【正文】 下面分別介紹比較嚴(yán)格的定義 系統(tǒng)誤差定義為：“ 在重復(fù)性條件下 (即測量條件不變 )，對同一被測量無限多次測量所得的結(jié)果的平均值與被測量的真值之差 。 隨機(jī)誤差的性質(zhì)類同于概率論中的隨機(jī)變量，故要用概率統(tǒng)計(jì)的方法進(jìn)行處理。圖 。 但由于真值難以獲得，故準(zhǔn)確度是一個定性概念。 測量的精密度用來定量表示測量結(jié)果中隨機(jī)誤差大小的程度。 測量的 復(fù)現(xiàn)性 在改變了的測量條件下，同一被測量的測量結(jié)果之間的一致性。 ” 隨機(jī)誤差概念 不可預(yù)定方式變化的誤差（同隨機(jī)變量） ??? xx ii?舉例： 對一電阻進(jìn)行 n=100次重復(fù)性測量 表 按大小排列的 重復(fù)性 測量結(jié)果 測量值 xi（ Ω） 相同測值出現(xiàn)次數(shù) mi 相同測值 出現(xiàn)的概率 Pi=mi/n 2 4 6 14 18 22 16 10 5 2 1 ?xP(x) μ x 0 隨機(jī)誤差性質(zhì)：服從 正態(tài)分布 ，具有以下 4個特性 ： 對稱性 —— 絕對值相等的正誤差與負(fù) 誤差出現(xiàn)的次數(shù)相等； 單峰性 —— 絕對值小的誤差比絕對值 大的誤差出現(xiàn)次數(shù)多； 有界性 —— 絕對值很大的誤差出現(xiàn)的 機(jī)會極少，不會超出一定的界限； 抵償性 —— 當(dāng)測量次數(shù)趨于無窮大， 隨機(jī)誤差的平均值將趨于零。將剩余誤差平方后求和平均，擴(kuò)大了 離散性，故用方差來表征隨機(jī)誤差的離散程度。標(biāo)準(zhǔn)差小，曲線尖銳，說明測量誤差小的數(shù)據(jù) 占優(yōu)勢大，即測量精度高。 設(shè)被測量的真值為 μ，其等精度測量值為 x1， x2， … ， xn，則 其算術(shù)平均值為 ?n1 2 n ii = 111x = ( x + x + . . . . . + x ) = xnn（ ） 由于 x的數(shù)學(xué)期望為 μ，故算術(shù)平均值就是真值 μ的無偏估計(jì)值。由于推導(dǎo)中不夠嚴(yán)密，故 )(xs被稱為 標(biāo) 準(zhǔn)差的估值，也稱實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差。 已知算術(shù)平均值 x為 mii = 11=mxx? n m 1 2 ?? m 1 x11 x21 ?? xm1 2 x12 x22 ?? xm2 . . n x1n x2n ?? xmn 1()sx1x2()sx ()msx2x nxs( )s( ) =mxx在概率論中有“幾個相互獨(dú)立的隨機(jī)變量之和的方差等于各個 隨機(jī)變量方差之和”的定理，可進(jìn)行下面推導(dǎo) 2 2 2 2 2 2i i 1 222i = 1 i = 11 1 1(x ) = ( x ) = ( x ) = [ ( x ) + ( x ) + . . . + ( x ) ]mmmm m m? ? ? ? ? ???2 2 2 212( ) ( ) ( ) ( )mx x x x? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?2 2 2211( ) ( ) ( )x m x xmm? ? ???()()xxm?? ?因 故有 所以 當(dāng) n為有限次時(shí)，用標(biāo)準(zhǔn)差的估值即可，則 nxsxs)()( ?（ ） 結(jié)論 ：（ ）式說明，算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差是任意一組 n次 測量樣本標(biāo)準(zhǔn)差的 n分之一。 意義 ：（ ）式給實(shí)際測量帶來了方便，人們只要測量一組 數(shù)據(jù)，求得標(biāo)準(zhǔn)差，將其除以 ，則相當(dāng)于得到了多組數(shù)據(jù) n的算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差。 臵信區(qū)間 ，即所選擇的這個范圍，一般用標(biāo)準(zhǔn)差的倍數(shù)表示， )(xk?如177。 3σ區(qū)間內(nèi)，隨機(jī)誤差出現(xiàn)的概率為 %，而在這個區(qū)間外的概率非常小。但 t分布與標(biāo) 準(zhǔn)差 σ無關(guān)，與測量次數(shù) n關(guān)系緊密，從圖 ，當(dāng) n＞ 20以后， t分布與正態(tài)分布就很接近了。下面 介紹幾種常見的非正態(tài)分布曲線及臵信度問題。但有時(shí)候，如在科研或高精度測量中，往往在 不同的測量條件下，用不同的儀器，不同的測量方法，不同的 測量次數(shù)以及不同的測量者進(jìn)行測量與對比，這種測量稱為非 （或不）等精度測量。 解： 按測量次數(shù)來確定權(quán)： w1=3， w2=2， w3=5 ，取 x0=，則有 5230 0 1 0 1 0 2 ?????????x = mm 3. 加權(quán)算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差 對同一被測量進(jìn)行 m組非等精度測量，得到 m個測量結(jié)果， 各組測量結(jié)果的殘余誤差為 ixiv x x??經(jīng)推導(dǎo)可得加權(quán)算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差： （ ） ??????miimiixixwmw112)1(?? 粗大誤差 在一定條件下，測量值顯著偏離其實(shí)際值所對應(yīng)的誤差。在不明原因的情況下， 首先要判斷可疑數(shù)據(jù)是否是粗大誤差。?x)( ??xs3 ( ) 0 . 0 3 3 3 0 . 0 9 9 1sx ? ? ?3 ( ) 0 . 0 1 6 3 0 . 0 4 8sx ? ? ? ?℃ 故可判斷 x8是異常數(shù)據(jù)，應(yīng)予剔除。這些檢驗(yàn)法又都是以正態(tài)分布為前提的，當(dāng)偏離正態(tài)分布時(shí)，檢驗(yàn)可靠性將受影響，特別是測量次數(shù)較少時(shí)更不可靠。 (4)上述三種檢驗(yàn)法中，萊特檢驗(yàn)法是以正態(tài)分布為依據(jù)的，測值數(shù)據(jù)最好 n200，若 n10則會失效； 格拉布斯檢驗(yàn)法理論嚴(yán)密，概率意義明確，實(shí)驗(yàn)證明較好 ；中位數(shù)檢驗(yàn)法簡捷方便，也能滿足一般實(shí)用要求。 系統(tǒng)誤差的產(chǎn)生原因 系統(tǒng)誤差是 由固定不變的或按確定規(guī)律變化的因素所造成 ， 這些誤差因素是可以掌握的。 由于測量者的個人特點(diǎn)，在刻度上估計(jì)讀數(shù)時(shí)，習(xí)慣偏于某一 方向；動態(tài)測量時(shí)，記錄某一信號有滯后的傾向。（分壓比校準(zhǔn)） 3)用高檔儀器比對、校準(zhǔn) 用高檔儀器定期計(jì)量檢查，可以確定恒差是否存在，如電子秤校驗(yàn)后，則知 其是偏大還是偏小。利用修正值 C=－ ε可以在進(jìn)行平均前的每個測量值 xi 誤差 ε會反映在 x中扣除，也可以在得到算術(shù)平均值后扣除。 Φv 0 n 圖 變值系差示意圖 (c) n Φv 0 n Φv 0 n Φv 0 (a) (b) (d) 2) 累進(jìn)性系差的判別 — 馬利科夫判據(jù) 圖 (a)(b)表示了與測量條件成線性關(guān)系的累進(jìn)性系統(tǒng)誤差，如由于蓄電 池端電壓的下降引起的電流下降。 0?D（ ） i?n?1?前一半 后一半 3)周期性系差的判別 —— 阿貝 — 赫梅特判據(jù) 周期性系差的典型例子是當(dāng)指針式儀表度盤安裝偏心時(shí)，會產(chǎn)生這種周期性 系差。 180176。 但是，若雖然存在變值系差， 而剩余誤差最大值處于允許范圍以內(nèi)，則測量數(shù)據(jù)可用。 例 對某電壓進(jìn)行 16次等精度測量，測量數(shù)據(jù) xi中已記入修 正值，列于表 。 (5)重新計(jì)算剩余 15個數(shù)據(jù)的平均值 : 0 539。0niiv??? 。339。 , (8)對 39。 ??? ss x39。實(shí)際上只要對式（ ）稍 加變換就可以得到求相對誤差的公式．將式（ ）兩端同除 以 y。由式（ ） mmxxfxxfxxfy ????????????????????2211一般說來各分項(xiàng)誤差 Δx由系統(tǒng)誤差 ε及隨機(jī)誤差 δ構(gòu)成，即 )()()( 222111mmmxfxfxfy ?????? ???????????????????? （ ） 若測量中各隨機(jī)誤差可以忽略，則總合的系統(tǒng)誤差 εy可由各分項(xiàng)系統(tǒng)誤差合成 jmj jy xf ?? ?? ???1（ ） 若 ε1， ε2， … ， εm為確定性系統(tǒng)誤差，則可由上式直接求出總合的系統(tǒng)誤差。 2％） =177。若要求功率測量的系 統(tǒng)誤差不大于 5%，隨機(jī)誤差的標(biāo)準(zhǔn)偏差不大于 5mW，問電壓和電流的 測量誤差多大時(shí)才能保證上述功率誤差的要求。 所謂測量的最佳方案，從誤差的角度看就是要做到 m i n1yjmj jy xf ??? ???? ??m i n22212 )()()()( yxxfyjmj j??? ???? ??（ ） （ ） 當(dāng)然，若能使上述各式中每一項(xiàng)都能達(dá)到最小，總誤差就會最小。對電阻檔測量點(diǎn)應(yīng)選擇何處呢？現(xiàn)介紹一般性方法。 Δx =x－ A0 （ ） 以一個已知量求解兩個未知量是不成立的方程式，邏輯前提條件不成立 。 我國計(jì)量和測量領(lǐng)域內(nèi)經(jīng)過多年的深入研究和探討，于 1999年發(fā)布了適合我國國情的 《測量不確定度評定與表示》計(jì)量技術(shù)規(guī)范（ JJF1059— 1999）這個規(guī)范原則上等同采用了 GUM的基本內(nèi)容，是實(shí)驗(yàn)測試、產(chǎn)品質(zhì)量認(rèn)證和計(jì)量檢定考核的法律依據(jù)，使我國的測試計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)能與國際通行做法接軌。 U 其中， y—— 是被測量值的估計(jì)，通常取多次測量值的算術(shù)平均值 ： U—— 是測量不確定度，在 UGM中規(guī)定，這個參數(shù)可以是標(biāo)準(zhǔn)偏差 s或是 s的倍數(shù) ks；也可以是具有某臵信概率 P（例如 P= 95％或 P= 99％）下臵信區(qū)間的半寬。注意：不確定度 U恒為正值。 ? ?UxUx ?? ,不確定度 標(biāo)準(zhǔn)不確定度 擴(kuò)展 (展伸 )不確定度（擴(kuò)大 uC的臵信區(qū)間，提高臵信概率） A類標(biāo)準(zhǔn)不確定度 uA（ 由多次測值求標(biāo)準(zhǔn)差獲得 ） B類標(biāo)準(zhǔn)不確定度 uB（查已有信息求得） 合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度 uC（ A、 B類的合成 ；多個不確定度合成 ） 不確定度分類： 應(yīng)當(dāng)指出，在不確定度的合成中，有時(shí)為簡化運(yùn)算也引用相對不確定度 的形式 （ 類 似相對誤差的概念） 。 4）計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)和標(biāo)準(zhǔn)物質(zhì)的值本身的不確定度，在數(shù)據(jù)簡化算法中使用的常 數(shù)及其他參數(shù)值的不確定度，以及在測量過程中引入的近似值的影響。測量不確定度 所包含的若干個不確定度分量，均是標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量，用 ui 表示，其 評定方法如下： 1. A類標(biāo)準(zhǔn)不確定度的評定 A類評定是用統(tǒng)計(jì)分析法評定，其標(biāo)準(zhǔn)不確定度 u的求法等同于由系列觀測 值獲得的標(biāo)準(zhǔn)差，即 A類標(biāo)準(zhǔn)不確定度就等于標(biāo)準(zhǔn)差，即 ()Au s x?標(biāo)準(zhǔn)差的求法同前面隨機(jī)誤差的處理方法，具體步驟歸納如下： 1）對被測量 X進(jìn)行 n次測量，得測值 x1， x2， … ， xn ； 2）求算術(shù)平均值 x 和剩余誤差 xx ii ???3）用貝塞爾公式求標(biāo)準(zhǔn)差的估值 : ?????niii xxnxs12)(11)( （ ） 4）求算術(shù)平均值標(biāo)準(zhǔn)差的估值 : nxsxs )()( ? （ ） 5）則 A類標(biāo)準(zhǔn)不確定度為 : ()Au s x?（ ） 這里需要說明的是，觀測次數(shù) n應(yīng)充分多，才能使 A類不確定度的評定可靠， 一般認(rèn)為 n應(yīng)大于 5。） 即 B類標(biāo)準(zhǔn)不確定度： 包含 因 子 區(qū)間半寬 Bauk? （ ） 包含 因子 k（或稱覆蓋因子、 置信 因子 ），可查表 。其 “ 模 ” 即絕對值， 也就是置信區(qū)間的半寬 a ，因此 例 數(shù)字電壓表廠家說明書上給出：儀器校準(zhǔn)后 1~2年內(nèi)，在 1V內(nèi)示值 最大允許誤差 的 模 為 （這里Ux為讀數(shù)， Um為量程范圍）。 3k ?661 4 1 0 0 . 9 2 8 5 7 1 V 2 1 0 1 V 1 5 μVaU ??? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? 15 μ V 3 8 .7 μ VuU? ? ?6614 10 2 10xmUU??? ? ? ?U??則該數(shù)字電壓表示值的 B類標(biāo)準(zhǔn)不確定度為 ： U?自由度的理解 ： 如僅有一個測量值，則該測量結(jié)果就是被測量的最佳估計(jì)值，別無選擇，這相當(dāng)于自由度為零， 式（ ）計(jì)算的標(biāo)準(zhǔn)差 s為無窮大，這是不允許的。因此自由度 是表達(dá)測量可靠程度的量，測量次數(shù) n多，可靠性好，則自由度大。 ν 2)自由度的 評 定 (1)A類標(biāo)準(zhǔn)不確定度的自由度 ν 對 A類評定的標(biāo)準(zhǔn)不確定度，其自由度 ν 即為標(biāo)準(zhǔn)差 σ 的自由度。 應(yīng)當(dāng)指出，自由度的計(jì)算除了在求標(biāo)準(zhǔn)差中用到外，主要用在求擴(kuò)展不確定度查包含因子 k表時(shí)要用