【正文】 2 若 是平穩(wěn)信號(hào)，則 ? ?( ) ,X t t T?2( ) ( )C R m????22( 0)Rm? ??（ 1） （ 2） 性質(zhì) 3 若 與 聯(lián)合平穩(wěn)，則 ? ?( ) ,X t t T? ? ?( ) ,Y t t T?( ) ( )X Y Y XRR????( ) ( )X Y X Y X YC R m m????（ 1） （ 2） 50/117 2022/2/14 相關(guān)函數(shù)的物理意義 ① 若信號(hào) 含有平均分量（均值），則 含有固定分量。 ()Xt 1()Xt2()Xt關(guān)于相對(duì)時(shí)間 τ的周期性 ? ? ? ?? ? ? ?2c os , [ 0 , 2 ]2 c osXX t a t URa??? ??? ? ? ??例： 52/117 2022/2/14 ? ? ? ? 2XXR C m?????2?2m性質(zhì) 4. 實(shí)際應(yīng)用中的非周期平穩(wěn)信號(hào)，一般都滿足 l im ( ) 0C? ??? ? l im ( ) 0XYC? ??? ?2l im ( )Rm? ??? ?l im ( )X Y X YR m m?????222()[ ( ) ] ( 0)( 0) ( 0) ( )mRE X t RC R R?? ??????? ? ? ??，與 等價(jià)于， ，與 其它主要參數(shù)： 相關(guān)函數(shù)關(guān)于相對(duì)時(shí)間 τ不具周期性 53/117 2022/2/14 ④ 自相關(guān)系數(shù)與自相關(guān)時(shí)間 2()( ) ( ) ( )XX X XXC ?? ? ? ? ? ??? ? ?(1) 使用 表示關(guān)聯(lián)性 ()X??( ) ( 0) 1XX? ? ???54/117 2022/2/14 （ 2）相關(guān)時(shí)間 一般，隨 τ 增大， X(t)和 X( t +τ)的相關(guān)性減弱。 55/117 2022/2/14 【 注 】 ： τ0 與 ρ(τ) 下降快慢有關(guān)。 解： 1）不能。 , )Xf x x t t)(?XR)(?XR2( ) ( )XXR C m????59/117 2022/2/14 ? ?? ?2211( 1 ) ( 。 ) ( 。 )111e xp88X X XX X Xt t Tf x x t t f x t f x txxf x x t t f x t f x txx??? ? ????? ? ??? ?????????? ? ??? ??????當(dāng) 時(shí)61/117 2022/2/14 121 1 2 2121 2 1 2 22221 1 2 222 ( ) 2 ( ) 2( ) 4411( , 。 無(wú)關(guān)或獨(dú)立 U(t)與 V(t)的自相關(guān)函數(shù)分別為 ? ? ? ? ? ?X t U t V t?=10( ) 100 100URe?? ??? ( ) 100 c os 10VR ???并假設(shè) V(t)均值為 0 ( ) ( ) ( )X U VR R R? ? ???于是 64/117 2022/2/14 所以， 的均值為 均方值為 300、方差為 200。 注意： 1) 能量型信號(hào)的能量有限，功率為 0； 2) 功率型信號(hào)的功率有限，能量為無(wú)窮。 73/117 2022/2/14 2. 隨機(jī)信號(hào)的功率及功率譜密度 (1) 隨機(jī)信號(hào)的樣本功率及樣本功率譜密度 截?cái)嗪瘮?shù) ? ? ? ? ? ?, , ,0,TX t t T TXto th e r??? ???? ???? ? ? ?,FTTX t X? ? ?? ?? . 的一個(gè)樣本函數(shù) 即一個(gè)確定的時(shí)間信號(hào)（功率型） ? ?Xt ? ?,Xt?74/117 2022/2/14 ? ? ? ?? ?221l im ,211l im ,22TXTTTTP X t dtTXdT??? ? ???????? ??????功率時(shí)域描述 功率頻域描述 ? 樣本平均功率 是 ξ 的函數(shù)，是 . ? ?XP ?? ?,XS ??? ? ? ? 221 1 1l im l im2 2 2T TTTTP x t d t X dTT ??? ?? ? ?? ? ? ??? ??75/117 2022/2/14 ? 樣本功率譜密度 ? ? ? ? 21, l im ,2XTTSXT? ? ? ????是 ξ 的函數(shù)，是 ω 的函數(shù)，是 . ? ? ? ?1 ,2XXP S d? ? ? ?? ????? ?? ?,XS ??76/117 2022/2/14 (2) 隨機(jī)信號(hào)的平均功率及平均功率譜密度 對(duì)樣本功率取統(tǒng)計(jì)平均 隨機(jī)信號(hào)的平均功率 ? ?XXP E P ?? ????對(duì)樣本功率譜取統(tǒng)計(jì)平均 隨機(jī)信號(hào)的平均功率譜 ? ? ? ? ? ? 21, l im ,2X X TTS E S E XT? ? ? ? ?????????????? ? ? ? 21, l im ,2XTTSX T? ? ? ????77/117 2022/2/14 ? 隨機(jī)信號(hào)的平均功率與相關(guān)函數(shù)的關(guān)系 ? ?? ?ttRAP XX ,?X(t) 廣義平穩(wěn)時(shí) ? ?0XX RP ?? ? ? ?? ? ? ?221l im ,21l im [ , ] ,2TXXTTTXTTP E P E X t d tTE X t d t A R t tT????????????? ?????????? ??????證明： ? ? ? ?1l im 2 T TTA v t v t d tT???????? ?78/117 2022/2/14 ? 隨機(jī)信號(hào)的平均功率與平均功率譜的關(guān)系 ? ? ? ?dffSdSP XXX ?? ???????? ???2 1證 ： ? ? ? ?? ? ? ?1,211[ , ]22X X XXXP E P E S dE S d S d? ? ? ??? ? ? ? ????????? ? ? ??????????????????總之（平穩(wěn)信號(hào)）： ? ?2 1( 0 ) ( )2X X XP E X t R S d??? ??????? ? ??? ?79/117 2022/2/14 定理 （ 維納 辛欽定理 ） 平穩(wěn)信號(hào) { X(t),t∈ T }的功率譜是其自相關(guān)函數(shù)的傅里葉變換，即 ? ? ? ? jXXS R e d??? ? ??? ???? ?? ? ? ?FXXRS??? ??功率譜密度 PSD Power Spectral Density 定義與性質(zhì) 1. 功率譜密度 ? ? ? ?12 jXXR S e d??? ? ?? ????? ?反變換 正變換 80/117 2022/2/14 性質(zhì) 1. 隨機(jī)信號(hào) X(t)的功率譜 滿足 (1) ，非負(fù)實(shí)函數(shù) ? ? 0XS ? ?? ? ? ? 21l im ,2XTTS E XT? ? ??????????由定義：SX(ω) 含有 X(t) 的幅度信息，不含相位信息 (2) 若 X(t)為實(shí) . , 則 ? ? ? ??? ??XX SS? ?XS ?81/117 2022/2/14 ? 雙邊功率譜密度與單邊功率譜密度 ? ? ? ?,XS ?? ? ?? ?雙邊功率譜密度 ? ? ? ?, 0 ,XG ?? ??單邊功率譜密度 物理功率譜密度 ? ? ? ???????0,00,2???? XXSG? ? ? ? ??????dGdSP XXX ?? ??????02121? ??XS? ??XG?082/117 2022/2/14 例 求正弦信號(hào) 的功率譜 0( ) c os( )X t A t?? ? ?解： X(t)均值為 0 相關(guān)函數(shù)為 20( ) c os( )XR ? ? ? ??? ?2 00( ) ( ) ( )XS ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?瑞利分布隨機(jī)幅度，隨機(jī)相位 X(t)為廣義平穩(wěn)信號(hào) 可見(jiàn)它是正的實(shí)偶函數(shù)，信號(hào)的功率全部集中在頻率 處 0?? ?02U ?? ，83/117 2022/2/14 說(shuō)明： 與確定信號(hào)不同的是，隨機(jī)信號(hào)的頻域分析主要是考察它的功率譜，而非信號(hào)譜。 ? ? ? ?224 2 2 2224 4 5 / 8 3 / 8()1 0 9 9 191S ???? ? ? ?????? ? ? ?? ? ? ???353()4 8 1 6R e e??? ????解：首先進(jìn)行分解， 222 ,0at aea a?? ???均方值為 ( 0) 7 / 24R ?平均功率 86/117 2022/2/14 例：判斷下列式子能否作為實(shí) (t) 的功率譜 1） 242932?????? 2） ? ? 2s in ????????解： 1） ? ? ? ?2242 229932 21???? ??????? ??當(dāng) 時(shí)， ，故不能。若實(shí)平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào) X(t) 受到加性的獨(dú)立隨機(jī)正弦分量 Z(t) 的干擾，已知 A， ω0 為常數(shù)， Θ是在 [0,2π) 上均勻分布的隨機(jī)變量。 噪聲按其功率譜密度可劃分為 ： ???白噪聲 色噪聲 白噪聲與熱噪聲 白噪聲 93/117 2022/2/14 ? ? 0 ,2X NS ??? ? ? ? ? ?其中： ? ?XS ??00 /2N1. 白噪聲 定義 若 . ，其功率譜密度 在整個(gè)頻率范圍內(nèi)為一個(gè)非零常數(shù)，則稱 為（平穩(wěn)）白噪聲信號(hào)。 ??且 實(shí)際信號(hào)功率總是有限的，帶寬也是有限的 。 如果序列，恒有， ? ? ? ?02NR m m??? ? 0[ ] / 2j j mmS e R m e N?? ????則稱它是 白噪聲序列 。 ? ?NS ? ?2. 色噪聲 ? ? 222 ,0N aSa a? ????如 98/117 2022/2/14 例 方差為 的高斯白序列 。 , , , ) ( 。首先 100/117 2022/2/14 ? ? ? ?0( ) c o s( )AE X t m E t?? ? ?0( ) c os( )X t A t?? ? ?() jvv E e? ?? ??? ??? ?? ? ? ?? ?0000[ ] [ ]2112j t j tjjAj t j tAme E e e E emee???????? ? ?? ???????當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)， （常數(shù)）。 ( ) 1 1, , [ , ( + 1 ) )( ) 1 0nnXt X t n T n TXt X?? ?? ?? ?? ??若若半隨機(jī)二進(jìn)制傳輸信號(hào)： 常用于傳輸二進(jìn)制數(shù)據(jù)信息，接收信號(hào)為初始時(shí)刻“隨機(jī)滑動(dòng)”的二元傳輸信號(hào)，記為 ，D與 統(tǒng)計(jì)獨(dú)立，并服從均勻分布