng)均衡。令，我們有：且。事實(shí)上，任給使。既然且，我們又有。實(shí)際上，對(duì)于生產(chǎn)者來(lái)說(shuō)，任意給定以后，定義經(jīng)濟(jì)狀態(tài)：,。第二福利定理得證。私有制經(jīng)濟(jì)第一福利定理．設(shè)私有制經(jīng)濟(jì)中諸消費(fèi)者的偏好關(guān)系都是局部無(wú)滿足的。如果是的帕累托有效狀態(tài)并且，則存在價(jià)格體系和利潤(rùn)分配比例使得并且是的競(jìng)爭(zhēng)均衡。注意，是消費(fèi)者從各個(gè)生產(chǎn)者那里得到的分紅之總和。私有制經(jīng)濟(jì)第二福利定理得證。改革開放以來(lái)的經(jīng)濟(jì)實(shí)踐證明，在我們這樣一個(gè)以生產(chǎn)資料公有制為基礎(chǔ)的社會(huì)主義國(guó)家里，同樣離不開市場(chǎng)對(duì)國(guó)民經(jīng)濟(jì)的調(diào)節(jié)。現(xiàn)在來(lái)討論這個(gè)問(wèn)題，我們將按照交換經(jīng)濟(jì)、生產(chǎn)經(jīng)濟(jì)、和一般經(jīng)濟(jì)三種情況，分別研究實(shí)現(xiàn)經(jīng)濟(jì)有效性與最大社會(huì)福利的條件。實(shí)現(xiàn)交換有效性的條件，就是交換最優(yōu)條件。經(jīng)濟(jì)狀態(tài)叫做是的帕累托改進(jìn)，是說(shuō)：(PI1) 和都是的可行狀態(tài)；(PI2) ；(PI3) 必然對(duì)某個(gè)消費(fèi)者成立。為此考慮且的簡(jiǎn)單情形，即假設(shè)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)中只有兩個(gè)消費(fèi)者甲和乙，也只有兩種商品和。經(jīng)濟(jì)狀態(tài)的可行性條件變成為：,。這時(shí)便出現(xiàn)了一個(gè)矩形盒子，稱之為埃奇沃思盒(Edgeworth box)。從消費(fèi)者甲的坐標(biāo)系來(lái)看，埃奇沃思盒布滿了消費(fèi)者甲的無(wú)差異曲線；再?gòu)南M(fèi)者乙的坐標(biāo)系看，埃奇沃思盒布也布滿了消費(fèi)者乙的無(wú)差異曲線。 圖91 埃奇沃思盒 圖92 合同曲線注意，從埃奇沃思盒中來(lái)看，在價(jià)格體系下，消費(fèi)者甲的預(yù)算線和消費(fèi)者乙的預(yù)算線重合，并且通過(guò)埃奇沃思盒中由初始狀態(tài)(和)所確定的點(diǎn)。但要注意，這樣的預(yù)算線不見得通過(guò)初始狀態(tài)(和)所確定的點(diǎn)，因而這種市場(chǎng)均衡中的消費(fèi)者收入不見得等于。根據(jù)拉格朗日乘數(shù)法，存在拉格朗日乘數(shù)使得如下函數(shù)在處的各個(gè)一階偏導(dǎo)數(shù)全為零。既然且，我們有：這說(shuō)明：經(jīng)濟(jì)的帕累托有效狀態(tài)是這樣的狀態(tài)，它使得任何兩種商品之間的邊際替代率對(duì)所有消費(fèi)者來(lái)說(shuō)都是一樣的。所以，交換經(jīng)濟(jì)的競(jìng)爭(zhēng)均衡實(shí)現(xiàn)了交換最優(yōu)條件。同討論交換最優(yōu)條件時(shí)的做法一樣，我們采用邊際分析法來(lái)看一看生產(chǎn)的最優(yōu)條件究竟是什么。對(duì)于的任何一個(gè)狀態(tài)，向量代表社會(huì)總產(chǎn)出。生產(chǎn)經(jīng)濟(jì)的競(jìng)爭(zhēng)均衡狀態(tài)是指是可行的，并且是生產(chǎn)者在價(jià)格體系下的利潤(rùn)最大化凈產(chǎn)出向量。顯然，是的可行狀態(tài)，并且 。則必然是函數(shù)在約束條件 和下的最大值點(diǎn)。這就是生產(chǎn)最優(yōu)條件。用表示消費(fèi)者的效用函數(shù)，并假定是強(qiáng)單調(diào)的、可微的、并且在各點(diǎn)處的各個(gè)一階偏導(dǎo)數(shù)不會(huì)同時(shí)全為零。首先，帕累托有效狀態(tài)中的諸都是生產(chǎn)者的技術(shù)有效的生產(chǎn)，從而。的可行性保證了狀態(tài)的可行性，而的嚴(yán)單調(diào)性又保證了是的帕累托改進(jìn)，這與的帕累托有效性相矛盾。這樣，我們就有：從、及可以推出：, 及。通過(guò)本節(jié)的分析我們看到，競(jìng)爭(zhēng)性經(jīng)濟(jì)是最有經(jīng)濟(jì)效率的經(jīng)濟(jì)，這種經(jīng)濟(jì)中的資源配置最優(yōu)，社會(huì)福利最大，因而是市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)發(fā)展的目標(biāo)和方向。盡管偏序的使用讓我們繞過(guò)了經(jīng)濟(jì)人之間利害沖突所造成的社會(huì)評(píng)價(jià)上的障礙，但對(duì)于解決這種利害沖突問(wèn)題卻毫無(wú)幫助，我們不能區(qū)分帕雷托有效的兩種狀態(tài)哪一個(gè)的社會(huì)福利更大。另一方面，如果從市場(chǎng)均衡方面考慮，既然帕雷托有效性與市場(chǎng)均衡具有一致性，而市場(chǎng)均衡同價(jià)格體系和收入分配有關(guān)，那么價(jià)格和收入分配的變化將帶來(lái)帕雷托有效狀態(tài)的變化，從而導(dǎo)致社會(huì)福利的變化。一．社會(huì)福利函數(shù)社會(huì)福利函數(shù)表達(dá)的是社會(huì)把各個(gè)消費(fèi)者的個(gè)人福利匯總成為整個(gè)經(jīng)濟(jì)社會(huì)的福利的一種機(jī)制或一種功能。設(shè)消費(fèi)者的效用函數(shù)為。在這種機(jī)制下，原來(lái)用于評(píng)價(jià)經(jīng)濟(jì)效率的上的偏序，現(xiàn)在變成了由社會(huì)效用函數(shù)所決定的全序。鑒于此，干脆進(jìn)一步假定在任何點(diǎn)處的各個(gè)一階偏導(dǎo)數(shù)都大于零，即。設(shè)是滿足假設(shè)的社會(huì)福利函數(shù)，是通過(guò)從各個(gè)消費(fèi)者的效用函數(shù)所確定的社會(huì)效用函數(shù)，是的定義域。社會(huì)福利的最大化，就是讓社會(huì)效用函數(shù)在可行狀態(tài)的范圍內(nèi)達(dá)到最大值。這樣，便是在約束條件下的最大值點(diǎn)。進(jìn)一步，從本節(jié)習(xí)題2可知，以如上得出的向量作為價(jià)格體系，以為消費(fèi)者的收入，則 成為經(jīng)濟(jì)的市場(chǎng)均衡，從而確實(shí)是帕雷托有效狀態(tài)。首先注意，根據(jù)上一節(jié)的討論可知，在帕雷托有效狀態(tài)處，存在拉格朗日乘數(shù)滿足：其中。令，則可看到：從而。假定存在可行狀態(tài)使得。集合的凸性、社會(huì)效用函數(shù)的擬凹性及，保證了且。記，則。所以，是在可行狀態(tài)集合上的最大值點(diǎn)。是通過(guò)從各個(gè)消費(fèi)者的效用函數(shù)所確定的社會(huì)效用函數(shù)，且是擬凹的。值得注意的是，合理的收入分配是依據(jù)各個(gè)消費(fèi)者的效用情況以及社會(huì)效用情況而定的，而且社會(huì)效用是判斷收入分配是否合理的準(zhǔn)則。能進(jìn)行這種比較的一個(gè)根本性原因在于通過(guò)社會(huì)福利所進(jìn)行的福利補(bǔ)償。1．社會(huì)福利補(bǔ)償標(biāo)準(zhǔn)社會(huì)福利函數(shù)蘊(yùn)含著社會(huì)福利補(bǔ)償原則下的補(bǔ)償標(biāo)準(zhǔn)。所以，社會(huì)福利的補(bǔ)償標(biāo)準(zhǔn)由來(lái)確定。這就是說(shuō)，除了和外其他人的福利都不變，而和的福利變化沒(méi)有導(dǎo)致社會(huì)福利發(fā)生變化。2．最大社會(huì)福利點(diǎn)處的補(bǔ)償情況我們來(lái)考察經(jīng)濟(jì)在最大社會(huì)福利狀態(tài)下，社會(huì)福利的補(bǔ)償變化情況。注意，表示消費(fèi)者的收入變化：。這樣，可看成是由收入變動(dòng)引起的：。這正是“取之于民，用之于民”的道理所在，也是向富人征收所得稅的道理所在。所以，社會(huì)效用函數(shù)也必然是基數(shù)意義下的效用函數(shù)。一般情況下，社會(huì)效用函數(shù)究竟如何給出，則有賴于社會(huì)的價(jià)值判斷標(biāo)準(zhǔn)。社會(huì)主義制度下，只有廣大人民的利益才能代表社會(huì)利益，那種讓全部財(cái)富只為一個(gè)人謀福利的極不公平是不允許的。不同人的效用實(shí)際上是不可比較的，客觀上不存在一種標(biāo)準(zhǔn)能夠衡量不同人所獲得的效用多少，更不存在某種途徑能夠把一個(gè)人的效用變成為另一個(gè)人的效用，這就是所謂的無(wú)橋原理(no bridge principle)。由此可見，社會(huì)效用函數(shù)存在的基礎(chǔ)有著很大的問(wèn)題。如果采用序數(shù)效用論的觀點(diǎn)，那么社會(huì)福利函數(shù)就是把一組個(gè)人偏好關(guān)系映射成為一種社會(huì)偏好關(guān)系的一個(gè)映射。于是，在社會(huì)是選擇還是選擇的問(wèn)題上，消費(fèi)者與消費(fèi)者之間的利害沖突表現(xiàn)為且。尤其是選舉制度、投票制度、民主集中制度等，都是社會(huì)福利函數(shù)的具體事例。也就是說(shuō)，對(duì)于任何一組偏好關(guān)系(,…,)，用表示,…,，則對(duì)任何，成立：(1) 如果，那么；(2) 如果，那么。也就是說(shuō)，沒(méi)有一個(gè)成員能夠使得,…,對(duì)一切(,…,)成立。性質(zhì)1(成員的權(quán)利). 堅(jiān)持原則1和2的社會(huì)選擇必然尊重社會(huì)成員的權(quán)利。即對(duì)于任何(,…,),，以及任何，記,…,如果 ，則,…,。進(jìn)一步，阿羅經(jīng)過(guò)嚴(yán)格的邏輯推理分析，證明了服從原則1至4的社會(huì)選擇的不可能性。本來(lái)，我們想通過(guò)社會(huì)福利函數(shù)來(lái)克服經(jīng)濟(jì)主體之間的利害沖突和矛盾，但事與愿違，那種能夠符合常規(guī)的社會(huì)福利函數(shù)不存在，只好借助帕雷托有效性來(lái)避開經(jīng)濟(jì)主體之間的矛盾沖突。然而埃奇沃思的結(jié)果卻沒(méi)有在當(dāng)時(shí)立即引起反響，是現(xiàn)代博弈論的發(fā)展，尤其對(duì)合作博弈的研究，讓人們把博弈的核心集(core)概念與埃奇沃思提出的合同曲線(contract curve)概念聯(lián)系在一起，從而對(duì)競(jìng)爭(zhēng)均衡作出了更加深刻的認(rèn)識(shí)。如果經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)允許所有可能的交換的話，那么合同曲線代表了所有可能的最優(yōu)交換結(jié)果。隨著人數(shù)的增加，面對(duì)面交易結(jié)果的極限就是競(jìng)爭(zhēng)均衡，這就深刻揭示了競(jìng)爭(zhēng)的本質(zhì)特征。設(shè)經(jīng)濟(jì)中有個(gè)消費(fèi)者(或者叫做交易者)，用表示由全體消費(fèi)者構(gòu)成的集合，稱為消費(fèi)者集合。如此描述的經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)，就稱為交換經(jīng)濟(jì)(exchange economy)，并可記作。這種新配置還可以看作是收入再分配的結(jié)果。從第八章的討論可知，合作博弈的核心集就是博弈的最優(yōu)解。這就是說(shuō)，配置是把經(jīng)濟(jì)資源分配給各個(gè)經(jīng)濟(jì)主體去使用的一種方式。這里，就代表經(jīng)濟(jì)的總資源或者總產(chǎn)品。這就引出了下面的定義：定義. 設(shè)是經(jīng)濟(jì)的可行配置。聯(lián)盟能夠改進(jìn)配置方案，其含義可以理解為：聯(lián)盟能夠把聯(lián)盟所擁有的總資源通過(guò)在聯(lián)盟內(nèi)部進(jìn)行重新分配，方可使聯(lián)盟的各個(gè)成員都獲得比配置不小的效用，并使聯(lián)盟的某些成員獲得更大的效用。(2)對(duì)某個(gè)成立。顯然，的核心集合就是把看成合作博弈時(shí)，該合作博弈的核心集。為此，考慮二人二商品的純交換經(jīng)濟(jì)，其中第一個(gè)消費(fèi)者擁有第一種商品個(gè)單位，但不擁有第二種商品，即；第二個(gè)消費(fèi)者擁有第二種商品個(gè)單位，但不擁有第一種