有限差分方法基礎-研究生課程-預覽頁
【正文】 勻步長差分 3．非均勻步長 一階向后差商 11 )()(??????iiiixxxfxf 一階中心差商 11 )()(??????????iiiiiixxxxfxxf （ 122） （ 123） 16 第一節(jié) 差分原理及逼近誤差 /非均勻步長 （ 2/3） 圖 12 均勻和非均勻網格實例 1 17 第一節(jié) 差分原理及逼近誤差 /非均勻步長 （ 3/3） 圖 13 均勻和非均勻網格實例 2 18 第二節(jié) 差分方程、截斷誤差和相容性 /差分方程（ 1/3） 0?????? xt ???從上節(jié)所述可知，差分相應于微分，差商相應于導數(shù)。 （ 21） 19 ?,2 ,1 ,0 ,0 ???? ixixx i?,2 ,1 ,0 , ??? ntnt n 圖 21 差分網格 第二節(jié) 差分方程、截斷誤差和相容性 /差分方程（ 2/3） 20 若時間導數(shù)用一階向前差商近似代替，即 ttninini ??????????? ? ??? 1 空間導數(shù)用一階中心差商近似代替，即 xxninini ??????????? ??211 ??? 則在 ),( ni tx 點的對流方程就可近似地寫作 02 111 ????? ? ??? xt nininini ????? （ 22） （ 23） （ 24） 第二節(jié) 差分方程、截斷誤差和相容性 /差分方程（ 3/3） 21 第二節(jié) 差分方程、截斷誤差和相容性 /截斷誤差（ 1/6） 按照前面關于逼近誤差的分析知道，用時間向前差商代替時間導數(shù)時的誤差為 , )( tO?用空間中心差商代替空間導數(shù)時的誤差為 ))(( 2xO ? ，因而對流方程與對應的差分方程之間也存在一個誤差，它是 ))(,())(()( 22 xtOxOtOR ni ??????? 這也可由 Taylor展開得到。如果是初邊值問題，定解條件中還應有適當?shù)倪吔鐥l件。 ?（ 214） （ 215） （ 216） 如果當 x?、 0??t 時，差分方程的截斷誤差的某種范數(shù) ||||R 也趨近于零，即 0||||lim00?????Rtx則表明從截斷誤差的角度來看，此差分方程是能用來逼近微分方程的，通常稱這樣的差分方程和相應的微分方程相容（一致）。 29 第三節(jié) 收斂性與穩(wěn)定性 /收斂性（ 1/6） 所謂相容性，是指當自變量的步長趨于零時，差分格式與微分問題的截斷誤差的范數(shù)是否趨于零，從而可看出是否能用此差分格式來逼近微分問題。我們稱這種是否趨于微分方程定解問題的解的情況為差分格式的收斂性。 （ 31） x? 、 （ 32） 30 第三節(jié) 收斂性與穩(wěn)定性 /收斂性（ 2/6） 31 第三節(jié) 收斂性與穩(wěn)定性 /收斂性（ 3/6） 相容性不一定能保證收斂性，那么對于一定的差分格式，其解能否收斂到相應微分問題的解？答案是差分格式的解 收斂于微分問題的解是可能的。并且 nttn ?? 是一有限量，因而 ),(m a x txOe nii ??? 可見本問題 FTBS格式的離散化誤差與截斷誤差具有相同的量級。 （ 315） （ 316） 此例介紹了一種證明差分格式收斂的方法，同時表明了相容性與收斂性的關系：相容性是收斂性的必要條件， 但不一定是充分條件，還可能要求其他條件，如本例就是要求 10 ????? xt。而 a點的解又依賴于第 0層（初值線）上 A、 d、 e的初值， b點的解依賴于 d、 e、 f的初值， c點的解依賴于 e、 f、 B的初值。 （ 317） (a) FTCS (b) FTFS (c) FTBS 圖 31 差分格式的依賴區(qū)間 36 第三節(jié) 收斂性與穩(wěn)定性 /穩(wěn)定性（ 2/8） 隨著時間的推移，一點函數(shù)值將影響以后某些結點的解。若用 FTBS格式計算，且計算中不產生任何誤差，則結果也是零，即 ???????????,2,1,0,2,1,0,0inni由上可知，同一微分問題，當采用不同差分格式時，其依賴區(qū)間、決定區(qū)域和影響區(qū)域可以是不一樣的。當 1/ ??? xt時，所產生的影響在數(shù)值上不再擴大；當 1/ ??? xt 時，所產生的影響 在數(shù)值上將越來越大。這就是說，當上述不等式成立時， ||)(||||)(|||||| 21 ZBKZDKZ ?? ?? 其中 ?D 和 ?B 分別是對應于微分方程和定解條件的差分算子， K K2分別是對應于 )(ZD? 、 )(ZB?的 Lipschitz常數(shù)。已經知道，相容性是收斂性的必要條件；還發(fā)現(xiàn)，穩(wěn)定性與收斂性有一定的聯(lián)系。這也可表示為 收劍性穩(wěn)定性線性微分問題適定差分格式相容??? 44 第四節(jié) Lax等價定理（ 2/4） 下面對此定理作一些簡略的說明。若差分格式是穩(wěn)定的，按穩(wěn)定性的定義，應該有 ||])(||||)([ | ||||| ???????? ?? ZBZDKZ 將（ 44）式、（ 46）式代入得 ),( rRKZ ????當差分格式相容時，可得 0||||lim00????? ??Ztx從而保證了收斂性。 2．錢壬章等編 . 傳熱分析與計算，高等教育出版社， 1987。
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